Avantage mécanique de la roue et de l'essieu

Chargez le Treuil de puits : une manivelle de 60 cm de rayon sur un essieu de 10 cm, un seau de 600 N, un rendement de 85 %. Le panneau indique un avantage idéal de 6,00 et un effort de 117,6 N. Calculez les deux valeurs, puis déterminez la distance parcourue par votre main.

1. L'avantage est le rapport des deux rayons, et il découle directement des moments. Puisqu'il s'agit du même axe, le couple est identique. Une force six fois plus petite appliquée à un rayon six fois plus grand permet donc de l'équilibrer.

   $${\mathrm{MA}}_{\text{ideal}}=\frac{R}{r}=\frac{60}{10}=6.00$$

2. Passons aux distances, là où ce rapport démontre toute son utilité. Un tour complet enroule la circonférence de chaque rayon.

   $$\text{one turn: }{s}_R=2\pi R=3.770\mathrm{m},s_r=2\pi r=0.628\mathrm{m}$$

3. Divisez l'une par l'autre et les 2π s'annulent. Le rapport des distances correspond exactement au rapport des rayons. On retrouve ce même 6 obtenu avec les forces, mais par la géométrie plutôt que par les moments.

   $$\frac{s_R}{s_r}=\frac{2\pi R}{2\pi r}=\frac{R}{r}=6.0000$$

4. Le rendement réduit l'avantage. À 85 %, le six devient 5,10.

   $${\mathrm{MA}}_{\text{actual}}=\frac{R}{r}\eta =6.00\times 0.85=5.10$$

5. La manivelle est donc plus lourde que ce que promettait la machine idéale, et ce, de précisément 15 %.

   $$E=\frac{600}{5.10}=117.6\mathrm{N}(\text{ideal would be }100.0\mathrm{N})$$

6. Faites le bilan du travail et les joules manquants apparaissent d'eux-mêmes : 66,5 J sur les 443,5 que vous fournissez partent dans l'échauffement du roulement.

   $$W_{\text{in}}=117.65\times 3.7699=443.5\mathrm{J},W_{\text{out}}=600\times 0.6283=377.0\mathrm{J}$$

Chargez Tournevis (5:1) : un rayon de manche de 15 cm sur une tige de 3 cm, 50 N de charge, 90 % de rendement, 11,1 N à la jante. Cherchez ce que fait la charge à l'instant où votre main la quitte, puis décidez à quel point un treuil doit être mauvais pour retenir un seau tout seul.

1. Le panneau : cinq contre un d'après les rayons, 4,50 une fois les 90 % appliqués, donc onze newtons à la jante équilibrent cinquante à la tige.

   $$\mathrm{MA}=\frac{R}{r}\eta =5.00\times 0.90=4.50,E=\frac{50}{4.50}=11.11\mathrm{N}$$

2. Comptez les joules pour un tour complet. La jante parcourt 0,94 m, la tige 0,19 m, et un joule sur les dix et demi part dans le palier.

   $$\text{one turn: }{W}_{\mathrm{in}}=11.11\times 0.9425=10.472\mathrm{J},W_{\mathrm{out}}=50\times 0.1885=9.425\mathrm{J},W_{\mathrm{loss}}=1.047\mathrm{J}$$

3. Laissez maintenant la charge entraîner l'ensemble. Les mêmes surfaces glissent sur la même distance sous les mêmes forces, le palier prend donc le même joule, sauf que cette fois il sort du travail de la charge au lieu de s'ajouter au vôtre. Cette égalité est la seule hypothèse du calcul, et c'est elle qui rend le cas inverse calculable.

   $$\text{driven from the axle, same surfaces and same travel}⟹W_{\mathrm{loss}}^{\prime }=W_{\mathrm{loss}}=1.047\mathrm{J}$$

4. Le rendement inverse est donc ce qui reste du travail propre de la charge, et il se réduit à une expression où ne figure rien d'autre que le rendement direct.

   $${\eta }_{\mathrm{rev}}=\frac{9.425-1.047}{9.425}=\frac{8.378}{9.425}=0.8889=2-\frac{1}{0.90}$$

5. En force : la charge repousse à la jante avec 8,89 N. Vous devez la retenir presque aussi fort que vous l'avez tirée.

   $$F_{\mathrm{hold}}=\frac{Lr}{R}{\eta }_{\mathrm{rev}}=50\times 0.200\times 0.8889=8.89\mathrm{N}(\text{against }11.11\mathrm{N}\text{to raise it})$$

6. L'expression s'épuise à un demi. En dessous, la charge ne peut plus du tout mettre la machine en mouvement, et l'outil montre ce que cela coûte : lever la même charge à 50 % demande le double de l'effort idéal.

   $${\eta }_{\mathrm{rev}}\le 0⟺\eta \le 0.50;\eta =0.50⟹E=20.0\mathrm{N}=2\times \frac{50}{5.00}$$