Rayon de convergence

La série de Taylor de 1/(1 + x²) en a ne converge que jusqu'à une distance R de a. Modifiez le degré, le point x₀ ainsi que le centre. Observez conjointement le graphe réel et le plan complexe : le disque dans le plan indique où vous pouvez vous fier à la courbe.

Exemple résolu — Rayon de convergence

Rayon de convergence, R	1,000000
Où la série converge	−1,000000 < x < 1,000000
Éloignement de x₀, en rayons	1,1000
Polynôme de degré 80 en x₀	1 121,975
La fonction en x₀	0,4524887
Erreur du polynôme	1 121,522
Borne supérieure de l'erreur	1 515,693
Moyenne des sommes partielles jusqu'au degré 80	1,774285

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Rayon de convergence

Le rayon de convergence d'une série entière Σ c_n(x − a)ⁿ est le nombre R pour lequel la série converge lorsque |x − a| < R et diverge lorsque |x − a| > R. Pour 1/(1 + x²), R est la distance entre a et le point le plus proche du plan complexe où la fonction tend vers l'infini, c'est-à-dire i ou −i. On a donc R = √(1 + a²).

Ce que signifie chaque symbole

R: le rayon de convergence autour de a, |a − i| = √(1 + a²)
q: (a − x)/(a − i) ; son module |x − a|/R indique à combien de rayons du centre se trouve x

D’où vient la formule

D'où viennent les coefficients. Décomposez 1/(1 + z²) en (1/2i)[1/(z − i) − 1/(z + i)]. Chaque partie est une série géométrique en a : 1/(z − i) = 1/((a − i) + (z − a)) = Σ (−1)ⁿ(z − a)ⁿ/(a − i)ⁿ⁺¹, qui converge très exactement lorsque |z − a| < |a − i|. L'autre partie est identique avec a + i, à la même distance. Les deux s'arrêtent donc à R = √(1 + a²).
Pourquoi l'erreur est une puissance de q. Une série géométrique tronquée après N + 1 termes laisse pour reste q^N+1 fois la somme totale. Par conséquent, f(x) − T_N(x) = Im[q^N+1/(x − i)] très exactement. Sa valeur absolue est au plus |q|^N+1/√(1 + x²) : elle tend vers zéro comme une suite géométrique lorsque |q| < 1, croît comme telle lorsque |q| > 1, et ne diminue ni ne croît lorsque |q| = 1.

Aucun problème sur la droite réelle, mais la série échoue tout de même en 1 🖖

Cliquez sur Juste après 1. La fonction 1/(1 + x²) est on ne peut plus sage : elle est positive, ne dépasse jamais 1, et admet des dérivées de tout ordre en tout nombre réel. Pourtant, le degré 80 en 0 donne 1 121,975 pour x = 1,1, là où la courbe vaut 0,4524887. Ajouter des termes ne fait qu'empirer les choses : l'erreur est multipliée par 1,21 tous les deux degrés. Cliquez sur Juste avant 1 : 0,9 se trouve à la même distance de 1 de l'autre côté, et le même degré présente une erreur de 9,777×10⁻⁵. Rien en x = 1 n'explique cette différence. La courbe y passe par ½ sans aucun point anguleux. Le panneau inférieur en donne l'explication. Remplacez x par un nombre complexe z. La fonction 1/(1 + z²) devient infinie lorsque z² = −1, c'est-à-dire en i et −i, tous deux situés exactement à une distance de 1 du centre.

Le rayon correspond à la distance à i, quel que soit le centre de la série 🖖

Faites glisser le centre a le long de l'axe réel dans le panneau inférieur. Le disque grandit et rétrécit de sorte que son bord passe toujours par i et −i, avec R = √(1 + a²). La bande grisée sur le graphe réel au-dessus correspond à l'ombre de ce disque sur l'axe réel. Cliquez sur Centré en 1 : R = 1,414214, la série converge donc de −0,414214 à 2,414214. En x = 2, où la série en 0 donnait 9,671×10²³, le degré 80 présente une erreur de 2,728×10⁻¹³. Aucune des extrémités de cet intervalle n'a de particularité sur la droite réelle. Chacune correspond simplement au point où un cercle centré en 1 et passant par les deux pôles croise l'axe réel.

Sur le cercle lui-même, la série ne se stabilise ni ne s'emballe 🖖

Cliquez sur Sur le bord. En x = 1, la série en 0 devient 1 − 1 + 1 − 1 + …, c'est-à-dire la série de Grandi. Degré par degré, ses sommes partielles valent 1, 1, 0, 0, 1, 1, … Elles ne se stabilisent jamais, mais ne divergent pas non plus vers l'infini. La fonction y vaut ½. La dernière ligne des résultats calcule la moyenne de ces sommes partielles. Cette moyenne, qui vaut 0,5061728 au degré 80, se rapproche précisément de ce ½.

Problème entièrement résolu

La série échoue en x = 1. Qu'en est-il de son intégrale ? 4 étapes
Intégrez le polynôme de degré 80 de 0 à 1, terme à terme, et comparez le résultat à l'aire exacte sous 1/(1 + x²). En x = 1, la série elle-même ne se stabilise jamais. Qu'arrive-t-il à l'aire ?

Ouvrez ce problème dans l'outil
1. L'aire exacte est une arc tangente :
  
  $\int_{0}^{1} \frac{d x}{1 + x ^{2}} = arctan 1 = \frac{π}{4} = 0.7853982$
2. Terme à terme, chaque x^2k devient 1/(2k + 1) :
  
  $\int_{0}^{1} T_{80} d x = \int_{0}^{1} (1 - x^{2} + x^{4} - \dots + x^{80}) d x = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \dots + \frac{1}{81} = 0.7914948$
3. La différence correspond à l'intégrale de l'erreur, donnée exactement par la série géométrique. De plus, 1/(1 + x²) se situe entre ½ et 1 sur [0, 1] :
  
  $\int_{0}^{1} (T_{80} - f) d x = \int_{0}^{1} \frac{x ^{82}}{1 + x ^{2}} d x \in (\frac{1}{166}, \frac{1}{83}) = (0.0060241, 0.0120482); 0.0060967$
4. Cette borne tend vers 0 lorsque le degré augmente. La série alternée des inverses des nombres impairs converge donc, et ce vers π/4 :
  
  $0 < \int_{0}^{1} \frac{x ^{2 k + 2}}{1 + x ^{2}} d x < \frac{1}{2 k + 3} \to 0 \Rightarrow 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \dots = \frac{π}{4}$
Réponse

L'aire converge là où la série ne le faisait pas : 0,7914948 contre π/4 = 0,7853982, et chaque paire de degrés supplémentaire réduit l'écart. Elle converge lentement, l'erreur après n termes étant proche de 1/(4n). Une erreur d'un millionième nécessite donc environ 250 000 termes. De plus, cette convergence n'est que conditionnelle, puisque 1 + ⅓ + ⅕ + … diverge. C'est exactement le genre de série dont Riemann a montré qu'elle pouvait être réarrangée pour donner n'importe quelle somme. Dans ce même essai de 1854, il notait que les séries formées des puissances d'une variable convergent absolument, à l'exception de certaines valeurs isolées de la variable ; x = 1 est l'une de ces valeurs.

$0.7914948 - 0.7853982 = 0.0060967 \approx \frac{1}{4 \times 41}; 1 0^{- 6} needs \approx 250, 000 terms$

Parcours

Séries infinies et convergence

Références (2)

The theorem the page draws, that a function holomorphic on a region can be expanded about any point into a power series whose radius is at least the distance to the region's boundary, and this page's own example, 1/(z² + 1) about 0, radius 1 because of the singularities at ±i: M. Beck, G. Marchesi, D. Pixton and L. Sabalka, A First Course in Complex Analysis, edition 1.6 (2025), open textbook, Corollary 8.1.10 and Example 8.1.11.
Riemann's remark, in the essay where he gave the rearrangement theorem, that series in rising powers of a variable belong to the class that converges absolutely, single values of the variable excepted: B. Riemann, "Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe", Habilitationsschrift, Göttingen 1854; published by R. Dedekind in Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen 13 (1867), §3. Transcribed by D. R. Wilkins, Trinity College Dublin.

Par l’équipe 42Math · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.