Bases des suites et séries

Change le type de suite, ajuste les paramètres et observe comment les termes s'accumulent.

Exemple résolu — Bases des suites et séries

termes	3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Bases des suites et séries

Une suite est la liste ; une série est ce que l’on obtient en additionnant les termes de la liste. Cette page présente les deux à la fois — a_n est le n-ième élément de la liste, S_n est le total cumulé des n premiers d’entre eux — et confondre les deux est l’erreur la plus courante dans ce chapitre.

Ce que signifie chaque symbole

d: la raison d’une suite arithmétique — ce qui est ajouté à chaque étape. 2 ici, ce qui donne 3, 5, 7, 9, …
r: la raison d’une suite géométrique — ce par quoi elle est multipliée. Changez de mode et r = 1.5 donne 3, 4,5, 6,75, …
Sₙ: la somme des n premiers termes. Pour les valeurs arithmétiques par défaut, S₈ = 80 alors que a₈ ne vaut que 17.

D’où vient la formule

Écrivez la somme arithmétique dans l’ordre direct puis dans l’ordre inverse, l’une sous l’autre : a₁ + (a₁+d) + ⋯ + a_n au-dessus de a_n + (a_n−d) + ⋯ + a₁.
Additionnez les deux lignes colonne par colonne. Chaque colonne donne le même total, a₁ + a_n, car chaque augmentation d’un pas sur une ligne est compensée par une diminution d’un pas sur l’autre — et il y a n colonnes.
Ainsi, le double de la somme vaut n(a₁ + a_n), ce qui donne S_n = (n/2)(a₁ + a_n). Avec les valeurs par défaut, (8/2)(3 + 17) = 80 — la formule figurant dans le tableau ci-dessus, et l’astuce qu’un jeune Gauss aurait utilisée pour additionner les nombres de 1 à 100.
Basculez maintenant le sélecteur de mode sur géométrique : les termes deviennent 3, 4,5, 6,75, … et les deux formules du tableau changent. Cette somme nécessite une astuce différente, car ses termes ne s’associent pas par paires — chacun est un multiple du précédent et non séparé par un pas fixe. Écrivez la somme développée, et en dessous, écrivez r fois cette même somme : S_n = a₁ + a₁r + ⋯ + a₁rⁿ⁻¹ au-dessus de r·S_n = a₁r + a₁r² + ⋯ + a₁rⁿ.
Soustrayez la seconde ligne de la première. Chaque terme intermédiaire apparaît dans les deux et s'annule, ne laissant que les extrémités : S_n − r·S_n = a₁ − a₁rⁿ. Factorisez les deux membres et divisez par (1 − r) : S_n = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) — l'expression affichée par le tableau en mode géométrique, donnant 147.773438 pour a₁ = 3, r = 1.5, n = 8.

Suppose: Une différence constante ou un rapport constant, indéfiniment. Toute suite réelle qui semble simplement arithmétique sur quelques termes s’écartera immédiatement de ces formules.
Ne tient plus quand: La formule arithmétique n’a pas ce genre de défaillance : S_n = (n/2)(a₁ + a_n) ne divise que par 2, et 2 n’est jamais nul. La formule géométrique divise par (1 − r), ce qui est précisément la raison pour laquelle elle induit en erreur. Passez en mode géométrique et réglez r = 1 : la suite devient 3, 3, 3, …, et la formule affichée devient S_n = n·a₁, ce qui donne 8 × 3 = 24. Ce n’est pas un bricolage, c’est la bonne limite — quand rien ne croît, la somme est simplement le terme répété.

Additionner sans fin peut tout de même donner un nombre entier 🖖

Cela paraît contradictoire qu’additionner une infinité de termes positifs puisse donner un total fini, mais une série géométrique avec |r| < 1 fait exactement cela, et la somme vaut a/(1 − r). L’exemple le plus familier se cache sous nos yeux : 0,999… est la série 0,9 + 0,09 + 0,009 + …, donc a = 0,9 et r = 0,1, ce qui donne 0,9/(1 − 0,1) = 1. Non pas tendant vers 1, non pas presque 1 — la somme est 1, et 0,999… est une autre façon d’écrire le nombre un. Le coureur de Zénon qui parcourt indéfiniment la moitié de la distance restante est la même série avec a = r = 1/2, dont le total vaut exactement 1 : il termine bien la course.

Additionner ou multiplier 🖖

Les deux types de suite partent d'un premier terme, mais croissent selon des règles différentes. Une suite arithmétique ajoute la même quantité à chaque étape (comme épargner 50 $ chaque mois), tandis qu'une suite géométrique multiplie par le même facteur (comme un solde rapportant 5 % d'intérêt par an). La formule du terme de rang n donne n'importe quelle valeur sans tous les énumérer, et la somme partielle additionne les n premiers. Observe comme une même valeur de départ évolue très différemment selon la règle choisie.

La seule suite qui soit les deux 🖖

Essaie de construire une suite à la fois arithmétique et géométrique. Il s'avère qu'une seule famille convient : une suite constante comme 7, 7, 7, …, où la différence vaut d = 0 et la raison r = 1. Tout changement réel enfreint l'une ou l'autre règle, car additionner régulièrement s'écarte toujours de multiplier régulièrement. C'est un cas rare où deux lois de croissance apparemment indépendantes sont forcées de se réduire à une unique valeur immobile.

Exercice

Vérifiez-vous

Prédisez d’abord la réponse, puis utilisez les commandes ci-dessus pour vérifier. N’affichez la solution qu’après vous être engagé sur une hypothèse : c’est ce qui en fait un exercice.

Appuyez sur décroissance géométrique, puis réglez la raison sur 0.99, puis sur 1.01. Les huit termes diffèrent à peine. Laquelle des deux a une somme infinie finie — et pouvez-vous le voir aux termes affichés ?

Réglez :

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0.99 converge et 1.01 non, et ni les termes ni la somme des huit ne le trahissent : huitièmes termes de 18.641307 contre 21.442707, sommes de 154.510611 contre 165.713411. Seule la ligne de la somme infinie bascule, de S∞ = 2000 à Diverge. La convergence se décide par la seule raison, et aucun tronçon fini d'une suite ne peut la révéler.
Restez à r = 0.99, où la somme infinie vaut 2000 et où huit termes ont atteint 154.510611. Devinez quelle part du chemin cela représente.

Réglez :

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Environ 7,7 % — moins d'un treizième. Comparez avec r = 0.7, où les mêmes huit termes atteignent 62.823466 d'une somme infinie de 66.666667, soit 94 %. Les deux séries convergent. L'une est pour l'essentiel terminée après huit termes et l'autre a à peine commencé : la convergence promet une destination et ne dit strictement rien de la vitesse d'arrivée.
Appuyez sur croissance géométrique et poussez n à 30. Le trentième terme vaut à lui seul 255668.078977. Prédisez la somme des trente.

Réglez :

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767000.236932 — presque exactement le triple de ce dernier terme, si bien que les vingt-neuf termes d'histoire réunis ne valent que le double du plus récent. Lisez la somme à l'envers pour voir pourquoi : à r = 1.5 chaque terme vaut les deux tiers du suivant, donc le tout fait a₃₀·(1 + 2/3 + 4/9 + ⋯) = 3a₃₀, une série géométrique à part entière.

Problèmes entièrement résolus

Les 8 termes dont la somme fait 80 sans additionner 8 nombres 5 étapes
Les 8 termes 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 ont pour somme 80. Obtenez ce résultat sans additionner 8 nombres, puis déterminez ce qu'il advient de la somme lorsque la liste est deux fois plus longue.
1. La formule du terme compte des pas, non des termes. Passer de a₁ à a₈ nécessite 7 pas de 2, pas 8, et ce décalage d'une unité est la seule difficulté de tout ce chapitre.
  
  $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d = 3 + 2 (n - 1) = 2 n + 1 ⟹ a_{8} = 17$
2. Associez les termes de la liste de l'extérieur vers l'intérieur. 3 et 17 font 20, tout comme 5 et 15, 7 et 13, 9 et 11. Il en va forcément ainsi : se déplacer d'un rang vers la droite ajoute 2 et se déplacer d'un rang vers la gauche retranche 2, si bien que chaque terme perd exactement ce que l'autre gagne.
  
  $3 + 17 = 20, 5 + 15 = 20, 7 + 13 = 20, 9 + 11 = 20$
3. 8 termes forment 4 paires, et chaque paire vaut 20. Personne n'a additionné 8 nombres.
  
  $S_{8} = 4 \times 20 = 80$
4. Rien dans cet argument n'utilise 3 ou 2. Toute liste arithmétique de n termes se décompose en n/2 paires valant chacune a₁ + a_n, et pour cette liste, l'algèbre se réduit à n(n + 2).
  
  $S_{n} = \frac{n}{2} (a_{1} + a_{n}) = \frac{n}{2} (2 n + 4) = n (n + 2)$
5. Testez la forme explicite sur un cas significatif. Doubler la liste pour passer à 16 termes donne 16 × 18 = 288, ce qui représente 3,6 fois la somme des 8 termes, et non le double.
  
  $S_{16} = 16 \times 18 = 288 = 3.6 \times S_{8}$
Réponse

Le panneau affiche a₈ = 17 et S₈ = 80, et les 4 paires de 20 en sont la raison. Doubler la longueur multiplie la somme par 4(n + 1)/(n + 2), ce qui vaut 3,6 ici et se rapproche lentement de 4 à mesure que la liste s'allonge — la somme d'une suite arithmétique est quadratique en le nombre de termes, car une liste plus longue est aussi une liste de termes plus grands. Poussez la forme explicite au-delà de tout ce qui figure sur la page et elle reste exacte : n(n + 2) atteint 9999 exactement pour n = 99, et dépasse 10000 pour la première fois pour n = 100. Cette page n'accepte pas plus de 30 termes, où la somme n'est que de 960, si bien que la quasi-totalité du comportement de cette suite se déroule au-delà de la dernière valeur acceptée par le champ de saisie.

$\frac{S _{2 n}}{S _{n}} = \frac{4 ( n + 1 )}{n + 2} ⟶ 4, 99 \times 101 = 9999$
Là où l'appariement des extrémités a échoué sur une suite qui renvoie 86,588344 6 étapes
L'association des extrémités a fonctionné pour une liste arithmétique. Essayez-la sur 20, 14, 9,8, 6,86, 4,802, 3,3614, 2,35298, 1,647086 et elle renvoie 86,588344 — soit plus que ce que cette suite peut atteindre si vous la laissez se poursuivre indéfiniment. Trouvez la somme réelle et découvrez où le regroupement par paires s'est effondré.
1. Vérifiez les paires au lieu de les supposer. La paire extérieure vaut 21,647086 et la suivante vers l'intérieur vaut 16,35298. Avancer vers l'intérieur multiplie un côté par 0,7 et divise l'autre par 0,7, et un facteur gagné n'est pas un facteur perdu — cette compensation ne fonctionne que pour l'addition et la soustraction.
  
  $a_{1} + a_{8} = 20 + 1.647086 = 21.647086, a_{2} + a_{7} = 14 + 2.35298 = 16.35298$
2. Ce qui fonctionne, en revanche, c'est un décalage. Écrivez la somme, puis écrivez 0,7 fois la somme en dessous, décalée d'un rang vers la droite. Chaque terme de la seconde ligne figure déjà dans la première.
  
  $S_{8} = 20 + 14 + \dots + 20 \times 0. 7^{7}, 0.7 S_{8} = 14 + 9.8 + \dots + 20 \times 0. 7^{8}$
3. Soustrayez les lignes et tout le milieu s'annule. Seules les deux extrémités qui dépassent subsistent : le 20 initial de la ligne du haut et le 20 × 0,7⁸ final de la ligne du bas. Divisez par 1 − r et vous obtenez une forme explicite pour n'importe quel premier terme et n'importe quelle raison.
  
  $S_{8} - 0.7 S_{8} = 20 - 20 \times 0. 7^{8} ⟹ S_{n} = a_{1} \frac{1 - r ^{n}}{1 - r}$
4. Remplacez par les valeurs. 0,7⁸ = 0,05764801, donc le numérateur vaut 20 × 0,94235199 et le diviseur vaut 1 − 0,7 = 0,3.
  
  $S_{8} = 20 \times \frac{1 - 0.05764801}{0.3} = \frac{18.8470398}{0.3} = 62.823466$
5. Laissez maintenant la liste se poursuivre. Chaque terme supplémentaire multiplie rⁿ par 0,7, de sorte qu'il tend vers 0 et que le numérateur se stabilise à 1. La somme possède un plafond, ce qu'une série arithmétique ne peut jamais avoir.
  
  $r^{n} \to 0 ⟹ S_{\infty} = \frac{a _{1}}{1 - r} = \frac{20}{0.3} = 66.666667$
6. L'écart entre la somme des 8 termes et ce plafond est de 3,843201, et il vaut exactement 66,666667 × 0,7⁸. Ainsi, la fraction du total qu'il manque encore après n termes est rⁿ — le même nombre qui mesure la vitesse à laquelle les termes rétrécissent mesure également ce qu'il reste.
  
  $S_{\infty} - S_{8} = 3.843201 = 66.666667 \times 0. 7^{8}$
Réponse

Le panneau affiche a₈ = 1,647086, S₈ = 62,823466 et un plafond de S_∞ = 66,666667. Le résultat sur la fraction manquante est ce qu'il faut retenir, car il transforme la « convergence » d'une promesse en un calendrier : 0,7ⁿ ≤ 0,01 exige n ≥ 12,9114, si bien que 13 termes vous placent à moins de 1 % de tout ce que cette série sera jamais. Modifiez la raison et le calendrier varie brutalement tandis que le plafond reste fini — pour r = 0,9, ce même 1 % coûte 44 termes, pour r = 0,99, il en coûte 459. Et la valeur 86,588344 produite par le regroupement par paires était réfutable avant même tout cela : une somme partielle de termes positifs ne peut pas dépasser le total de l'ensemble des termes, donc une méthode qui affirme le contraire est manifestement fausse.

$0. 7^{n} \leq 0.01 ⟺ n \geq \frac{ln 0.01}{ln 0.7} = 12.9114 ⟹ n = 13$

Parcours

L'argent au fil du temps

Mène à Simples vs composés la forme close d'une somme géométrique.

Références (1)

On the Gauss schoolroom story, which the derivation deliberately hedges: B. Hayes, "Gauss's Day of Reckoning." American Scientist 94(3), 200, 2006.

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-05-21

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Exemples de problèmes

croissance arithmétique - Suite arithmétique de raison constante d=2.
croissance géométrique - Suite géométrique croissante de raison r>1.
décroissance géométrique - Suite géométrique décroissante de raison comprise entre 0 et 1.