Échangeurs de chaleur : flux parallèle et contre-courant

Définissez les deux températures d'entrée, les deux débits et la taille de l'échangeur, U·A. La page résout le même échangeur deux fois, une fois avec les courants circulant dans le même sens et une fois dans des sens opposés, et trace les températures des deux courants le long de la paroi.

Exemple résolu — Échangeurs de chaleur : flux parallèle et contre-courant

Débit thermique, fluide chaud	418,0 W/K
Débit thermique, fluide froid	418,0 W/K
Nombre d'unités de transfert	2,000
Rapport de capacité	1,0000
Efficacité, contre-courant	66,67%
Efficacité, flux parallèle	49,08%
Chaleur transférée, contre-courant	19,51 kW
Chaleur transférée, flux parallèle	14,36 kW

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Échangeurs de chaleur : flux parallèle et contre-courant

Un échangeur de chaleur transfère la chaleur d'un courant chaud vers un courant froid à travers une paroi, sans les mélanger. Le débit de capacité thermique C = ṁc_p de chaque courant est la chaleur qu'il transporte par degré. Le maximum de chaleur qu'un échangeur puisse transférer est fixé par le plus petit des deux, Q_max = C_min(T_h,in − T_c,in), et l'efficacité ε est la fraction de cette valeur que l'échangeur transfère réellement. Sa taille n'intervient que sous la forme du nombre d'unités de transfert, NUT = UA/C_min.

Ce que signifie chaque symbole

C: débit de capacité thermique d'un courant, ṁc_p, en W/K. De l'eau à 0,1 kg/s transporte 418 W/K
NTU: nombre d'unités de transfert, UA/C_min : la taille de l'échangeur mesurée par rapport au plus petit courant
ε: efficacité, la chaleur transférée sous forme de fraction de C_min(T_h,in − T_c,in)
Cr: rapport des débits de capacité thermique C_min/C_max, de 0 pour une vapeur qui se condense à 1 pour des débits égaux

Suppose: Écoulement permanent, aucune perte de chaleur vers l'extérieur et un coefficient d'échange global U constant sur toute la paroi : c'est alors que les relations efficacité-NUT sont exactes. Les deux flux sont constitués d'eau liquide avec c_p = 4,18 kJ/(kg K), une valeur précise à 0,6 % près par rapport aux mesures entre 10 et 90 °C, et à 1 % près de 0 à 99 °C. Le terme c_p intervient dans les débits thermiques. Une erreur sur sa valeur modifie donc le NUT et les kilowatts dans des proportions similaires.
Ne tient plus quand: Lorsque U varie le long de la paroi, ce qui se produit si un fluide commence à bouillir ou si son écoulement devient laminaire. Lorsqu'un fluide change de phase en cours de trajet, de sorte qu'une partie chauffe et l'autre s'évapore, car son débit thermique n'équivaut alors plus à ṁc_p. Enfin, pour les échangeurs à tubes et calandre et à courants croisés, qui nécessitent leurs propres formules d'efficacité et, à moins que la température d'un des flux ne varie presque pas, récupèrent moins de chaleur qu'un contre-courant à NUT identique.

À débits égaux et à NUT 2, un échangeur à co-courant quatre fois plus grand récupère moins d'un point supplémentaire 🖖

Cliquez sur Débits égaux : 0,1 kg/s d'eau de chaque côté, à NUT 2. Faites circuler les deux flux dans le même sens et l'échangeur récupère 49,08 % de la chaleur possible. Orientez-les en sens opposés et il en récupère 66,67 %. Cliquez ensuite sur Quatre fois plus grand. Le contre-courant grimpe à 88,89 %. Le co-courant plafonne à 50,00 %, et aucune dimension supérieure ne lui fera dépasser ce seuil. Les deux fluides entrent par la même extrémité et tendent vers une température commune de 45 °C, celle qu'ils atteindraient s'ils étaient simplement mélangés. En s'en approchant, l'écart thermique qui force la chaleur à travers la paroi s'épuise. La partie finale de l'échangeur ne sert presque à rien. À débits égaux, ce plafond équivaut exactement à la moitié. À contre-courant, l'eau chaude entrante croise l'eau froide sur le point de sortir. De son côté, l'eau froide entrante rencontre une eau chaude qui a déjà cédé la majeure partie de son énergie. Un écart de température subsiste ainsi sur toute la longueur.

À contre-courant, l'eau froide peut sortir plus chaude que l'eau chaude 🖖

À Débits égaux, les sorties à contre-courant sont de 56,67 °C pour l'eau froide et 33,33 °C pour l'eau chaude. Le courant entré froid sort 23,33 degrés plus chaud que le courant entré chaud. Sur le graphique, les deux lignes à contre-courant sont parallèles, car avec des débits égaux, la différence à travers la paroi est de ces mêmes 23,33 degrés en tout point. Le flux parallèle ne peut jamais faire cela. Ses deux lignes se rapprochent l'une de l'autre de part et d'autre des 45 °C, la ligne froide restant toujours en dessous, de sorte qu'à n'importe quelle taille la sortie froide reste sous la sortie chaude : 44,36 °C contre 45,64 °C ici. Cliquez sur Double débit chaud et le contre-courant fait toujours sortir l'eau froide 11,33 degrés au-dessus de l'eau chaude.

Quand un courant change à peine de température, sa direction n'a plus d'importance 🖖

Cliquez sur Flux chaud important : 5 kg/s d'eau chaude contre 0,1 kg/s d'eau froide, soit cinquante fois la capacité thermique, à NUT 2. L'eau chaude se refroidit de moins de 1,5 degré, et les configurations à contre-courant et à co-courant récupèrent 86,16 % et 85,29 %, soit 0,87 point de pourcentage d'écart. À mesure que l'échangeur s'allonge avec ce ratio, l'écart se rapproche de 1,96 point, la distance entre 100 % et le plafond de 98,04 % du co-courant, sans jamais la dépasser. Une vapeur en condensation, qui cède sa chaleur sans aucune variation de température, constitue la limite : les deux dispositions récupèrent alors très exactement 1 − e^−NUT, soit 86,47 % à NUT 2. Un Échangeur court offre un autre moyen de neutraliser l'impact de la direction. À NUT 0,2, aucun des fluides ne varie beaucoup, et les deux récupèrent 16,67 % et 16,48 %. Le choix du sens de circulation s'avère payant uniquement lorsque les deux fluides changent fortement de température.

Problème entièrement résolu

Quelle taille supplémentaire pour passer de 80 % à 90 % ? 4 étapes
Un échangeur à contre-courant avec des débits égaux récupère 80 % de la chaleur. À quel point doit-il être plus grand pour en récupérer 90 % ? Et que récupérerait un échangeur à flux parallèle de cette taille supérieure ?

Ouvrez ce problème dans l'outil
1. Avec des débits égaux, C_r = 1, l'efficacité à contre-courant est de NUT/(1 + NUT). En résolvant pour le NUT :
  
  $ε = \frac{N T U}{1 + N T U} \Rightarrow N T U = \frac{ε}{1 - ε}$
2. 80 % nécessite un NUT de 4, et 90 % nécessite un NUT de 9.
  
  $N T U_{80%} = \frac{0 . 80}{0 . 20} = 4 N T U_{90%} = \frac{0 . 90}{0 . 10} = 9$
3. Le NUT est UA/C_min et les débits n'ont pas changé, donc UA doit croître du même facteur. Avec la même paroi, cela représente 2,25 fois la surface.
  
  $\frac{( U A ) _{90%}}{( U A ) _{80%}} = \frac{9}{4} = 2.25$
4. Le flux parallèle pour un NUT de 9 avec des débits égaux récupère (1 − e⁻¹⁸)/2 :
  
  $ε_{p a r} = \frac{1 - e ^{- 2 \times 9}}{2} = 0.49999999$
Réponse

2,25 fois la surface, et un flux parallèle à cette taille récupérerait 50,00 %. Les dix derniers points coûtent plus de paroi que les quatre-vingts premiers. Cliquez sur Débits égaux et réglez U·A à 1 672 W/K puis à 3 762 : la ligne du contre-courant indique 80,00 % puis 90,00 %, et la ligne du flux parallèle indique 49,98 % puis 50,00 %.

$U A = 4 \times 418 = 1, 672 W/K \to 9 \times 418 = 3, 762 W/K$

Références (3)

Both effectiveness formulas the page solves, and the balanced-counterflow result that the temperature difference is the same all along the wall: J. H. Lienhard V and J. H. Lienhard IV, A Heat Transfer Textbook, 6th edition. Phlogiston Press, Cambridge MA, 2024. §3.3, eqns (3.20) and (3.21); Example 3.2.
The specific heat of liquid water, 4.18 kJ/(kg K), and how far it moves between 10 and 90 °C: "Isobaric Properties for Water", in P. J. Linstrom and W. G. Mallard (eds.), NIST Chemistry WebBook, NIST Standard Reference Database Number 69. National Institute of Standards and Technology, Gaithersburg MD. Computed from W. Wagner and A. Pruss, the IAPWS-95 formulation.
Where the effectiveness–NTU method was first set out in full: W. M. Kays and A. L. London, Compact Heat Exchangers. McGraw-Hill, New York, 1955.

Par l’équipe 42Math · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.