Leçons Interactives de Mathématiques et Sciences

Filetage de vis

When does a screw hold its load without input?

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L’angle décide si la vis tient 🖖

Déroulez un tour complet du filet pour obtenir un plan incliné. Il s'élève de la valeur d'un pas en faisant le tour de l'axe, sa pente vaut donc tan λ = p / 2πr. Le frottement dicte sa propre pente : inclinez une planche jusqu'à ce qu'un bloc commence à y glisser, et l'angle ainsi mesuré correspond à φ = arctan μ. Le filet retient la charge tant que λ ≤ φ.

Observez maintenant le grand absent de cette comparaison. Le poids de la charge ne figure d'aucun côté. La gravité attire la charge vers le bas du filet et l'écrase contre ses flancs dans des proportions identiques, si bien que les deux effets s'annulent exactement. Ainsi, un boulon autobloquant à 200 N le reste tout autant à 20 kN. Faites glisser le curseur de charge de 100 N jusqu'à 5 000 N, le verdict ne varie jamais.

Cinquante pour cent marque la limite 🖖

Sur toute la plage où une vis reste bloquée, le rendement croît avec l'angle d'hélice. L'autoblocage lui-même plafonne cet angle à φ. La vis la plus efficace capable de maintenir une charge se trouve donc exactement sur la limite, là où λ = φ transforme η = tan λ / tan(λ + φ) en tan φ / tan 2φ. L'équation se simplifie en (1 − μ²)/2.

Une moitié, voilà la valeur vers laquelle on tend lorsque le frottement disparaît. Or, un filet sans frottement ne retient rien. Aucune vis n'atteint donc jamais ce sommet. À μ = 0,15, le plafond est de 48,9 %. Chargez la vis de transmission de 5 mm et poussez le pas à 6,0 mm : elle maintient toujours la charge, à 49,2 %. Un cran de plus pour atteindre 6,5 mm, et elle devient réversible à 51,1 %. Sur l'ensemble des 116 280 combinaisons de rayon, de pas et de frottement balayées par les curseurs, la meilleure vis autobloquante culmine à 49,86 %.

Le pas échange force contre vitesse 🖖

Chaque tour fait avancer l'écrou d'exactement un pas, l'avantage idéal correspond donc à la circonférence sur le pas, et rien d'autre. Doublez le pas du M10 pour le passer de 1,5 mm à 3 mm et l'avantage est divisé par deux, plongeant de 20,94 à 10,47.

Le rendement évolue en sens inverse, grimpant de 24,0 % à 38,3 %. Cela ne sauve pas l'effort pour autant. Ce contre quoi votre main pousse est le produit des deux, et ce produit se simplifie en cot(λ + φ), dont la valeur diminue inexorablement quand le pas augmente. L'effort monte de 199,2 N à 249,1 N. Parmi les 116 280 réglages offerts par les curseurs, vous n'en trouverez pas un seul où un pas plus large s'avère plus facile à tourner. Faire moins de tours, c'est tout ce que vous y gagnez.

Problème entièrement résolu

  1. Mille newtons tenus par un boulon que vous serrez à deux doigts 6 étapes

    Chargez le préréglage M10 coarse : un pas de 1,5 mm sur une tige de 5 mm de rayon, μ = 0,15, portant 1 000 N. Le panneau indique 199,2 N d'effort pour un rendement de 24,0 %. Calculez d'où viennent ces 199,2 N, convertissez-les en la traction que votre main ressent vraiment sur une clé, puis décidez si 24,0 % est un chiffre dont il faut se soucier.

    1. Commencez par dérouler un tour de filet. Il s'élève du pas et fait une fois le tour de la tige : c'est donc une rampe dont la pente est le pas divisé par la circonférence. Prenez l'arc tangente de cette pente et vous tenez l'angle d'hélice.

    2. Le frottement reçoit le même traitement, et c'est ce geste qui rend facile tout ce qui suit. μ = 0,15 est la tangente de l'angle auquel un bloc posé sur une planche inclinée se met à glisser : le frottement vaut donc 8,531° de pente. Le filet est moins incliné que cela, et c'est pourquoi le boulon est encore serré au matin.

    3. Pousser une charge sur une pente rugueuse coûte son poids multiplié par la tangente de la somme des deux angles : la rampe que vous gravissez, plus le frottement que vous traînez. Une vis est cette rampe enroulée autour d'une tige, donc la même expression donne l'effort, mesuré comme une force agissant au rayon du filet.

    4. Le panneau arrive par l'autre chemin, divisant la charge par l'avantage idéal puis par le rendement, et tombe sur les mêmes 199,2 N. Ils s'accordent pour une raison qui mérite d'être retenue : l'avantage idéal vaut 1/tan λ et le rendement porte tan λ au numérateur, donc l'angle d'hélice se simplifie et l'avantage réel de n'importe quelle vis vaut simplement cot(λ + φ).

    5. Voici l'étape que la page ne fait pas à votre place. Ces 199,2 N agissent à 5 mm de l'axe : ce que vous devez fournir est donc un couple, et il est petit.

    6. Une clé sur une tête M10 mesure environ 150 mm et votre main se trouve à son extrémité. La clé est une seconde machine en série avec le filet, et c'est elle qui fait le gros du travail.

    Réponse

    199,2 N au filet, 0,996 N m de couple, et 6,64 N au bout de la clé. Moins de 700 grammes de traction, pour tenir cent kilogrammes en l'air. L'avantage idéal du filet est de 20,94 et la clé le multiplie par 30 de plus, soit 628 dans un monde sans frottement ; prenez-en 24,0 % et vous retrouvez les 151 que le calcul ci-dessus a effectivement livrés. C'est là que le rendement finit par apparaître sous une forme que l'on peut ressentir.

    Alors, faut-il se soucier de ces 24,0 % ? Comptez ce qu'ils coûtent ici. Un tour complet met 6,26 J dans le filet et élève la charge de 1,5 mm, soit 1,5 J de travail ; les 4,76 J restants partent en chaleur dans les flancs. Six tours et deux tiers élèvent la charge de 10 mm et perdent 32 J, moins d'une seconde de bras humain, et personne dans l'histoire des boulons ne l'a jamais remarqué.

    Mettez le même filet sous un moteur qui entraîne une vis d'avance huit heures par jour et ces mêmes 76 % fixent la taille du moteur, la température de service de l'écrou et la vitesse à laquelle les deux s'usent. Un seul nombre, deux verdicts, et ce qui tranche entre eux, c'est la fréquence à laquelle la machine tourne, et non quoi que ce soit de la vis.

    Une chose que cette page laisse de côté. Un boulon réel frotte aussi la face de sa tête contre l'assemblage, et sur de l'acier nu ce terme réclame à peu près autant de couple à nouveau. 0,996 N m est la part du filet, pas une consigne de serrage.

Parcours

Machines simples : échanger la force contre la distance

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Exemples de problèmes

  • M10 coarse - Un pas de 1,5 mm sur un rayon de 5 mm forme une hélice de 2,73°, face à un angle de frottement de 8,53°. Le filet retient donc ses 1 000 N une fois la clé retirée. Cette marge se paie sur le rendement : 24,0 %, et une poussée de 199,2 N sur le filet rien que pour lever la charge.
  • 5 mm lead screw - Pas de 5 mm sur un rayon de 8 mm : l'hélice atteint 5,68° et le rendement double presque, à 44,8 %. L'ensemble reste autobloquant, avec cependant à peine un degré de marge contre près de six pour le M10. Voilà pourquoi une vis de transmission soutient une charge à l'arrêt, au contraire d'une vis à billes qui exige un frein.
  • fast pitch - Un pas de 12 mm sur un rayon de 5 mm propulse l'hélice à 20,91°, bien au-delà de l'angle de frottement de 4,57°. La charge entraîne donc la vis vers le bas dès l'instant où vous la relâchez. Le rendement s'élève à 80,2 %, plus du triple de celui du M10. Pourtant, la poussée exigée reste à 285,9 N parce que l'avantage idéal s'est effondré à 2,62.