Avantage mécanique de la roue et de l'essieu

une poignée de porte, un volant et un tournevis sont une seule et même machine aux proportions différentes

Exemple résolu — Avantage mécanique de la roue et de l'essieu

Avantage idéal (R / r)	6,00
Avantage réel	5,40
Force motrice (E)	92,6 N
Corde enroulée par tour	3,77 m
Rayon de la roue (R)	60 cm
Rayon de l'essieu (r)	10 cm
Charge (L)	500 N
Rendement (η)	90%

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Le rapport des rayons est celui des distances 🖖

L'avantage mécanique correspond à R/r. Un tour complet déplace 2πR à la périphérie contre 2πr sur l'axe. Les 2π s'annulent. Le rapport des distances est donc celui des rayons : le treuil de puits transforme 3,770 m de course de la manivelle en 0,628 m de corde. Le rapport vaut exactement six pour un, ce qui correspond au même six que son avantage idéal. Chaque système roue-axe de cet outil respecte ce principe, car il s'agit de la même relation écrite deux fois.

C'est un levier dont la course ne s'arrête jamais 🖖

Placez le point d'appui au centre de l'arbre. Les deux rayons deviennent alors les deux bras d'un levier inter-appui : R/r équivaut à a/b sous un autre nom. La forme circulaire permet surtout d'obtenir une course inépuisable. Un pied-de-biche s'arrête quand la barre touche le sol. Un treuil, lui, continue de tourner. Voilà pourquoi les machines qui doivent soulever en continu sans jamais être réinitialisées, comme un puits, une ancre ou un ascenseur, reposent sur un arbre et non sur une barre.

Où passent les joules manquants 🖖

Le préréglage de la poignée de porte offre un rendement de 95 %. Sur 33,1 J de rotation appliqués, 31,4 J sont transmis au loquet, et 1,7 J réchauffent l'axe. C'est une bonne machine. Avec ses 85 %, le treuil de puits dissipe 66,5 J sur chaque apport de 443,5 J. Vous le ressentez sous la forme d'une manivelle plus lourde que ne le promettait l'arithmétique : 117,6 N au lieu des 100 N idéaux. Le rendement exprime simplement le rapport entre l'avantage théorique de la géométrie et celui dont vos mains bénéficient réellement.

Problèmes entièrement résolus

Pourquoi la manivelle du treuil parcourt 3,77 mètres pour soulever 63 centimètres de corde 6 étapes
Chargez le Treuil de puits : une manivelle de 60 cm de rayon sur un essieu de 10 cm, un seau de 600 N, un rendement de 85 %. Le panneau indique un avantage idéal de 6,00 et un effort de 117,6 N. Calculez les deux valeurs, puis déterminez la distance parcourue par votre main.

Ouvrez ce problème dans l'outil
1. L'avantage correspond au rapport des deux rayons, ce qui découle directement des moments. L'arbre étant partagé, le couple reste idéalement le même. Une force six fois moindre l'équilibre ainsi à un rayon six fois plus grand.
  
  $MA_{ideal} = \frac{R}{r} = \frac{60}{10} = 6.00$
2. Passons aux distances, là où ce rapport démontre toute son utilité. Un tour complet enroule la circonférence de chaque rayon.
  
  $one turn: s_{R} = 2 π R = 3.770 m, s_{r} = 2 π r = 0.628 m$
3. Divisez l'une par l'autre et les 2π s'annulent. Le rapport des distances correspond exactement au rapport des rayons. On retrouve ce même 6 obtenu avec les forces, mais par la géométrie plutôt que par les moments.
  
  $\frac{s _{R}}{s _{r}} = \frac{2 π R}{2 π r} = \frac{R}{r} = 6.0000$
4. Le rendement réduit l'avantage. À 85 %, le six devient 5,10.
  
  $MA_{actual} = \frac{R}{r} η = 6.00 \times 0.85 = 5.10$
5. La manivelle s'avère donc plus lourde que ne le prévoyait la machine idéale. L'effort supplémentaire est de 17,6 %, et non des 15 % dissipés par le rendement, car diviser l'avantage par 0,85 revient à multiplier l'effort par 1/0,85.
  
  $E = \frac{600}{5.10} = 117.6 N (ideal would be 100.0 N)$
6. Faites le bilan du travail et les joules manquants apparaissent d'eux-mêmes : 66,5 J sur les 443,5 que vous fournissez partent dans l'échauffement du roulement.
  
  $W_{in} = 117.65 \times 3.7699 = 443.5 J, W_{out} = 600 \times 0.6283 = 377.0 J$
Réponse

Six pour un. Vous exercez donc 117,6 N sur la manivelle plutôt que les 100,0 N requis par un treuil idéal, et 3,770 m de déplacement manuel pour 0,628 m de corde.

Un pied-de-biche devient inutile quand la barre heurte le sol. Un levier capable de remonter un seau d'eau devrait être aussi long que le puits est profond. Un arbre, à l'inverse, tourne sans fin. Vous maintenez le même avantage de six pour un sur autant de mètres que vous le souhaitez. C'est la raison pour laquelle les mécanismes devant tracter sans interruption ni retour à la position initiale s'articulent autour d'un arbre : le treuil d'ancre, l'ascenseur, ou le robinet que vous avez ouvert ce matin.
Ce que fait le tournevis quand vous lâchez prise 6 étapes
Chargez Tournevis (5:1) : un rayon de manche de 15 cm sur une tige de 3 cm, 50 N de charge, 90 % de rendement, 11,1 N à la jante. Cherchez ce que fait la charge à l'instant où votre main la quitte, puis décidez à quel point un treuil doit être mauvais pour retenir un seau tout seul.

Ouvrez ce problème dans l'outil
1. Le panneau : cinq contre un d'après les rayons, 4,50 une fois les 90 % appliqués, donc onze newtons à la jante équilibrent cinquante à la tige.
  
  $MA = \frac{R}{r} η = 5.00 \times 0.90 = 4.50, E = \frac{50}{4.50} = 11.11 N$
2. Comptez les joules pour un tour complet. La jante parcourt 0,94 m, la tige 0,19 m, et un joule sur les dix et demi part dans le palier.
  
  $one turn: W_{in} = 11.11 \times 0.9425 = 10.472 J, W_{out} = 50 \times 0.1885 = 9.425 J, W_{loss} = 1.047 J$
3. Laissez maintenant la charge entraîner l'ensemble. Les mêmes surfaces glissent sur la même distance sous les mêmes forces, le palier prend donc le même joule, sauf que cette fois il sort du travail de la charge au lieu de s'ajouter au vôtre. Cette égalité est la seule hypothèse du calcul, et c'est elle qui rend le cas inverse calculable.
  
  $driven from the axle, same surfaces and same travel ⟹ W_{loss}^{'} = W_{loss} = 1.047 J$
4. Le rendement inverse est donc ce qui reste du travail propre de la charge, et il se réduit à une expression où ne figure rien d'autre que le rendement direct.
  
  $η_{rev} = \frac{9.425 - 1.047}{9.425} = \frac{8.378}{9.425} = 0.8889 = 2 - \frac{1}{0.90}$
5. En force : la charge repousse à la jante avec 8,89 N. Vous devez la retenir presque aussi fort que vous l'avez tirée.
  
  $F_{hold} = \frac{L r}{R} η_{rev} = 50 \times 0.200 \times 0.8889 = 8.89 N (against 11.11 N to raise it)$
6. L'expression s'épuise à un demi. En dessous, la charge ne peut plus du tout mettre la machine en mouvement, et l'outil montre ce que cela coûte : lever la même charge à 50 % demande le double de l'effort idéal.
  
  $η_{rev} \leq 0 ⟺ η \leq 0.50; η = 0.50 ⟹ E = 20.0 N = 2 \times \frac{50}{5.00}$
Réponse

Elle se dévisse. 8,89 N à la jante, contre les 11,11 N qu'il vous a fallu pour la lever.

Une machine ne retient sa propre charge que si son rendement est inférieur à 50 %, et aucun des quatre préréglages de cet outil n'en approche : la poignée de porte à 95 % rend 94,7 %, le volant et le tournevis à 90 % rendent 88,9 %, le treuil de puits à 85 % rend 82,4 %. Amenez le curseur de rendement à son plancher de 10 % et la valeur inverse tombe à −8, ce qui signifie que la charge ne peut plus l'ébranler, si lourde soit-elle. Voilà pourquoi un treuil de puits se construit avec un cliquet, et un tournevis avec votre main autour. Un palan est la seule machine où le rendement se paie deux fois : une fois à l'achat, et une fois dans le rochet qu'il faut y boulonner à cause de lui.

$η_{rev} = 2 - \frac{1}{η} : 0.95 \to 0.947, 0.90 \to 0.889, 0.85 \to 0.824, 0.50 \to 0, 0.10 \to - 8$

Parcours

Machines simples : échanger la force contre la distance

Par l’équipe 42Math · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.