Réarrangement de Riemann

Dans l'ordre habituel, la somme de 1 − ½ + ⅓ − ¼ + … vaut ln 2. Choisissez une cible ou un motif de termes positifs et négatifs. Regardez les mêmes termes converger vers une somme différente, un terme à la fois.

Exemple résolu — Réarrangement de Riemann

Termes positifs utilisés, P	99 259
Termes négatifs utilisés, Q	741
Total après 100 000 termes	3,1415535
Termes positifs par terme négatif	133,95
Ratio requis par la cible	133,87
Ordre habituel, après 100 000 termes	0,6931422

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Réarrangement de Riemann

Une série converge conditionnellement lorsqu'elle converge, mais que la somme des valeurs absolues de ses termes tend vers l'infini. Riemann a démontré que l'on peut réordonner les termes d'une telle série pour obtenir n'importe quel nombre. En revanche, une série qui converge encore lorsque tous ses signes deviennent positifs conserve la même somme quel que soit l'ordre choisi.

Ce que signifie chaque symbole

P, Q: le nombre de termes positifs et négatifs utilisés, chaque moitié conservant son propre ordre
C: la cible visée par la méthode de Riemann
r: le ratio à long terme P/Q ; le total converge vers ln 2 + ½ ln r

D’où vient la formule

Pourquoi la méthode aboutit. Prenez des termes positifs tant que le total reste inférieur ou égal à C, et des termes négatifs lorsqu'il le dépasse. Chaque moitié de la série 1 − ½ + ⅓ − … dépasse à elle seule n'importe quel nombre. Quelle que soit la progression du total, il finit donc toujours par recroiser C. Juste après un franchissement, sa distance par rapport à C ne dépasse jamais le terme qui lui a fait passer ce cap. Les termes suivants ne font que le ramener vers C jusqu'au prochain croisement. Les termes tendent vers 0, la distance fait donc de même.
Pourquoi les carrés ne peuvent être dirigés. Lorsque la somme des valeurs absolues des termes atteint un nombre fini, alors pour tout ε, aussi petit soit-il, la somme au-delà d'un certain point M devient inférieure à ε. Un réarrangement ayant utilisé l'intégralité des M premiers termes ne diffère de la M-ième somme partielle habituelle que par des termes situés au-delà de M, soit par moins de ε. Les deux ordres possèdent donc la même limite. La méthode échoue également pour une autre raison : elle exige une réserve illimitée de termes de chaque signe. Or, ici, chaque réserve s'avère finie.

Réordonnez 1 − ½ + ⅓ − … et sa somme vaut π 🖖

Cliquez sur Viser π. La page prélève les termes positifs 1, ⅓, ⅕, … tant que le total cumulé reste inférieur ou égal à π, et les termes négatifs ½, ¼, ⅙, … dès qu'il le dépasse. Chaque moitié conserve son ordre initial, afin de ne jamais utiliser un terme deux fois. Après 100 000 termes, le total s'élève à 3,1415535, à partir de 99 259 termes positifs contre 741 négatifs. La ligne grise illustre l'ordre habituel, qui se trouve à 0,6931422 et se dirige vers ln 2. Cette méthode a été conçue par Riemann. Il l'a décrite dans le mémoire sur les séries trigonométriques qu'il a présenté à Göttingen en 1854 pour obtenir son habilitation. Les termes positifs s'additionnent pour dépasser n'importe quel nombre donné. Il en va de même pour les termes négatifs. Le total franchit donc toujours la cible à nouveau. Une fois la cible franchie, la distance ne dépasse jamais la taille du terme qui a provoqué ce franchissement. Comme les termes tendent vers 0, la distance fait de même.

La somme ne dépend que d'un ratio : le nombre de termes positifs utilisés pour chaque terme négatif 🖖

Prenez chaque moitié dans son propre ordre. Utilisez les termes positifs et négatifs selon le ratio à long terme r. Le total convergera vers ln 2 + ½ ln r. Cliquez sur Un plus, deux moins : avec les mêmes termes qu'auparavant, le total s'approche de 0,3465736, soit exactement la moitié de ln 2. Neuf termes positifs pour quatre négatifs donnent ln 2 + ½ ln(9/4), ce qui correspond à ln 3. Lue à l'envers, la formule donne le coût d'une cible. Pour atteindre π, il faut e^{2(π − ln 2)} = 133,87 termes positifs par terme négatif. Le ratio de notre essai, avec 99 259 contre 741, vaut 133,95. Cliquez sur Viser 0 : la méthode ignore tout des motifs. Sur l'ensemble des 100 000 termes, elle prélève exactement un terme positif puis quatre négatifs : ln 2 + ½ ln ¼ = 0. Le panneau inférieur montre la proportion de termes positifs se stabilisant au niveau imposé par la cible.

Élevez les termes au carré et aucun ordre ne pourra modifier la somme 🖖

Passez à 1 − ¼ + 1/9 − 1/16 + …. Ses termes positifs s'additionnent pour atteindre seulement π²/8 = 1,2337006. Ses termes négatifs valent π²/24 au total. Par conséquent, tout ordre utilisant l'ensemble de ces termes aboutit à π²/12 = 0,8224670. Essayez n'importe quel motif. La méthode de Riemann se bloque désormais. Cliquez sur Carrés, viser 1,5 : les 100 000 termes sont tous positifs et le total plafonne à 1,2336981. Visez 0,8 à la place. Après 1 000 termes, l'objectif semble atteint avec 0,8000080. Cependant, à 100 000, le total reste figé à 0,8016482. En effet, la somme des termes négatifs encore inutilisés reste inférieure au dépassement de 0,0016482. Riemann a tracé la ligne de démarcation exactement ici et l'a attribuée à Dirichlet. Une série qui converge encore lorsque tous ses signes deviennent positifs permet de déplacer ses termes n'importe où. Seul l'autre type de série dépend de l'ordre choisi.

Problème entièrement résolu

Quel motif a pour somme ln 3, et lequel donne 1,5 ? 4 étapes
Réordonnez 1 − ½ + ⅓ − … selon un motif répétitif de p termes positifs et q termes négatifs dont la somme vaut ln 3. Trouvez-en ensuite un autre dont la somme vaut 1,5.

Ouvrez ce problème dans l'outil
1. Après P termes positifs et Q termes négatifs, chaque moitié prise dans l'ordre, le total correspond à une somme d'inverses impairs moins la moitié d'une somme harmonique. Ces deux éléments cachent des sommes harmoniques H_n = 1 + ½ + … + 1/n :
  
  $S = (1 + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{2 P - 1}) - \frac{1}{2} (1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{Q}) = H_{2 P} - \frac{1}{2} H_{P} - \frac{1}{2} H_{Q}$
2. H_n vaut ln n + γ, plus un reste qui tend vers 0. Les trois γ s'annulent :
  
  $H_{n} = ln n + γ + o (1) \Rightarrow S = ln 2 P - \frac{1}{2} ln P - \frac{1}{2} ln Q + o (1) \to ln 2 + \frac{1}{2} ln \frac{P}{Q}$
3. Pour ln 3, le ratio r = p/q doit satisfaire ½ ln r = ln 3 − ln 2 :
  
  $ln 2 + \frac{1}{2} ln r = ln 3 \Rightarrow r = (\frac{3}{2})^{2} = \frac{9}{4} \Rightarrow ln 2 + \frac{1}{2} ln \frac{9}{4} = 1.0986123$
4. Pour 1,5, cette même équation exige un ratio qu'aucun motif ne peut fournir :
  
  $ln 2 + \frac{1}{2} ln r = 1.5 \Rightarrow r = \frac{e ^{3}}{4} = 5.0214 (irrational), 5 : 1 \to 1.4978661$
Réponse

Neuf termes positifs, puis quatre négatifs, donnent une somme de ln 3. La page affiche 1,0986331 après 100 000 termes, s'approchant de 1,0986123. Aucun motif répétitif ne donne 1,5. Le ratio nécessaire vaut e³/4 = 5,0214. Comme e est transcendant, e³ s'avère irrationnel. Tout motif composé de nombres entiers échoue donc. Le ratio 5 : 1 converge vers 1,4978661. La méthode de Riemann y parvient malgré tout, car son ratio reste libre d'évoluer. En visant 1,5, elle dépense 83 393 termes positifs et 16 607 termes négatifs, soit 5,0216 par terme négatif, pour atteindre 1,5000022.

$9 : 4 \to ln 3; 1.5 : no pattern, but greedy \frac{83 , 393}{16 , 607} = 5.0216 \to 1.5000022$

Parcours

Séries infinies et convergence

Références (2)

Riemann's own statement of the recipe the page runs, take positive terms until the total exceeds C and negative ones until it falls below, with the bound that the total never strays further than the term before the last change of sign; and the division, which he credits to Dirichlet, between series whose terms can be moved freely and series whose value depends on the order: B. Riemann, "Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe", Habilitationsschrift, Göttingen 1854; published by R. Dedekind in Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen 13 (1867), §3. Transcribed by D. R. Wilkins, Trinity College Dublin.
The rearrangement one positive term then two negative ones, (1 − ½ − ¼) + (⅓ − ⅙ − ⅛) + …, summed to ½ ln 2: E. W. Weisstein, "Riemann Series Theorem", MathWorld, Wolfram Research.

Par l’équipe 42Math · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.