L'équation des ondes en une, deux et trois dimensions

Une bosse, frappée ou pincée, sur une ligne, une membrane et dans l'espace. Observez sa propagation. Lisez ensuite ce qu'un auditeur placé à une distance r enregistre dans chaque dimension, bien après le passage de la perturbation.

Exemple résolu — L'équation des ondes en une, deux et trois dimensions

La perturbation arrive à ct/a	4
Son arrière est passé à ct/a	6
Maximum lu sur la corde	0,5333

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — L'équation des ondes en une, deux et trois dimensions

L'équation des ondes, u_tt = c²∇²u, stipule que la dérivée seconde de u par rapport au temps en chaque point (son accélération, lorsque u est un déplacement) vaut c² fois son laplacien. Ce dernier est proportionnel à l'écart entre la moyenne de u sur l'environnement immédiat du point et u lui-même. En une dimension, toute solution consiste en deux formes voyageant à la vitesse c dans des directions opposées (d'Alembert, 1747). En trois dimensions, une perturbation confinée dans une région n'atteint un point distant que pendant que la sphère de rayon ct centrée sur ce point traverse la région. Elle le laisse ensuite au repos. En deux dimensions, il n'en va pas de même : une traînée résiduelle subsiste et, après une impulsion, elle ne décroît qu'en 1/t.

Ce que signifie chaque symbole

u: la valeur de l'onde : le déplacement de la corde ou de la membrane, ou dans l'espace une grandeur comme la surpression de l'air
c: la vitesse de l'onde
a: le rayon de la bosse initiale ; toutes les longueurs sur la page sont en unités de a, tous les temps en unités de a/c
g: la forme de la bosse initiale, (1 − s²)² à la distance s de son centre (en unités de a), nulle pour s ≥ 1

Suppose: Une ligne, une membrane ou un espace sans extrémités ni murs, pour qu'aucune réflexion ne revienne vers l'auditeur. Des déplacements de faible amplitude garantissent la linéarité de l'équation : une bosse frappée deux fois plus fort multiplie par deux chaque nombre de la page.

Une corde frappée ne redescend jamais 🖖

Cliquez sur Frappée, écoutée à 5a et observez la corde bleu sarcelle. L'impulsion envoie une rampe dans chaque direction. Derrière ces rampes, la corde reste soulevée et plate à 0,5333 v₀a/c. Le point de l'auditeur grimpe au passage de la perturbation puis se stabilise, que ce soit à ct = 20a ou à 80a. Passez sur Pincée. La même bosse, soulevée puis relâchée, se scinde en deux copies de la moitié de sa hauteur qui s'éloignent l'une de l'autre. Le point monte à 0,5000 puis retombe exactement à 0. D'Alembert a démontré en 1747 que tout mouvement d'une corde consiste en deux formes voyageant dans des directions opposées. Exprimée en fonction de la forme initiale f et de la vitesse initiale g, la solution s'écrit u = ½[f(x − ct) + f(x + ct)] + (1/2c)∫_x−ct^x+ctg. Une forme part avec les deux moitiés en déplacement. Une vitesse s'additionne sur la portion de corde située à une distance ct du point. Dès que cette portion s'est suffisamment agrandie pour englober toute la zone initiale, la somme correspond à l'impulsion totale, ½∫g = 8/15. Une corde réelle possède des extrémités fixes dont les réflexions la ramènent à sa position. Celle-ci n'ayant pas d'extrémités, rien ne revient jamais en arrière.

Sur une membrane, une impulsion n'en finit jamais d'arriver 🖖

Cliquez sur Frappée, écoutée à 5a et observez les deux surfaces. Chacune propage un anneau vers l'extérieur. Les deux anneaux ont dépassé l'auditeur à ct = 6a. À l'intérieur du cercle en pointillés, là où l'arrière de l'onde est déjà passé, l'espace est plat. Son auditeur y lit exactement 0 à partir de ce moment, et la dernière colonne du tableau affiche des zéros partout. La membrane, à l'intérieur de son cercle, reste soulevée. À ct = 20a, son auditeur lit 0,00861, soit 9,93 % du maximum de 0,0867. Cliquez sur Frappée, 5a, écoute 80a : la valeur tombe à 0,00209. Cela représente environ un quart de cette valeur pour une attente quatre fois plus longue. La traînée décroît en 1/t et n'atteint jamais zéro. Les deux formules de résolution en expliquent la raison. Dans l'espace, la réponse en un point se construit à partir de la moyenne initiale sur la surface d'une sphère de rayon ct centrée sur ce point. Une fois que cette sphère a grandi au-delà de la bosse, elle ne contient plus rien. Sur une membrane, la réponse est une intégrale sur l'ensemble du disque contenu dans le cercle de rayon ct. La bosse y reste donc enfermée pour toujours, pondérée par 1/√(c²t² − ρ²). Hadamard, dans ses conférences de Yale publiées en 1923, a qualifié ce reste d'intégrale résiduelle. Il a écrit que les ondes cylindriques, contrairement aux ondes sphériques, diffusent.

Dans l'espace, une bosse relâchée arrive sous la forme d'une bosse puis d'un creux 🖖

Cliquez sur Pincée, écoutée à 5a et observez la trace bleue. Rien dans la bosse n'a jamais été inférieur à zéro. Pourtant, l'auditeur dans l'espace enregistre une montée à 0,02862 suivie d'une chute tout aussi profonde, avec des aires de 0,01667 et −0,01667 qui s'annulent exactement. Pour r > a, la réponse est u = (r − ct) g(ct − r)/(2r). Il s'agit de la forme initiale multipliée par une rampe qui passe par zéro au moment précis où le centre de la bosse arrive. La pression acoustique obéit à cette équation. Une boule d'air comprimé relâchée au repos parvient à un auditeur sous la forme d'une compression suivie d'une raréfaction égale, sans laisser de poussée nette. La corde transporte ce même relâchement sans changer de signe. La membrane enregistre une bosse, puis une traînée sous le zéro qui décroît en 1/t². C'est le signe que Hadamard a calculé pour un résidu en deux dimensions.

Problème entièrement résolu

Combien de temps un claquement de mains résonne-t-il dans un monde plat ? 4 étapes
Sur la membrane frappée, un auditeur placé à 5a enregistre une valeur maximale de 0,0867 v₀a/c. Combien de temps faut-il pour que la traînée tombe à 1 % de ce chiffre ? Cliquez sur Frappée, écoutée à 5a : la page affiche le maximum, ainsi que la valeur à ct = 20a à côté de la loi de queue.

Ouvrez ce problème dans l'outil
1. Bien après le passage de l'onde, la valeur sur la membrane suit la loi de queue d'une impulsion ponctuelle. À ct = 20a, les deux s'accordent déjà sur trois chiffres :
  
  $\frac{1}{6 2 0 ^{2} - 5 ^{2}} = \frac{1}{6 375} = 0.00861$
2. Un pour cent du maximum donne
  
  $0.01 \times 0.0867 = 0.000867$
3. Égalez la loi de queue à cette valeur et résolvez pour trouver ct/a :
  
  $(c t / a)^{2} - 25 = \frac{1}{6 \times 0 . 000867} = 192.2 \Rightarrow \frac{c t}{a} = 192 . 2^{2} + 25 = 192.3$
4. Dans l'espace, ce même auditeur n'entend plus rien à partir de ct = 6a. Pour une perturbation d'environ 10 cm de large, a = 0,05 m, lors d'un claquement dans l'air à c = 343 m/s, l'unité de temps a/c vaut
  
  $\frac{a}{c} = \frac{0 . 05 m}{343 m/s} = 0.146 ms, 6 \frac{a}{c} = 0.87 ms, 192.3 \frac{a}{c} = 28 ms$
Réponse

À environ ct = 192a, soit trente-deux fois le temps de 6a où l'espace devient silencieux. Pour un claquement de 10 cm de large, cela représente 28 millisecondes contre moins d'une seule. Dans un monde plat, chaque son traînerait une résonance se prolongeant sur tout ce qui suit. Un seuil de 2 % réduirait l'attente de moitié, car la traînée décroît en 1/t.

$\frac{c t}{a} \approx 192 \approx 32 \times 6$

Parcours

Les équations de la chaleur, des ondes et de Laplace

Références (2)

The vibrating string's equation solved as the sum of two arbitrary functions, y = Ψ(t + s) + Γ(t − s): every motion of the string is two shapes travelling in opposite directions (art. VII), followed by a long continuation working out which shapes satisfy fixed ends: J. le Rond d'Alembert, "Recherches sur la courbe que forme une corde tenduë mise en vibration", Histoire de l'Académie royale des sciences et belles lettres de Berlin 3 (1747, published 1749), 214–219; "Suite des recherches…", same volume, 220–249.
Huygens' principle in its narrow sense, a disturbance localised at the start stays localised on a thin spherical shell (Book II, §33), and its failure in two dimensions: the 'residual integral' left after the wave has passed, so that 'cylindrical waves, unlike spherical ones, diffuse' (Book III, §111), and the sign of that residual, negative for a positive starting displacement when there are three variables (§112): J. Hadamard, Lectures on Cauchy's Problem in Linear Partial Differential Equations, Yale University Press, New Haven, 1923 (Mrs. Hepsa Ely Silliman Memorial Lectures), Book II §33, pp. 53–55, and Book III §§111–112, pp. 175–178.

Par l’équipe 42Math · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.