La martingale au jeu

Cliquez sur 1 023 u., 1 000 sessions. Misez 1 unité sur le rouge, doublez après chaque perte et arrêtez-vous au premier gain. Ce gain vous laisse une unité de bénéfice, quelles que soient les pertes précédentes : chaque mise dépasse d’une unité leur total. Avec 1 023 unités, vous pouvez miser dix fois, 1 + 2 + … + 512. La session rapporte donc une unité, sauf si le rouge ne sort pas dix fois de suite, ce qui arrive dans 0,1275 % des sessions. Les 1 023 unités sont alors perdues. La ligne grise en pointillés représente le gain que l’on a le sentiment d’obtenir en jouant : une unité par session. L’espérance du résultat d’une session est de 0,998725 × 1 − 0,001275 × 1 023 = −0,3056. Le total misé atteint en moyenne 11,308 unités par session. La plupart s’arrêtent au premier ou au deuxième pari ; quelques-unes vont plus loin dans la progression. Le rapport entre ces deux espérances, calculé avant tout arrondi, vaut −2,7027 %, soit −1/37 : exactement le résultat moyen d’un pari sur le rouge, rapporté à sa mise. L’égalité vaut pour tout capital. Une session est une suite de paris dont chacun perd en moyenne 1/37 de sa mise, quel qu’en soit le montant. Cliquez sur Une pièce équilibrée : l’espérance du résultat est exactement de 0. C’est le théorème d’arrêt de Doob. Dans son manuel, Kyle Siegrist en donne une formulation limpide pour le joueur : si les jeux sont équitables ou défavorables, « aucun temps d’arrêt, si ingénieusement conçu soit-il, ne peut aider le joueur ». Une session qui s’achève en dix paris au plus en est un cas particulièrement simple. Le mot appartenait d’abord aux joueurs. Roger Mansuy le relève dans le dictionnaire de l’abbé Prévost de 1750 : au pharaon, on double la mise après chaque perte « afin de se retirer avec un profit certain, pourvu qu’on gagne une fois ». Jean Ville a introduit le terme en théorie des probabilités en 1939.

Gardez 1 023 u., 1 000 sessions et observez les 400 joueurs. Après une perte, chacun retrouve son capital initial. Chaque courbe monte d’une unité par session gagnée et chute de 1 023 lorsqu’une session est perdue. La probabilité de perdre une session est faible, 0,1275 %, mais chaque joueur en joue mille. Après 1 000 sessions, 27,92 % des joueurs n’en ont perdu aucune et affichent +1 000. Tous les autres en ont perdu au moins une. Une seule session perdue suffit à ramener le bilan à 999 − 1 023 = −24 : 72,08 % des joueurs sont donc en perte. La médiane du numéro de la première session perdue est 544. Cliquez sur 100 sessions : 88,02 % des joueurs n’ont encore perdu aucune session. Après 1 000 sessions, la moyenne vaut 1 000 × (−0,3056) = −305,6 ; c’est la ligne violette en pointillés. Le graphique du bas montre qu’aucun joueur n’a ce bilan. Les seuls totaux possibles sont 1 000, −24, −1 048, puis des valeurs espacées de 1 024 unités : chaque session perdue coûte les 1 023 unités mises en jeu et l’unité qui n’a pas été gagnée. La martingale concentre ainsi les pertes en rares chutes de 1 023 unités, ce qui permet de se sentir gagnant très longtemps.

Cliquez sur 63 unités : six mises. Avec 63 unités, vous pouvez miser six fois. Une session les fait toutes perdre dans 1,8336 % des cas, et l’espérance du résultat est de −0,1735 par session. Avec 1 023 unités, elle vaut −0,3056. Cliquez sur Un million d’unités : 1 048 575 unités permettent vingt mises. La probabilité de perdre une session tombe à 1,63×10⁻⁴ %, mais l’espérance du résultat atteint −0,7047. Le tableau des capitaux explique cette perte supplémentaire. Les derniers paliers sont rarement atteints ; lorsqu’ils le sont, les mises deviennent considérables. L’espérance du total misé augmente donc : 6,420, 11,308, 26,072. Le casino en prélève en moyenne 2,7027 % par unité. Avec le million d’unités, 99,84 % des joueurs traversent les 1 000 sessions sans perte et terminent avec un gain de 1 000. La moyenne reste pourtant à −704,7, à cause des 0,16 % qui perdent 1 048 575 d’un coup. Dans ses mémoires, Casanova raconte avoir joué pendant le carnaval de Venise de 1754 avec une progression de six mises : « Je ne perdis jamais la sixième carte. Si je l’avais perdue, je me serais trouvé sans argent » (cité par Grinstead et Snell). Avec une pièce équilibrée, l’espérance vaut exactement 0 pour tout capital, quel que soit le nombre de paliers. Seul un capital illimité échappe à cette contrainte : il garantit un gain d’une unité, avec une espérance du total misé par session qui est infinie. La leçon suivante reprend le doublement sous une autre forme. Dans le jeu de Saint-Pétersbourg, le gain double à chaque lancer et son espérance est infinie.