Équation de Laplace : une plaque en régime permanent

Réglez les quatre bords d'une plaque carrée et choisissez un point. La page y calcule la température stationnaire de trois manières : par la série de Fourier, sur une grille relaxée balayage par balayage à partir du froid, et par des marcheurs aléatoires lâchés sur le point, en comptant par où ils sortent.

Exemple résolu — Équation de Laplace : une plaque en régime permanent

Son erreur type	0,35
Pas effectués en moyenne par un marcheur	91,6
Estimation d'une dalle, en ignorant les côtés	75,00

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Équation de Laplace : une plaque en régime permanent

L'équation de Laplace, ∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = 0, s'applique à la température d'un corps uniforme sans sources de chaleur internes, une fois qu'elle a cessé d'évoluer. La chaleur entre par certains endroits et sort par d'autres, mais aucun point n'en gagne ni n'en perd. Ses solutions, les fonctions harmoniques, possèdent la propriété de la moyenne : la valeur en tout point est égale à la moyenne sur tout cercle centré sur ce point et situé à l'intérieur de la région. Sur une grille, l'équation se traduit par la règle voulant que chaque point soit la moyenne de ses quatre voisins. C'est le premier problème que Fourier traite avec sa série dans la Théorie analytique de la chaleur (1822) : une plaque de longueur infinie, dont l'extrémité est maintenue à la température de l'eau bouillante et les deux côtés à celle de la glace, dans son état final et immuable.

Ce que signifie chaque symbole

u: la température stationnaire, °C
T: la température fixe d'un bord : T_t, T_r, T_b, T_l pour le haut, la droite, le bas et la gauche
N: le nombre de carrés de la grille le long d'un côté ; l'espacement de la grille est 1/N du côté
W: le nombre de marcheurs lâchés en P

La température en un point est la probabilité d'errer jusqu'au bord chaud 🖖

Cliquez sur Haut chaud, P aux 3/4. La série place P à 54,05 °C. Oubliez maintenant la plaque et jouez à un jeu. Partez de P, avancez vers l'un des quatre points voisins de la grille avec des probabilités égales, et continuez jusqu'à atteindre un bord. Sur 20 000 marcheurs, 10 825 arrivent en premier en haut. Ainsi, 54,13 % des marcheurs finissent à 100 °C et le reste à 0, soit une moyenne de 54,13 ± 0,35. Sur la grille, l'accord est exact et non approximatif. La probabilité de finir en haut obéit à la même règle que la température. Chaque point est la moyenne de ses quatre voisins, avec les mêmes valeurs aux bords. Le 53,98 de la grille représente cette probabilité jusqu'au dernier chiffre. Les marcheurs trouvent la température de P sans calculer celle d'aucun autre point. Les barres à l'extérieur de la plaque montrent par où ils sont sortis. La plupart se trouvent près du milieu du bord supérieur, qui est le plus proche.

Chaque point est la moyenne de tout cercle l'entourant 🖖

Restez sur Haut chaud, P aux 3/4 et regardez le cercle vert. Son sommet est à 89,97 °C et sa base à 29,46. Le point médian se trouve à 59,71. La moyenne sur l'ensemble du cercle vaut 54,05. C'est la température même de P. Elle reste à 54,05 pour n'importe quel cercle autour de P qui tient dans la plaque. La règle de la grille, voulant que chaque point soit la moyenne de ses quatre voisins, incarne cette propriété sous sa forme la plus simple. Cela implique une conséquence que vous pouvez vérifier en faisant glisser P n'importe où : aucun point intérieur ne peut être plus chaud que tous les points qui l'entourent. Les endroits les plus chauds et les plus froids de la plaque résident donc toujours sur ses bords. La même propriété du potentiel électrique explique pourquoi aucune configuration de charges fixes ne peut maintenir une autre charge en équilibre stable dans le vide. Le Visualiseur de champ électrique l'aborde.

Relaxer une plaque équivaut au flux de chaleur : une grille deux fois plus fine prend quatre fois plus de balayages 🖖

Cliquez sur Le centre sur 10 × 10, puis sur Haut chaud, P au centre, et enfin sur Le centre sur 40 × 40. Le centre s'approche à 0,1 °C près de 25 après 120, 485 et 1 945 balayages. Remplacer chaque valeur par la moyenne de ses voisins correspond exactement à un pas de temps de l'équation de la chaleur. C'est le plus grand pas que la grille puisse faire sans devenir instable. Un balayage de Jacobi représente donc une version figée dans le temps du refroidissement de la plaque, et il hérite de la lenteur de la chaleur. Réduisez l'espacement de moitié et chaque pas couvrira un quart du temps. Le même refroidissement nécessite alors quatre fois plus d'étapes. Les marcheurs paient le même prix. Leur trajet moyen vers un bord prend 29,5, 118,0 et 467,6 pas sur ces trois grilles. Une grille assez fine pour être précise s'avère par conséquent coûteuse à relaxer de cette manière. Au centre, les balayages supplémentaires n'apportent aucune précision : d'après l'argument du quart de tour, la réponse de chaque grille y est d'exactement 25.

Problème entièrement résolu

Combien de balayages nécessiterait une grille fine ? 4 étapes
La grille 20 × 20 nécessite 485 balayages de Jacobi, depuis le froid, avant que le centre de la plaque ne reste à 0,1 °C près de 25. Combien en faudrait-il pour une grille de 1 000 × 1 000 ? Cliquez sur Haut chaud, P au centre : la page affiche le 485.

Ouvrez ce problème dans l'outil
1. À partir d'un départ froid, l'erreur qui dure le plus longtemps est le motif le plus lisse, sin πx sin πy. Chaque balayage le multiplie par cos(π/N). Avec le haut à 100, la taille de ce motif au centre est de 400/π² sur une grille fine, et se trouve à moins d'un demi-pour cent de cette valeur à N = 20 :
  
  $\frac{4}{π ^{2}} \times 100 \times sin \frac{π}{2} sin \frac{π}{2} = \frac{400}{π ^{2}} = 40.53$
2. Il doit se réduire à 0,1 °C. Le nombre de balayages s résout donc 40,53 cos(π/N)^s = 0,1. Sur la grille 20 × 20, cela donne le compte de la page :
  
  $s = \frac{ln ( 40 . 53/0 . 1 )}{- ln cos ( π /20 )} = \frac{6 . 0046}{0 . 012388} = 484.7 \Rightarrow 485$
3. Sur une grille 1 000 × 1 000, cos(π/N) est beaucoup plus proche de 1 :
  
  $- ln cos \frac{π}{1 , 000} = 4.935 \times 1 0^{- 6}, s = \frac{6 . 0046}{4 . 935 \times 1 0 ^{- 6}} = 1.22 \times 1 0^{6}$
4. Chaque balayage met à jour 999² points intérieurs :
  
  $1.22 \times 1 0^{6} \times 99 9^{2} = 1.22 \times 1 0^{6} \times 998, 001 \approx 1.2 \times 1 0^{12}$
Réponse

Environ 1,22 million de balayages, soit quelque 1,2 × 10¹² mises à jour d'un seul point. Cela représente environ 2 500 fois les 485 balayages pour une grille 50 fois plus fine. C'est le carré de ce rapport. Voilà pourquoi les grandes grilles ne se résolvent pas uniquement par de simples balayages de Jacobi.

$s \approx 1.22 \times 1 0^{6} sweeps \approx 2, 500 \times 485$

Parcours

Les équations de la chaleur, des ondes et de Laplace

Références (2)

Fourier's first worked example of his method: the permanent temperatures of a rectangular plate of infinite length, its base held at the temperature of boiling water and its two sides at that of ice (Arts. 163–165), solved as a series whose terms are e^(−kx) cos ky with the coefficients found by expanding 1 in cosines (Arts. 171–190): J. Fourier, The Analytical Theory of Heat, translated with notes by A. Freeman, Cambridge University Press, 1878 (Théorie analytique de la chaleur, 1822), Chapter III, Arts. 163–165, pp. 131–133, and Art. 190, p. 154.
The random-number generator the walkers use, transcribed into the page from the authors' reference C and checked against it output for output: D. Blackman and S. Vigna, xoshiro128** 1.1, reference implementation in C (public domain), 2018, https://prng.di.unimi.it/xoshiro128starstar.c.

Par l’équipe 42Math · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.