Mathématiques de la loterie

Définissez n, k et les montants des gains. L'outil calcule toutes les probabilités à partir de C(n,k), l'espérance de gain par palier et vos chances de jackpot sur toute une vie.

Exemple résolu — Mathématiques de la loterie

Années pour atteindre 50 % de chance de jackpot	1.9M years
Probabilité du jackpot	1 in 139 838 160
Combinaisons totales	139 838 160
Taux de retour	28.6%
EM / ticket	€-0.857
Jackpot d'équilibre	€134.9M
Retour aux joueurs	28.6%
Marge de l'opérateur	71.4%

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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l'espérance mathématique et le problème des 292 millions d'années 🖖

La probabilité de jackpot du Powerball est de 1 sur 292 201 338 — il faut trouver 5 numéros sur 69, puis le Powerball dans un tambour séparé de 26 ; C(69,5) × 26 donne exactement ce chiffre. Avec un ticket par semaine, la loi géométrique indique qu'il faudrait attendre en moyenne environ 5,6 millions d'années pour gagner un seul jackpot. Acheter plus de tickets ne change presque rien : 10 tickets par semaine ne réduisent l'attente qu'à 560 000 ans, car les probabilités augmentent linéairement alors que l'espérance de gain par ticket reste négative — la cagnotte ne restitue jamais entièrement ce qui a été collecté par les ventes de tickets. La loterie n'est pas un mauvais investissement ; ce n'est pas un investissement du tout.

deux loteries, des règles différentes, les mêmes chances 🖖

Au fond, cet outil ne fait que compter : chaque grille valide est une combinaison, toutes également probables, donc la chance vaut un divisé par le compte. Ce que cela masque, c’est à quel point deux jeux peuvent atteindre le même compte par des voies différentes. Le 6/49 allemand tire six boules sur 49 et ajoute un Superzahl sur dix, soit 13 983 816 × 10. EuroMillions tire cinq sur 50 et ajoute deux étoiles sur douze, soit 2 118 760 × 66. Les deux donnent exactement 139 838 160 grilles possibles — pas approximativement, exactement, car C(49,6) vaut 6,6 fois C(50,5) et 66 vaut 6,6 fois 10. Deux commissions dans deux pays, et le même nombre de façons de perdre.

l'homme qui a acheté une loterie 🖖

En 1992, un syndicat mené par le mathématicien Stefan Mandel a visé la loterie de Virginie, qui ne comptait que C(44,6) = 7,059,052 billets possibles à $1 pièce, alors que le jackpot avait grimpé à environ $27 millions. Quand la cagnotte dépasse le coût d'achat de toutes les combinaisons, l'espérance devient positive — ils ont donc tenté de les acheter toutes. Ils ont imprimé environ 5 millions de billets à temps, et ont gagné. Grâce à cette combinatoire par force brute, Mandel a remporté des loteries 14 fois.

Six loteries, une formule

Le tirage principal du Powerball est plus facile que celui du 6/49 allemand

Trouver cinq numéros sur 69 est plus facile que six sur 49 — 1 sur 11 238 513 contre 1 sur 13 983 816. Toute la difficulté supplémentaire du Powerball vient du second tambour. C’est ce que montre la décomposition ci-dessous : un jackpot, c’est le tirage principal multiplié par le bonus, et les concepteurs arbitrent entre les deux.

Loterie	Le tirage	Tirage principal, 1 sur	Facteur bonus	Jackpot, 1 sur
UK Lotto	6/59	45 057 474	—	45 057 474
Viking Lotto	6/48 + 1/8	12 271 512	×8	98 172 096
Lotto allemand 6/49	6/49 + 1/10	13 983 816	×10	139 838 160
EuroMillions	5/50 + 2/12	2 118 760	×66	139 838 160
EuroJackpot	5/50 + 2/12	2 118 760	×66	139 838 160
Powerball américain	5/69 + 1/26	11 238 513	×26	292 201 338

Lisez les deux colonnes du milieu l’une contre l’autre. EuroMillions a de loin le tirage principal le plus facile des six — 1 sur 2 118 760, vingt fois plus facile que celui du Royaume-Uni — et finit malgré tout parmi les jackpots les plus durs, parce que ses deux étoiles multiplient le compte par 66. Le UK Lotto est le seul jeu ici sans second tambour, et c’est exactement pour cela que son jackpot est le plus accessible. Trois des six coïncident au chiffre près à 139 838 160 : le 6/49 et EuroMillions y arrivent par des chemins opposés, et EuroJackpot reprend la structure d’EuroMillions depuis 2022. L’égalité est exacte et non approchée — C(49,6) vaut 6,6 fois C(50,5), et 66 vaut 6,6 fois 10. Chaque chiffre du tableau vient du même C(n,k) que celui de l’outil, et chaque colonne jackpot est vérifiée à la compilation contre les cotes publiées du jeu.

Références (5)

UK Lotto prize-tier odds — jackpot 1 in 45,057,474, five plus bonus 1 in 7,509,579: Lottery.co.uk, Lotto Odds
Powerball 1 in 292,201,338: Multi-State Lottery Association, Powerball prizes and odds
EuroMillions 5 of 50 plus 2 Lucky Stars of 12: EuroMillions, Odds of Winning
That players really do avoid recently drawn numbers, measured on actual ticket sales: C. T. Clotfelter and P. J. Cook, "The ‘Gambler’s Fallacy’ in Lottery Play." Management Science 39(12), 1521–1525, 1993.
Why a short run is expected to look like a long one, which is the error underneath it: A. Tversky and D. Kahneman, "Belief in the law of small numbers." Psychological Bulletin 76(2), 105–110, 1971.

Problème entièrement résolu

Six numéros parmi 49 et un Superzahl parmi dix au Loto allemand 5 étapes
Loto allemand : six numéros parmi 49, plus une Superzahl parmi dix. Calculez les probabilités, puis la vraie question : quelle doit être la hauteur du jackpot pour qu'une grille vaille la peine d'être achetée ?
1. L'ordre n'a pas d'importance pour les six numéros principaux, il s'agit donc d'une combinaison : le nombre d'arrangements divisé par les 720 façons d'obtenir ces mêmes six numéros.
  
  $(6 49) = \frac{49 !}{6 ! 43 !} = 13983816$
2. La Superzahl est tirée au sort séparément, de sorte qu'elle multiplie au lieu d'ajouter. Dix résultats indépendants s'ajoutent à près de quatorze millions de possibilités.
  
  $\times 10 Superzahl ⟹ 139838160 outcomes$
3. L'espérance de gain correspond à ce que l'organisateur redistribue, et à 28,6 % d'une grille à 1,20 €, cela représente 34 centimes. Le reste constitue la perte.
  
  $E [return] = 0.286 \times 1.20 = 0.343 ⟹ E [profit] = - 0.857 per ticket$
4. Une grille coûte donc 0,857 € en espérance, à chaque tirage, et aucune stratégie n'y change quoi que ce soit — choisir des dates d'anniversaire, éviter les numéros de la semaine précédente ou jouer en groupement laissent ce chiffre strictement inchangé.
5. Pour que l'espérance atteigne le point d'équilibre, le jackpot devrait à lui seul combler le déficit, ce qui nécessiterait environ 135 millions d'euros.
  
  $break-even : J \times \frac{1}{139 838 160} must cover the shortfall \Rightarrow J \approx 134.9 M$
Réponse

L'outil affiche 1 sur 139 838 160, un taux de retour de 28,6 % et une perte espérée de 0,857 € par grille. Deux conclusions ont plus d'importance que les probabilités brutes. Premièrement, le jackpot d'équilibre d'environ 134,9 M€ est parfois atteint — et même alors, la grille ne constitue pas un pari intéressant, car un jackpot partagé réduit le gain de moitié sans modifier les probabilités. Deuxièmement, jouer une grille par semaine donne 50 % de chances de décrocher le jackpot au bout d'environ 1,9 million d'années. Le nombre qui vend les grilles est le montant du lot ; celui qui décide de leur valeur est 28,6 %, et il ne figure sur aucun billet.

$N = (6 49) \times 10 = 139838160; E = - 0.857 per 1.20 ticket$

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-05-14

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