Systèmes de poulies et avantage mécanique

Chargez le Palan : quatre brins, une charge de 800 N et un rendement de 85 %. Le panneau indique 235,3 N de traction et 4 m de corde par mètre levé. Calculez ces deux valeurs. Précisez ensuite très exactement à quoi les 15 % ont été dépensés.

1. Commencez par la machine idéale. Quatre brins de corde se partagent la charge, donc chacun en porte le quart. La main qui tient l'un d'eux ressent ce même quart. Voilà l'avantage mécanique. C'est un simple comptage, pas une formule.

   $${\mathrm{MA}}_{\text{ideal}}=n=4,E_{\text{ideal}}=\frac{800}{4}=200\mathrm{N}$$

2. La corde doit bien venir de quelque part. Élever la moufle de 1 m raccourcit chacun des quatre brins de 1 m. Il faut donc faire glisser 4 m entre vos mains. L'avantage et la longueur de la corde sont identiques pour la même raison.

   $$\ell =n\times h=4\mathrm{m}\text{of rope per }1\mathrm{m}\text{of lift}$$

3. Ajoutez maintenant la machine réelle. Le rendement multiplie l'avantage, pas la corde. Les réas tournent sur leurs roulements et la corde résiste quand on la plie. Ces deux phénomènes coûtent de la force.

   $${\mathrm{MA}}_{\text{actual}}=n\eta =4\times 0.85=3.40$$

4. La traction augmente donc. Remarquez la seconde méthode : diviser les 200 N idéaux par 0,85 donne le même résultat. C'est exactement ce que signifie l'expression "efficace à 85 %".

   $$E=\frac{L}{n\eta }=\frac{800}{3.40}=235.3\mathrm{N}=\frac{200}{0.85}$$

5. Comptez les joules de part et d'autre. Vous déplacez 4 m contre 235,3 N, et la charge se déplace de 1 m contre 800 N.

   $$W_{\text{in}}=235.3\times 4=941.2\mathrm{J},W_{\text{out}}=800\times 1=800\mathrm{J}$$

6. La différence correspond à la perte, et c'est très exactement la fraction annoncée par le rendement.

   $$W_{\text{lost}}=141.2\mathrm{J}=(1-\eta )W_{\text{in}}$$

Chargez Grue lourde (6×) : six brins porteurs, 1 500 N de charge, 80 % de rendement, 312,5 N de traction. La page affirme à trois reprises qu'ajouter des brins finit par ne plus rien apporter. Trouvez où cela s'arrête, puis décidez si un septième brin vaut la peine d'être mouflé sur cette grue.

1. Le panneau d'abord. Six brins à 80 % donnent un avantage de 4,80, la traction vaut donc 1 500 divisé par ce nombre, et six mètres de corde vous passent entre les mains pour chaque mètre gagné par le crochet.

   $$\mathrm{MA}=n\eta =6\times 0.80=4.80,E=\frac{1500}{4.80}=312.5\mathrm{N},\ell =6.0\mathrm{m}$$

2. L'outil vous laisse régler séparément le nombre de brins et le rendement ; le gréement, lui, ne le permet pas. Chaque réa prélève sa part, un palier et un pliage de la corde, si bien que les pertes se cumulent brin après brin. Les préréglages de l'outil s'accordent sur la taille de ce prélèvement : 80 % sur six brins et 85 % sur quatre donnent l'un comme l'autre environ 96 %.

   $$\eta ={\eta }_s^n⟹{\eta }_s=0.80^{1/6}=0.9635;\text{block and tackle: }0.85^{1/4}=0.9602$$

3. Substituez cela et la traction cesse d'être une simple division. Dérivez, et le nombre de brins où les deux effets s'équilibrent tombe tout seul, sans qu'il y reste ni charge ni gréement.

   $$E(n)=\frac{L}{n{\eta }_s^n},\frac{d}{dn}\ln E=-\frac{1}{n}-\ln {\eta }_s=0⟹n^{\ast }=\frac{1}{\ln (1/{\eta }_s)}$$

4. Pour des réas à 96,3 %, l'équilibre se situe à vingt-sept brins. Rien dans la plage de l'outil n'en approche : à dix brins, la traction baisse encore fortement.

   $${\eta }_s=0.9635:n^{\ast }=26.9;E(6)=312.5,E(7)=278.0,E(10)=217.6\mathrm{N}$$

5. Dégradez les réas et la réponse se déplace beaucoup. À 85 % chacun, six brins constituent le minimum, et le septième est déjà plus dur que le sixième.

   $${\eta }_s=0.85:n^{\ast }=6.15;E(5)=676.1,E(6)=662.9,E(7)=668.4\mathrm{N}$$

6. La carte du rendement n'est pas ce qu'il faut regarder pendant l'opération. Dix brins sur les propres réas de cette grue donnent 68,9 % de rendement, bien en dessous des 80 % affichés en ce moment, et la traction est plus légère d'un tiers.

   $$\eta (10)=0.9635^{10}=0.689<0.80,E(10)=\frac{1500}{10\times 0.689}=217.6\mathrm{N}$$