L'équation de la chaleur

Choisissez un profil de température initial, ou dessinez-en un sur le graphique, ainsi qu'un matériau. Les deux extrémités de la barre sont maintenues à 0 °C. La page résout l'équation de la chaleur de manière exacte et lance le chronomètre, laissant le profil de départ en filigrane.

Exemple résolu — L'équation de la chaleur

Temps écoulé	432,2 s
Hauteur actuelle du premier mode	38,9 °C
Température au centre	39,4 °C
Point le plus chaud	0,500 m
Quart gauche moins quart droit	0,0 °C

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — L'équation de la chaleur

L'équation de la chaleur ∂u/∂t = κ ∂²u/∂x² indique que la température en un point évolue à une vitesse dictée par la courbure locale du profil. Un point plus froid que la moyenne de ses voisins se réchauffe, tandis qu'un point plus chaud se refroidit. La diffusivité thermique, notée κ = k/(ρc_p), correspond à la conductivité divisée par la capacité thermique volumique. Pour une barre de longueur L dont les extrémités sont maintenues à 0, la solution issue d'un profil de départ f(x) s'écrit u = Σ b_k sin(kπx/L) e^{−k²π²κt/L²}, avec b_k = (2/L) ∫ f(x) sin(kπx/L) dx sur toute la barre.

Ce que signifie chaque symbole

u: la température à la position x et à l'instant t, en °C
κ: la diffusivité thermique en m²/s : 1,157 × 10⁻⁴ pour le cuivre, 1,17 × 10⁻⁵ pour l'acier au carbone
τ: κt/L², le temps tel que l'équation le compte ; deux barres partant du même profil ont la même forme au même τ
b_k: l'amplitude du mode sinusoïdal k au départ, calculée à partir du profil initial

Une barre chaude perd d'abord ses arêtes vives 🖖

Cliquez sur Tiers central, cuivre. Le filigrane en pointillés marque la position initiale de la barre, un bloc à 100 °C aux parois verticales. Tout profil de départ peut s'écrire comme la somme de modes sinusoïdaux s'annulant aux deux extrémités. Le mode k possède k bosses, et le tableau ci-dessous indique leurs amplitudes : b₁ = 63,662, b₃ = −42,441, b₅ = 12,732. Chaque mode décroît selon sa propre horloge, en e^{−k²π²κt/L²}. Le mode 3 s'éteint ainsi neuf fois plus vite que le mode 1, et le mode 5 vingt-cinq fois plus vite. Les parois verticales sont formées par ces modes rapides, ce qui explique qu'elles disparaissent en premier. À τ = κt/L² = 0,05, soit 7,2 minutes dans un mètre de cuivre, le profil s'écarte du premier mode seul d'au maximum 1,27 % de son pic, et le centre affiche 39,4 °C. À partir de là, la forme ne change presque plus. C'est sa hauteur qui diminue. Sur le graphique logarithmique, chaque mode trace une ligne droite, k² fois plus pentue que la première. C'est la série que construit l'outil Fourier Series Builder. Fourier l'a conçue pour la chaleur : sa Théorie analytique de la chaleur (1822) est née d'un mémoire envoyé à l'Institut de France fin 1807.

Doubler la longueur multiplie le temps par quatre 🖖

Cliquez sur Tiers central, cuivre, puis sur Cuivre, un demi-mètre. Les profils sont identiques car l'équation ne conserve qu'une seule horloge, τ = κt/L². La longueur de la barre y figure au carré et le matériau n'intervient que par κ, sa diffusivité thermique. Le mètre de cuivre atteint donc τ = 0,05 après 432,2 s, et le demi-mètre après 108,0 s, soit le quart du temps. Le temps mis par le premier mode pour diminuer d'un facteur e vaut L²/(π²κ) : 875,7 s pour un mètre de cuivre, 8 659,9 s pour l'acier au carbone dont le κ est 9,89 fois plus petit, et 36,1 heures pour le Pyrex. La chaleur ne se propage pas à une vitesse fixe. La distance sur laquelle elle s'est étalée croît comme la racine carrée du temps. C'est pourquoi cette même racine carrée apparaît dans la dispersion d'une marche aléatoire classique sur la page Quantum Random Walk.

La barre oublie quel côté a été chauffé 🖖

Cliquez sur Moitié gauche chaude. Toute la chaleur débute à gauche, et il est naturel de s'attendre à ce que la barre reste asymétrique jusqu'à ce qu'elle soit froide. Cette asymétrie s'estompe bien avant la chaleur. La partie asymétrique du profil correspond à ses modes pairs, comportant chacun autant de bosses vers le haut que vers le bas. Le plus grand et le plus lent d'entre eux, le mode 2, doté d'une bosse vers le haut et d'une vers le bas, commence avec une amplitude identique à celle du premier mode : b₂ = b₁ = 63,662. Il disparaît quatre fois plus vite. À τ = 0,1, soit 14,4 minutes dans le cuivre, il ne reste au mode 2 que 0,0193 de sa valeur contre 0,3727 pour le premier mode. Le point le plus chaud a migré vers 0,468 m, à 3,2 cm du milieu. Le point situé au quart du côté chauffé ne dépasse son reflet que de 2,5 °C, alors que 30,21 % de la chaleur réside encore dans la barre. Dessinez le profil de votre choix et le même phénomène se produira, à moins que son premier mode ne soit exactement nul. Tous les modes s'éteignent plus rapidement que le premier. Chaque profil aboutit donc à cette même arche, et la barre ne conserve finalement de son état initial qu'un seul nombre, b₁, la hauteur de cette arche.

Problème entièrement résolu

Combien de temps avant que le milieu d'une barre en acier ne soit froid ? 3 étapes
Une barre en acier au carbone de 1 m de long a son tiers central à 100 °C et ses deux extrémités dans la glace. Combien de temps faut-il pour que le centre descende sous 1 °C ? Le curseur temporel s'arrête à τ = 0,3, avant d'atteindre la réponse. Cliquez d'abord sur Tiers central, acier : la page vous donne b₁ ainsi que le temps nécessaire au premier mode pour diminuer d'un facteur e.

Ouvrez ce problème dans l'outil
1. Bien avant que le centre n'atteigne 1 °C, tous les modes sauf le premier ont disparu (à τ = 0,1, le profil est déjà à 0,02 % près d'une arche unique). Le centre vaut donc b₁e^−π²τ, et le fixer à 1 donne τ :
  
  $b_{1} e^{- π^{2} τ} = 1 \Rightarrow τ = \frac{ln 63 . 662}{π ^{2}} = \frac{4 . 1536}{9 . 8696} = 0.42085$
2. Puisque τ = κt/L² et que T₁ = L²/(π²κ), le temps équivaut à ln(b₁) fois le temps de décroissance d'un facteur e du premier mode :
  
  $t = \frac{τ L ^{2}}{κ} = ln (b_{1}) T_{1} = 4.1536 \times 8, 659.9 s = 35, 970 s$
3. Vérifiez que le mode 3, le plus grand des modes restants, a bel et bien disparu à ce moment-là :
  
  $∣ b_{3} ∣ e^{- 9 π^{2} τ} = 42.441 \times e^{- 9 π^{2} \times 0.42085} = 42.441 \times e^{- 37.38} = 2.5 \times 1 0^{- 15}^{\circ} C$
Réponse

Un peu moins de dix heures : 35 970 s. La réponse est ln(63,662) = 4,15 temps de décroissance d'un facteur e, quel que soit le matériau. La même barre en cuivre nécessite donc 4,1536 × 875,7 s = 3 637 s, soit environ une heure. Le mode 3 est alors retombé à 2,5 × 10⁻¹⁵ °C. La formule de l'arche unique s'avère ainsi exacte à bien plus de décimales qu'aucun thermomètre ne peut afficher.

$t = 35, 970 s \approx 9.99 h; copper: 4.1536 \times 875.7 s = 3, 637 s$

Parcours

Les équations de la chaleur, des ondes et de Laplace

Références (2)

Fourier's own account of where the theory began: first set out in a manuscript sent to the Institute of France at the end of 1807, with an extract in the Bulletin des Sciences for 1808 (Preliminary Discourse); and the first problem the book solves with a trigonometric series, the steady temperatures of a plate between two parallel sides held at 0 with its base held at 1, which is Laplace's equation rather than the cooling rod (Art. 163 onwards): J. Fourier, The Analytical Theory of Heat, translated by A. Freeman. Cambridge University Press, 1878 (Théorie analytique de la chaleur, 1822). Preliminary Discourse; Chapter III, Section I, Arts. 163–166.
The thermal diffusivities this page uses, at 20 °C: pure copper 11.57 × 10⁻⁵ m²/s, pure aluminium 9.61 × 10⁻⁵ and carbon steel with 1.0% C 1.17 × 10⁻⁵ (Table A.1), Pyrex borosilicate glass 7.8 × 10⁻⁷ (Table A.2); and the history in the caption of Fig. 1.4, Fourier's 1807 monograph refereed by Lagrange and Laplace and his series not in print until 1822: J. H. Lienhard V and J. H. Lienhard IV, A Heat Transfer Textbook, 6th edition. Phlogiston Press, Cambridge, Massachusetts, 2024. Table A.1, p. 739; Table A.2, p. 742; Fig. 1.4, p. 12.

Par l’équipe 42Math · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.