Valeur future d'une annuité

Accumulation d'épargne par versements répétés.

Exemple résolu — Valeur future d'une annuité

Valeur future	6.1×10⁵
Total des versements	1.8×10⁵
Croissance de l'investissement	4.3×10⁵
Part de la croissance	70.491%

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Valeur future d'une annuité

Une rente désigne ici une suite de versements égaux à intervalles réguliers, et sa valeur acquise correspond à ce que vaut cette suite à la fin : chaque versement, plus l'ensemble des intérêts générés pendant la durée qu'il lui restait. Un avertissement avant d'aborder l'algèbre, car c'est un piège pour presque tout le monde — r et n dans la formule ci-dessous ne sont pas les nombres des cases ci-dessus. Il s'agit du taux par période et du nombre de périodes.

Ce que signifie chaque symbole

d: le versement effectué à chaque période. Constant : cette formule ne prend pas en compte un versement variable.
r: le taux par période, et c'est celui qui induit en erreur. La case ci-dessus demande un taux annuel de 7 %, mais la formule utilise 0.0058333 — c'est-à-dire 0.07 / 12, car les versements sont mensuels.
n: le nombre de périodes, et non d'années. Trente ans de versements mensuels correspondent à n = 360, qui est la valeur substituée dans le calcul ci-dessus.

D’où vient la formule

Alignez les versements selon la durée pendant laquelle chacun fructifie. Le premier a n − 1 périodes restantes, le dernier n'en a aucune, le total s'écrit donc d·(1+r)ⁿ⁻¹ + d·(1+r)ⁿ⁻² + ⋯ + d.
Il s'agit d'une série géométrique : chaque terme est le suivant multiplié par (1+r). Sa forme explicite est établie à l'étape 5 de Sequences & series, la première étape de ce parcours d'apprentissage — avec un premier terme d, une raison (1+r) et n termes, sa somme vaut d·((1+r)ⁿ − 1) / ((1+r) − 1). Si cette formule ne vous est pas encore familière, commencez par là avant de revenir.
Le dénominateur (1+r) − 1 se réduit à r, ce qui donne FV = d·((1+r)ⁿ − 1) / r — la formule affichée ci-dessus. En remplaçant par les valeurs par période : 500·((1+0.0058333)³⁶⁰ − 1) / 0.0058333 = 6.1 × 10⁵, ce qui condense 360 versements distincts en une seule ligne.

Suppose: Un taux constant et un versement constant, chaque versement survenant à la fin de sa période et étant capitalisé à la même fréquence. Les rendements réels ne sont pas constants, et un fonds dont les intérêts sont capitalisés quotidiennement alors que vos versements sont mensuels ne correspond pas à cette formule.
Ne tient plus quand: Rien ici n'est ajusté de l'inflation, donc les 6.1 × 10⁵ sont exprimés dans la monnaie de la dernière année plutôt qu'en valeur actuelle. La formule suppose également que vous ne manquez aucun versement et n'effectuez aucun retrait. Le cas d'un taux nul mérite d'être essayé, car l'affichage du calcul et le résultat se séparent : réglez le taux sur 0 et le détail du calcul affiche FV = 500·((1+0)³⁶⁰ − 1) / 0, soit un dénominateur nul — pourtant, le résultat donne la valeur exacte 1.8 × 10⁵, car lorsque r tend vers 0, la fraction entière tend vers n, ce qui donne exactement d × n.

pourquoi les 10 dernières années font l'essentiel du travail 🖖

Les intérêts composés croissent de façon exponentielle, pas linéaire. Dans un plan de retraite sur 30 ans, environ la moitié du solde final s'accumule au cours des 10 dernières années. C'est pourquoi commencer tôt compte bien plus que verser davantage plus tard — la base sur laquelle les intérêts se composent est bien plus large après 20 ans de croissance. Doubler son versement à l'année 25 aide beaucoup moins que d'avoir commencé 5 ans plus tôt.

ce qu'est vraiment une rente 🖖

Une rente est simplement une suite de versements égaux effectués à intervalles réguliers — mensuels, trimestriels ou annuels. Cet outil les additionne pendant que chaque versement passé continue de rapporter de son côté, puis répartit la valeur finale en deux : l'argent que vous avez versé (courbe bleue) et la croissance qu'il a produite (zone verte). À retenir : dès que la courbe verte du solde s'écarte nettement de la courbe bleue des versements, l'essentiel de l'argent neuf vient des rendements, pas de votre poche.

la même formule dose votre médicament 🖖

Le moteur ici est une série géométrique : FV = d·((1+r)ⁿ − 1)/r. Remplacez le facteur de croissance (1+r) par un facteur décroissant et vous obtenez l'équation exacte qu'utilisent les pharmacologues pour des doses répétées de médicament. Comme chaque versement croît alors que chaque dose décroît entre les intervalles, une rente monte sans limite tandis que la concentration plasmatique se stabilise sur un plateau de régime permanent — même équation, destin opposé, décidé seulement par le fait que le facteur soit supérieur ou inférieur à 1.

Exercice

Vérifiez-vous

Prédisez d’abord la réponse, puis utilisez les commandes ci-dessus pour vérifier. N’affichez la solution qu’après vous être engagé sur une hypothèse : c’est ce qui en fait un exercice.

Les valeurs par défaut épargnent 500 par mois pendant 30 ans à 7 % — soit 6 000 par an. Réglez Versements par an sur 1 et Versement par période sur 6000 : le même argent, versé en une fois chaque année. Prédisez ce que devient la valeur future.

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Elle tombe de 6.1 × 10⁵ à 5.668 × 10⁵, alors que le total des versements reste à 1.8 × 10⁵. La ligne du dessous chiffre l'écart : 429,985 de croissance contre 386,765, soit environ 43 000 pour une simple question de calendrier. L'argent versé en janvier se capitalise onze mois de plus que celui de décembre, et vous venez de le faire trente fois de suite.
Même expérience, mais surveillez le point de croisement — l'année où la croissance dépasse ce que vous avez versé. Essayez un versement de 6000 par an, puis 500 douze fois, puis 16.438356 par jour. Prédisez le déplacement du croisement.

Afficher la réponse

Il ne bouge pas : année 11 dans les trois cas. La fréquence change la destination — 5.668 × 10⁵ en annuel, 6.1 × 10⁵ en mensuel, 6.141 × 10⁵ en quotidien — mais le croisement est une course entre un total qui croît exponentiellement et un total qui croît en ligne droite, et avancer les versements de quelques semaines ne change presque rien au moment où l'un dépasse l'autre. Remarquez aussi le peu que rapporte la dernière étape : du mensuel au quotidien, environ 4 000, là où de l'annuel au mensuel il y en avait 43 000.

Problème entièrement résolu

La valeur future de 500 par mois pendant 30 ans à 7 % 6 étapes
500 par mois pendant 30 ans à 7 %. Dérivez la valeur future à partir de la série plutôt que d'un tableur, puis calculez ce qu'elle vaut réellement.
1. Chaque versement est un capital distinct qui produit des intérêts composés pendant la durée qui lui reste. Leur somme forme une série géométrique de raison (1+i), et sa forme close est la seule formule de toute l'arithmétique de la retraite.
  
  $FV = k = 0 \sum n - 1 d (1 + i)^{k} = d \frac{( 1 + i ) ^{n} - 1}{i}$
2. Convertissez d'abord vers la période de capitalisation avant toute autre chose. Le taux et le nombre de versements sont tous deux mensuels — mélanger un taux annuel avec un nombre de versements mensuel est le moyen classique d'obtenir une erreur d'un facteur douze.
  
  $i = \frac{0.07}{12} = 0.0058333, n = 30 \times 12 = 360$
3. Effectuez la substitution. Repérez l’effet de levier : sur la durée considérée, le numérateur a été multiplié par 8,1 ; la division par un petit i amplifie encore le résultat.
  
  $(1 + i)^{360} = 8.1165 ⟹ FV = 500 \cdot \frac{8.1165 - 1}{i} = 609985$
4. Le montant des versements s'obtient simplement en multipliant le versement par leur nombre. Tout ce qui dépasse ce montant provient des intérêts composés, et représente ici 70 % du total — le compte rapporte plus que ce que l'épargnant ne verse.
  
  $contributions = 500 \times 360 = 180000, growth = 429985 = 70.491%$
5. Les versements n'ont pas un effet égal. Le premier dispose de 359 mois pour fructifier et le dernier n'en a aucun.
  
  $first deposit \to 500 (1.0058333)^{359} = 4035; last \to 500$
6. Enfin, déflatez. Le capital est nominal et les versements étaient fixes en valeur nominale ; la vraie question est donc de savoir ce que 609 985 permet d'acheter dans trente ans.
  
  $\frac{609 985}{1.02 5 ^{30}} = \frac{609 985}{2.0976} = 290806$
Réponse

609 985 en valeur nominale, soit environ 291 000 en monnaie d'aujourd'hui. Avec une inflation de 2,5 %, le capital est divisé par 2,10 sur trente ans. Un gain de 430 000 se réduit alors à un bénéfice réel d'environ 111 000 sur les 180 000 que vous avez versés. Rien n'est faux sur ce panneau, il exprime simplement sa réponse dans la devise de 2056. La suite géométrique dissimule une autre réalité : le poids très inégal des dépôts. Vos premiers 500 atteignent 4 035, et les derniers valent 500. Le mois d'ouverture a donc une importance huit fois supérieure au mois de clôture. Commencer une décennie plus tôt s'avère bien plus efficace que d'épargner un tiers de plus.

$FV = d \frac{( 1 + i ) ^{n} - 1}{i} = 609985 nominal; 290806 in today’s money$

Parcours

L'argent au fil du temps

Références (1)

Rate per period versus quoted annual rate — the distinction the lesson opens with: R. J. Wilders, "Measuring Interest," in Financial Mathematics for Actuarial Science: The Theory of Interest, 19–66. Chapman and Hall/CRC, 2020.

Par l’équipe 42Math · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.