Bases des suites et séries

Les suites mappent les entiers naturels sur des valeurs réelles. Alors que les séries arithmétiques présentent une divergence linéaire, les séries géométriques révèlent des limites de convergence. Un rapport inférieur à l'unité est le prérequis de la sommabilité finie.

Les deux types de suite partent d'un premier terme, mais croissent selon des règles différentes. Une suite arithmétique ajoute la même quantité à chaque étape (comme épargner 50 $ chaque mois), tandis qu'une suite géométrique multiplie par le même facteur (comme un solde rapportant 5 % d'intérêt par an). La formule du terme de rang n donne n'importe quelle valeur sans tous les énumérer, et la somme partielle additionne les n premiers. Observe comme une même valeur de départ évolue très différemment selon la règle choisie.

Essaie de construire une suite à la fois arithmétique et géométrique. Il s'avère qu'une seule famille convient : une suite constante comme 7, 7, 7, …, où la différence vaut d = 0 et la raison r = 1. Tout changement réel enfreint l'une ou l'autre règle, car additionner régulièrement s'écarte toujours de multiplier régulièrement. C'est un cas rare où deux lois de croissance apparemment indépendantes sont forcées de se réduire à une unique valeur immobile.