Le paradoxe de Saint-Pétersbourg

On lance une pièce équilibrée jusqu’à obtenir face. Si face apparaît au lancer k, le gain est de 2^k−1 ducats. L’espérance est infinie. Observez deux cents joueurs tenter d’obtenir ce gain moyen, puis limitez les fonds de la banque pour voir ce que vaut le jeu.

Exemple résolu — Le paradoxe de Saint-Pétersbourg

Valeur avec une banque de 16 777 216	13,00
Prix de Bernoulli pour un joueur possédant 1 000	5,97
Valeur pour ce joueur si le jeu lui est offert	5,97
Valeur avec une banque disposant de 1 000	5,98

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Le paradoxe de Saint-Pétersbourg

Dans le jeu de Saint-Pétersbourg, on lance une pièce équilibrée jusqu’à la première apparition de face. Si elle survient au lancer k, le joueur gagne 2^k−1 ducats. Le lancer k contribue pour 2^−k · 2^k−1 = ½ à l’espérance, qui est donc infinie. Une banque pouvant verser au plus B ducats paie min(2^k−1, B). Le jeu vaut alors V(B) = (m + 1)/2 + B/2^m+1, avec m = ⌊log₂ B⌋, soit 1 + m/2 lorsque B = 2^m. Avec l’utilité logarithmique de Bernoulli, un joueur possédant W ducats paie au plus le prix x qui vérifie Σ 2^−k ln(W − x + 2^k−1) = ln W.

Ce que signifie chaque symbole

B: la somme maximale que la banque peut verser, en ducats
V(B): l’espérance du jeu avec cette banque
W: la fortune du joueur avant de jouer, en ducats
x: le prix maximal qu’un joueur possédant W accepte de payer selon l’utilité logarithmique

Avec le plafond de la banque, l’infini vaut 13 ducats 🖖

Cliquez sur Banque de Cramer. Chaque rang de lancer apporte le même demi-ducat à l’espérance : si face apparaît pour la première fois au lancer k, le gain est de 2^k−1, avec une probabilité de 2^−k. Une somme sans fin de demi-ducats est infinie. C’est ce que représente la ligne en tirets en haut du graphique inférieur. Aucune banque ne peut verser tous les gains possibles ; ici, les fonds de l’adversaire sont limités, comme dans le problème de la <a href="/stat/gamblers-ruin">ruine du joueur</a>. Gabriel Cramer le soulignait dans une lettre de 1728 citée par Daniel Bernoulli. Supposons qu’on ne puisse gagner plus de 2²⁴ = 16 777 216 ducats. Les 25 premiers lancers contribuent chacun pour un demi-ducat. Toutes les parties plus longues rapportent le plafond et ajoutent, ensemble, un dernier demi-ducat : le jeu vaut 13 ducats. Avec une banque de 2^m, sa valeur est de 1 + m/2. Doubler les fonds de la banque ajoute donc un demi-ducat ; les multiplier par 1 000 en ajoute environ 5. Nicolaus Bernoulli, qui avait posé le problème en 1713, écrivait à Daniel que toute personne assez raisonnable céderait très volontiers son droit de jouer pour vingt ducats. Pour que le jeu vaille 20 ducats, la banque doit disposer de 2³⁸ = 274 877 906 944 ducats. Avec 1 000 000 000 000 ducats, sa valeur atteint 20,91.

La moyenne des gains ne se stabilise jamais 🖖

Cliquez sur Illimité, 65 536 parties. Chaque courbe fine représente le gain moyen d’un joueur au fil de ses parties. Lorsque l’espérance est finie, la loi des grands nombres fait converger ces courbes vers elle. Ici, l’espérance est infinie. La moyenne de n parties tend bien vers l’infini avec une probabilité égale à un, mais lentement. La médiane des joueurs monte un peu au-dessus de la courbe pointillée, qui donne la valeur du jeu avec une banque dont les fonds égalent le nombre de parties jouées. Cette courbe gagne un demi-ducat chaque fois que le nombre de parties double. Elle atteint 9 après 65 536 parties ; le joueur médian de ce tirage termine à 9,29. Cette progression vient des rares parties qui durent longtemps. Sur n parties, la probabilité qu’au moins une rapporte n ducats ou plus est de 63,2 % pour 1 024 parties, et encore de 63,2 % pour 65 536. Elle tend vers 1 − 1/e, et non vers zéro. Une seule partie peut donc encore ajouter au moins 1 ducat à la moyenne, même après une très longue soirée. La martingale, qui consiste à doubler la mise après chaque perte, présente le profil inverse : presque toutes les soirées rapportent 1 unité, tandis que les rares soirées où l’on perd tout déterminent la moyenne. Cliquez sur Une banque de 1 024. Avec cette banque limitée, l’espérance est de 6 ducats. Les gains moyens des joueurs s’en rapprochent, avec un écart type exact de 0,15 pour le gain moyen d’un joueur.

Avec une fortune W, le joueur évalue le jeu comme une banque de W 🖖

Cliquez sur Bernoulli : 1 000 ducats. En 1738, Daniel Bernoulli proposait de mesurer l’importance d’un gain en raison inverse de la fortune déjà possédée. Cela revient à évaluer la richesse par son logarithme. Un joueur possédant W ducats devrait payer au plus le prix x qui laisse inchangée l’espérance du logarithme de sa fortune après la partie. Avec 1 000 ducats, il paie 5,97. Le jeu avec une banque disposant d’exactement 1 000 ducats vaut 5,98. Cliquez sur Un millionnaire : 10,94 contre 10,95. De 1 000 ducats à 10¹⁵, l’écart entre ces deux valeurs ne dépasse jamais 0,03. Le logarithme explique cette proximité. Tant qu’un gain g est petit devant W, ln(1 + g/W) est proche de g/W : le gain compte alors pour sa valeur nominale. Dès que g dépasse W, la croissance du logarithme est si lente que les longues parties n’apportent presque plus rien. La fortune du joueur fixe ainsi son propre plafond. En dessous de 1 000 ducats, les deux valeurs s’écartent : un joueur possédant 10 ducats paie 2,88 pour un jeu qui vaut 2,63 avec une banque de 10 ducats. Pour le jeu offert gratuitement, Bernoulli estimait lui-même sa valeur à environ 3 ducats pour une personne en possédant 10, environ 4 pour une personne en possédant 100, et 6 pour une personne en possédant 1 000. Pour une personne ne possédant rien, il obtenait exactement 2 ducats.

Problème entièrement résolu

L’autre réponse de Cramer : une racine carrée plutôt qu’un plafond 4 étapes
Dans la même lettre de 1728, Cramer explorait une seconde idée : laisser les gains sans plafond, mais évaluer l’argent par sa racine carrée. Ainsi, 40 millions procurent le double de la satisfaction apportée par 10 millions. Quelle valeur donne-t-il alors au jeu, en ducats ? Cliquez d’abord sur Banque de Cramer : la page affiche la valeur obtenue avec sa première réponse.

Ouvrez ce problème dans l'outil
1. La valeur obtenue avec sa première réponse, le jeu plafonné, se lit sur la page :
  
  $V (2^{24}) = 1 + \frac{24}{2} = 13$
2. Évaluez chaque gain par sa racine carrée. Le terme de rang k est 2^−k√(2^k−1). La série est géométrique, de raison 1/√2, et converge donc sans plafond :
  
  $k \geq 1 \sum 2^{- k} 2^{k - 1} = \frac{1}{2} j \geq 0 \sum (\frac{1}{2})^{j} = \frac{1}{2 - 2} = 1.7071$
3. L’équivalent monétaire est la somme dont la racine carrée égale cette espérance de satisfaction :
  
  $(\frac{1}{2 - 2})^{2} = \frac{1}{6 - 4 2} = 2.914$
4. À titre de comparaison, voici le résultat du logarithme de Bernoulli pour une personne qui ne possède rien et reçoit le jeu gratuitement :
  
  $k \geq 1 \prod (2^{k - 1})^{2^{- k}} = 2^{\sum_{k} (k - 1) 2^{- k}} = 2^{1} = 2$
Réponse

2,91 ducats : 1/(6 − 4√2), sans limite pour la banque. Cramer jugeait cette valeur « inférieure à 3, une somme vraiment dérisoire, mais néanmoins, je crois, plus proche que 13 de l’estimation commune ». Avec la racine carrée, les contributions des longues parties décroissent géométriquement ; le plafond imposait cette réduction en limitant les gains. Le logarithme de Bernoulli donne 2 ducats pour une personne qui ne possède rien.

$\frac{1}{6 - 4 2} = 2.91 < 3 < 13$

Parcours

Des jeux équitables qui vous ruinent

Références (2)

Daniel Bernoulli's paper of 1738, in Louise Sommer's translation: the game in the page's form (one ducat on the first toss, doubling), Nicolaus Bernoulli's remark that a reasonable man would sell his chance for twenty ducats, the logarithmic valuation with the man worth 10, 100 and 1,000 ducats (about 3, 4 and 6) and nothing (two ducats precisely), the equation for the purchase price, and Gabriel Cramer's letter of 1728 with the cap at 2²⁴ ducats (13) and the square root (less than 3), which the first insight and the worked problem use: D. Bernoulli, Exposition of a new theory on the measurement of risk, translated by L. Sommer. Econometrica 22(1), 23–36 (1954). Originally Specimen theoriae novae de mensura sortis, Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae 5, 175–192 (1738). doi:10.2307/1909829
The history in one place: Nicolaus Bernoulli's letter to Montmort of 9 September 1713 (a die, not a coin, and a progression 1, 2, 4, 8, 16), Cramer's simpler coin version and his bounded valuation in 1728, Daniel Bernoulli's logarithm in 1738, and the objection that no bank has an indefinitely large reserve: M. Peterson, The St. Petersburg Paradox. The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2023 edition), E. N. Zalta and U. Nodelman (eds.). First published 30 July 2019; substantive revision 1 August 2023.

Par l’équipe 42Math · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.