Mathématiques de la loterie
Définissez n, k et les montants des gains. L'outil calcule toutes les probabilités à partir de C(n,k), l'espérance de gain par palier et vos chances de jackpot sur toute une vie.
l'espérance mathématique et le problème des 292 millions d'années 🖖
La probabilité de jackpot du Powerball est de 1 sur 292 201 338 — il faut trouver 5 numéros sur 69, puis le Powerball dans un tambour séparé de 26 ; C(69,5) × 26 donne exactement ce chiffre. Avec un ticket par semaine, la loi géométrique indique qu'il faudrait attendre en moyenne environ 5,6 millions d'années pour gagner un seul jackpot. Acheter plus de tickets ne change presque rien : 10 tickets par semaine ne réduisent l'attente qu'à 560 000 ans, car les probabilités augmentent linéairement alors que l'espérance de gain par ticket reste négative — la cagnotte ne restitue jamais entièrement ce qui a été collecté par les ventes de tickets. La loterie n'est pas un mauvais investissement ; ce n'est pas un investissement du tout.
toute loterie est un problème de comptage 🖖
Au fond, cet outil ne fait que compter. Chaque billet valide correspond à une combinaison, toutes également probables, donc la probabilité d'un billet donné vaut exactement 1 divisé par ce nombre. Comme l'ordre n'a pas d'importance, on compte des combinaisons, pas des permutations — et ce nombre explose : ajouter seulement quelques boules au tirage peut multiplier plusieurs fois le total des billets possibles. C'est cette croissance, et non un tirage « malchanceux », qui rend la victoire si rare.
l'homme qui a acheté une loterie 🖖
En 1992, un syndicat mené par le mathématicien Stefan Mandel a visé la loterie de Virginie, qui ne comptait que C(44,6) = 7,059,052 billets possibles à $1 pièce, alors que le jackpot avait grimpé à environ $27 millions. Quand la cagnotte dépasse le coût d'achat de toutes les combinaisons, l'espérance devient positive — ils ont donc tenté de les acheter toutes. Ils ont imprimé environ 5 millions de billets à temps, et ont gagné. Grâce à cette combinatoire par force brute, Mandel a remporté des loteries 14 fois.