Leçon
La théorie — Valeur future d'une annuité
Une rente désigne ici une suite de versements égaux à intervalles réguliers, et sa valeur acquise correspond à ce que vaut cette suite à la fin : chaque versement, plus l'ensemble des intérêts générés pendant la durée qu'il lui restait. Un avertissement avant d'aborder l'algèbre, car c'est un piège pour presque tout le monde — r et n dans la formule ci-dessous ne sont pas les nombres des cases ci-dessus. Il s'agit du taux par période et du nombre de périodes.
Ce que signifie chaque symbole
d- le versement effectué à chaque période. Constant : cette formule ne prend pas en compte un versement variable.
r- le taux par période, et c'est celui qui induit en erreur. La case ci-dessus demande un taux annuel de 7 %, mais la formule utilise
0.0058333— c'est-à-dire0.07 / 12, car les versements sont mensuels. n- le nombre de périodes, et non d'années. Trente ans de versements mensuels correspondent à
n = 360, qui est la valeur substituée dans le calcul ci-dessus.
D’où vient la formule
- Alignez les versements selon la durée pendant laquelle chacun fructifie. Le premier a
n − 1périodes restantes, le dernier n'en a aucune, le total s'écrit doncd·(1+r)n−1 + d·(1+r)n−2 + ⋯ + d. - Il s'agit d'une série géométrique : chaque terme est le suivant multiplié par
(1+r). Sa forme explicite est établie à l'étape 5 de Sequences & series, la première étape de ce parcours d'apprentissage — avec un premier termed, une raison(1+r)et n termes, sa somme vautd·((1+r)n − 1) / ((1+r) − 1). Si cette formule ne vous est pas encore familière, commencez par là avant de revenir. - Le dénominateur
(1+r) − 1se réduit àr, ce qui donneFV = d·((1+r)n − 1) / r— la formule affichée ci-dessus. En remplaçant par les valeurs par période :500·((1+0.0058333)360 − 1) / 0.0058333 = 6.1 × 10⁵, ce qui condense 360 versements distincts en une seule ligne.
- Suppose
- Un taux constant et un versement constant, chaque versement survenant à la fin de sa période et étant capitalisé à la même fréquence. Les rendements réels ne sont pas constants, et un fonds dont les intérêts sont capitalisés quotidiennement alors que vos versements sont mensuels ne correspond pas à cette formule.
- Ne tient plus quand
- Rien ici n'est ajusté de l'inflation, donc les
6.1 × 10⁵sont exprimés dans la monnaie de la dernière année plutôt qu'en valeur actuelle. La formule suppose également que vous ne manquez aucun versement et n'effectuez aucun retrait. Le cas d'un taux nul mérite d'être essayé, car l'affichage du calcul et le résultat se séparent : réglez le taux sur0et le détail du calcul afficheFV = 500·((1+0)³⁶⁰ − 1) / 0, soit un dénominateur nul — pourtant, le résultat donne la valeur exacte1.8 × 10⁵, car lorsque r tend vers 0, la fraction entière tend versn, ce qui donne exactementd × n.
Exercice
Vérifiez-vous
Prédisez d’abord la réponse, puis utilisez les commandes ci-dessus pour vérifier. N’affichez la solution qu’après vous être engagé sur une hypothèse : c’est ce qui en fait un exercice.
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Les valeurs par défaut épargnent 500 par mois pendant 30 ans à 7 % — soit 6 000 par an. Réglez Versements par an sur
1et Versement par période sur6000: le même argent, versé en une fois chaque année. Prédisez ce que devient la valeur future.Afficher la réponse
Elle tombe de6.1 × 10⁵à5.668 × 10⁵, alors que le total des versements reste à1.8 × 10⁵. La ligne du dessous chiffre l'écart :429,985de croissance contre386,765, soit environ 43 000 pour une simple question de calendrier. L'argent versé en janvier se capitalise onze mois de plus que celui de décembre, et vous venez de le faire trente fois de suite. -
Même expérience, mais surveillez le point de croisement — l'année où la croissance dépasse ce que vous avez versé. Essayez un versement de
6000par an, puis500douze fois, puis16.438356par jour. Prédisez le déplacement du croisement.Afficher la réponse
Il ne bouge pas : année 11 dans les trois cas. La fréquence change la destination —5.668 × 10⁵en annuel,6.1 × 10⁵en mensuel,6.141 × 10⁵en quotidien — mais le croisement est une course entre un total qui croît exponentiellement et un total qui croît en ligne droite, et avancer les versements de quelques semaines ne change presque rien au moment où l'un dépasse l'autre. Remarquez aussi le peu que rapporte la dernière étape : du mensuel au quotidien, environ 4 000, là où de l'annuel au mensuel il y en avait 43 000.
Problème entièrement résolu
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La valeur future de 500 par mois pendant 30 ans à 7 % 6 étapes
500 par mois pendant 30 ans à 7 %. Dérivez la valeur future à partir de la série plutôt que d'un tableur, puis calculez ce qu'elle vaut réellement.
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Chaque versement est un capital distinct qui produit des intérêts composés pendant la durée qui lui reste. Leur somme forme une série géométrique de raison (1+i), et sa forme close est la seule formule de toute l'arithmétique de la retraite.
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Convertissez d'abord vers la période de capitalisation avant toute autre chose. Le taux et le nombre de versements sont tous deux mensuels — mélanger un taux annuel avec un nombre de versements mensuel est le moyen classique d'obtenir une erreur d'un facteur douze.
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Effectuez la substitution. Repérez l’effet de levier : sur la durée considérée, le numérateur a été multiplié par 8,1 ; la division par un petit i amplifie encore le résultat.
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Le montant des versements s'obtient simplement en multipliant le versement par leur nombre. Tout ce qui dépasse ce montant provient des intérêts composés, et représente ici 70 % du total — le compte rapporte plus que ce que l'épargnant ne verse.
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Les versements n'ont pas un effet égal. Le premier dispose de 359 mois pour fructifier et le dernier n'en a aucun.
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Enfin, déflatez. Le capital est nominal et les versements étaient fixes en valeur nominale ; la vraie question est donc de savoir ce que 609 985 permet d'acheter dans trente ans.
Réponse
609 985 nominal — et environ 291 000 en monnaie d'aujourd'hui. L'inflation à 2,5 % divise le capital par 2,10 sur trente ans, ce qui transforme un gain de 430 000 en un gain réel d'environ 111 000 pour 180 000 versés. Rien sur le panneau n'est erroné ; il répond simplement dans la monnaie de 2056. L'autre élément dissimulé dans la série géométrique est l'inégalité des versements : le premier 500 devient 4 035 et le dernier reste à 500, de sorte que la première année compte huit fois plus que la dernière. Commencer une décennie plus tôt rapporte plus qu'épargner un tiers de plus.
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Parcours
L'argent au fil du temps
Références (1)
- Rate per period versus quoted annual rate — the distinction the lesson opens with: R. J. Wilders, "Measuring Interest," in Financial Mathematics for Actuarial Science: The Theory of Interest, 19–66. Chapman and Hall/CRC, 2020.