Le critère de Kelly

Vous répétez un pari favorable, en misant chaque fois la même fraction de votre capital. Plus la mise augmente, plus le capital moyen s’élève. Observez les joueurs derrière cette moyenne et cherchez la mise qui convient le mieux à chacun.

Exemple résolu — Le critère de Kelly

Fraction de Kelly	0,200
Croissance par pari à la fraction de Kelly	+0,02014
Part de la croissance de Kelly conservée	100,0%
Mise à laquelle la croissance devient nulle	0,3894
Gain moyen par pari, en fraction du capital	+4,00%
Capital moyen après 100 paris	50,50
Capital médian après 100 paris	7,49
Probabilité de finir sous le capital initial	17,9%

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Le critère de Kelly

Le critère de Kelly détermine la fraction f du capital à miser sur un pari répété pour maximiser le taux de croissance à long terme g(f) = p ln(1 + bf) + q ln(1 − f). Ce taux est l’espérance du logarithme du facteur de croissance du capital par pari. Pour un pari gagné avec une probabilité p et rapportant b pour 1, le maximum est atteint en f* = (bp − q)/b ; lorsque le gain est égal à la mise, f* = p − q, l’avantage du joueur. D’après la loi des grands nombres, le capital d’un joueur après n paris est proche de e^ng(f) en échelle logarithmique. Le capital moyen vaut, lui, (1 + (bp − q)f)ⁿ et augmente chaque fois que f augmente.

Ce que signifie chaque symbole

p: la probabilité de gagner chaque pari ; q = 1 − p
b: le gain pour une unité misée, en plus de la mise restituée
f: la fraction du capital disponible misée à chaque pari
g(f): le taux de croissance du capital d’un joueur par pari, en unités de logarithme népérien

Suppose: Le pari reste le même, avec les mêmes p et b, et les résultats sont indépendants. Le capital peut être divisé aussi finement que l’exige la mise. Avant chaque pari, la mise est recalculée pour représenter la fraction f du capital disponible.

Le capital moyen s’envole tandis que les joueurs se ruinent 🖖

Cliquez sur Tout miser. La pièce vous donne raison dans 60 % des cas et le gain est égal à la mise : chaque pari rapporte donc en moyenne 20 % de la mise. En misant tout à chaque fois, vous portez le capital moyen à son maximum : 1,2¹⁰⁰ = 8,28×10⁷ fois le capital initial après 100 paris. Cette moyenne repose sur une seule issue, gagner tous les paris, dont la probabilité est de 0,6¹⁰⁰ = 6,53×10⁻²³. Tous les autres joueurs sont ruinés, comme les 200 joueurs de ce tirage. John Kelly l’écrivait en 1956 : un tel joueur « serait ruiné avec une probabilité égale à un s’il continuait indéfiniment ». Réduire la mise ne suffit pas à écarter le problème. Cliquez sur Double Kelly, soit 40 % du capital par pari : après 100 paris, la moyenne est de 2 199,76, la médiane de 0,78, et 53,8 % des joueurs ont moins qu’au départ. Le <a href="/stat/martingale-betting">système de doublement des mises</a> présentait la situation inverse : une moyenne perdante issue de soirées presque toutes gagnantes.

Des paris toujours favorables, une ruine presque sûre 🖖

Sur le graphique du haut, la courbe en pointillés représente le logarithme du facteur de croissance du capital moyen, ln(1 + 0,2f). Elle monte dès que vous augmentez la mise. La courbe pleine représente g(f) = 0,6 ln(1 + f) + 0,4 ln(1 − f), le taux auquel le capital d’un joueur croît presque sûrement, pari après pari. Elle culmine à la fraction de Kelly, 0,200, puis revient à zéro en 0,3894, soit 1,947 fois Kelly. À cette mise, chaque pari rapporte encore en moyenne 7,79 % du capital. Au-delà, le capital du joueur tend presque sûrement vers zéro, aussi favorable que soit chaque pari ; Edward Thorp l’énonce au point (ii) de son premier théorème sur le sujet. Lorsque le gain est égal à la mise, ce seuil se situe toujours avant le double de Kelly, quelle que soit la probabilité de gagner. Cliquez sur Double Kelly, 1 000 : le capital moyen est de 2,65×10³³ et la médiane de 0,0866. Près de f = 0, l’écart entre les deux courbes vaut environ la moitié de la variance du rendement d’un pari. C’est ce coût, égal à une demi-variance, que la leçon sur la baisse maximale et le coût de la volatilité mesure pour des portefeuilles réels ; à la fraction de Kelly, il est déjà à peu près aussi grand que la croissance elle-même.

Demi-Kelly conserve les trois quarts de la croissance 🖖

Cliquez sur Demi-Kelly. Miser 0,1 du capital au lieu de 0,2 divise chaque mise par deux et conserve 74,7 % du taux de croissance. Au sommet, g(f) est presque plate : un premier pas en contrebas coûte peu. Le tableau en montre le bénéfice : après 100 paris, la probabilité de finir sous le capital initial passe de 17,9 % à 6,4 %. Le résultat de Kelly reste valable : son joueur « finira presque sûrement par prendre l’avantage et le conserver » sur toute autre mise fixe. Cela peut prendre du temps : pour les mêmes 100 résultats, le joueur Kelly termine devant le joueur demi-Kelly dans 69,7 % des cas, puis dans 94,3 % des cas après 1 000 paris. Thorp donne trois quarts de la croissance pour demi-Kelly ; lorsque le gain est égal à la mise, cette part n’est jamais dépassée. Claude Shannon lui a fait connaître l’article de Kelly au MIT en 1960. Thorp l’a ensuite appliqué aux tables de blackjack et présenté aux joueurs dans Beat the Dealer en 1962, en précisant qu’en pratique, la mise est généralement réduite. La fraction de Kelly maximise aussi l’espérance du logarithme de la richesse, la mesure proposée par Daniel Bernoulli pour le jeu de Saint-Pétersbourg.

Problème entièrement résolu

Vous pensez que la pièce est à 60–40. Elle est à 55–45. 4 étapes
Vous estimez p = 0,6 et misez la fraction de Kelly correspondante, avec un gain égal à la mise. La probabilité réelle est de 0,55. Que devient votre taux de croissance, et qu’aurait donné demi-Kelly ? Cliquez d’abord sur Fraction de Kelly : la page indique la mise choisie et la croissance attendue.

Ouvrez ce problème dans l'outil
1. La mise choisie et la croissance attendue, telles qu’elles figurent sur la page :
  
  $f^{*} = p - q = 0.6 - 0.4 = 0.2, g (f^{*}) = + 0.02014$
2. La véritable fraction de Kelly est p − q = 0,10 : miser 0,2 revient donc à miser le double de la fraction optimale. La croissance avec la véritable valeur de p :
  
  $0.55 ln 1.2 + 0.45 ln 0.8 = - 0.00014$
3. La moitié de votre fraction de Kelly, 0,1, correspond exactement à la véritable fraction de Kelly :
  
  $0.55 ln 1.1 + 0.45 ln 0.9 = + 0.00501$
4. Si votre estimation de 0,6 avait été juste, demi-Kelly aurait tout de même conservé
  
  $\frac{0 . 6 ln 1 . 1 + 0 . 4 ln 0 . 9}{0 . 02014} = \frac{0 . 01504}{0 . 02014} = 74 . 7%$
Réponse

Avec la véritable valeur de p, votre mise Kelly donne une croissance de −0,00014 par pari : malgré un avantage de 10 %, miser ce que vous pensiez être la fraction optimale vous appauvrit presque sûrement. Demi-Kelly donne une croissance de +0,00501, le maximum possible pour p = 0,55, et ne vous coûte qu’un quart de la croissance si votre estimation était juste. Surestimer de cinq points la probabilité de gagner suffit à placer votre mise Kelly au-delà du seuil de croissance nulle, qui vaut 0,1987 pour p = 0,55. Cette asymétrie est la raison habituelle de ne miser qu’une fraction de Kelly.

$p = 0.55 : g (0.2) = - 0.00014 < 0 < g (0.1) = 0.00501; f_{c} = 0.1987 < 0.2$

Parcours

Des jeux équitables qui vous ruinent

Références (2)

The paper the page is named after: a gambler betting a fraction ℓ of his capital on an even-money channel symbol has growth G = q log(1 + ℓ) + p log(1 − ℓ), maximised at 1 + ℓ = 2q, that is ℓ = q − p; betting everything maximises the expected capital, "(2q)^N V₀", but "he would be broke with probability one if he continued indefinitely"; and the maximising gambler "will, with probability one, eventually get ahead and stay ahead" of one using any other fraction. Kelly's p is the chance of an error and q of a correct symbol, the reverse of the page's p and q: J. L. Kelly, Jr., A new interpretation of information rate. Bell System Technical Journal 35(4), 917–926 (July 1956). doi:10.1002/j.1538-7305.1956.tb03809.x
The practitioner's account: the coin-tossing case with g(f) = p log(1 + f) + q log(1 − f), f* = p − q, the zero-growth stake f_c with f* < f_c < 1, Theorem 1 (part (ii): if g(f) < 0 the bankroll tends to 0 almost surely; part (iv): Kelly beats any essentially different strategy), betting everything as the 'bold' criterion that makes ruin almost sure, half Kelly's growth reduced to 3/4 of the maximum in the continuous approximation, and Thorp's own history: introduced to Kelly's paper by Claude Shannon at MIT in 1960, used it in play, and introduced it to gamblers in the first edition of Beat the Dealer (1962), with stakes 'modified somewhat in practice (generally down)': E. O. Thorp, The Kelly criterion in blackjack, sports betting, and the stock market. Chapter 9 in S. A. Zenios and W. T. Ziemba (eds.), Handbook of Asset and Liability Management, Volume 1, pp. 385–428. Elsevier, 2006. doi:10.1016/S1872-0978(06)01009-X

Par l’équipe 42Math · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.