Calculateur de flèche de poutre

Choisis le type de poutre et le chargement pour voir la courbe de flèche ainsi que les diagrammes du moment fléchissant et de l'effort tranchant.

Exemple résolu — Calculateur de flèche de poutre

R_A	5 kN
R_B	5 kN
M_max	12,5 kN·m
δ_max	15,631 mm

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Calculateur de flèche de poutre

La rigidité d’une poutre n’est pas une propriété de la poutre. Chargez la même planche de la même façon et la réponse varie d’un facteur proche de cinquante selon la seule manière dont ses extrémités sont tenues — c’est pourquoi une étagère fléchit au milieu et un balcon s’affaisse à sa pointe. Les conditions aux limites sont le nom savant de cette manière de tenir les extrémités, et les choisir constitue l’essentiel du calcul des structures.

Ce que signifie chaque symbole

EI: la rigidité en flexion — le module du matériau multiplié par le moment quadratique de la section. C’est l’apport propre de la poutre, et la seule part de la réponse que les appuis ne touchent pas.
y′: la pente de la déformée. Qu’un appui l’autorise ou non fait toute la différence entre une articulation et un encastrement, et cette seule distinction engendre la majeure partie de la liste déroulante.
δ_max: la plus grande flèche sur toute la portée — le chiffre en tête, et celui que les occupants d’un plancher ressentent réellement sous leurs pieds.
L/δ: la portée divisée par la flèche maximale. Les règlements sont écrits dans ce rapport plutôt qu’en millimètres, car 10 mm d’affaissement sont invisibles sur 12 m et inquiétants sur 1 m.

D’où vient la formule

Écrivons l’équation une seule fois, car il n’y en a qu’une. Pour une poutre portant une charge répartie w(x), EI·d⁴y/dx⁴ = w(x). Remarquez ce qui n’y figure pas : rien sur les articulations, les encastrements, les appuis intermédiaires ou les porte-à-faux. Intégrée quatre fois, elle rend y(x) et fait apparaître quatre constantes d’intégration. Tout ce que fait la liste des appuis, c’est fixer ces quatre nombres.
Demandons alors ce qu’un appui sait faire ; la liste est courte. Il peut empêcher l’extrémité de se déplacer, l’empêcher de tourner, les deux, ou rien. Une articulation retient l’extrémité mais la laisse tourner librement : y = 0 avec un moment nul. Un encastrement la retient et lui refuse la rotation : y = 0 et y′ = 0. Une extrémité libre ne retient rien — moment nul et effort tranchant nul. Chacune des huit entrées de la liste est un couple tiré de ce vocabulaire, et rien d’autre.
Voyons le prix. Ne touchez à rien d’autre — les 1000 N/m répartis sur 5 m d’acier par lesquels cette page commence — et changez seulement les extrémités. Sur deux articulations la poutre fléchit de 4,885 mm. Encastrez les deux bouts et la poutre identique fléchit de 0,977 mm : exactement cinq fois plus rigide, car 5wL⁴/384EI est devenu wL⁴/384EI. Retirez complètement un appui et la console tombe de 46,894 mm, quarante-huit fois la valeur encastrée. Rien n’a jamais été ajouté à la poutre.
La flèche est ce que l’on remarque ; le moment est ce qui casse. Une poutre sur deux appuis simples porte un moment nul à ses extrémités et wL²/8 à mi-portée — la page affiche 3,125 kN·m. Encastrez les extrémités : elles deviennent capables de porter du moment, le maximum tombe à wL²/12, soit 2,083 kN·m, et se déplace de la mi-portée vers les appuis. La poutre n’est pas devenue plus résistante. La demande a été redistribuée sur de la matière qui ne faisait rien.
Reste la question évidente : pourquoi ne pas tout encastrer ? Comptez les inconnues. La statique fournit trois équations ; une poutre dont les appuis apportent exactement trois réactions est donc isostatique — les réactions découlent du seul équilibre et rien d’autre ne peut les modifier. Une quatrième réaction la rend hyperstatique : plus rigide, moins haute, plus légère — et dès lors la poutre a un avis sur le fait d’être déplacée. C’est le marché que passe le cas sur appui intermédiaire, et le même que passe un tablier de pont continu au-dessus de chaque pile qu’il franchit.

Comment lire ce que vous voyez

Trois panneaux empilés dans l’ordre causal — la poutre chargée avec ses appuis dessinés tels qu’ils se comportent, puis l’effort tranchant, puis le moment — et changer de type d’appui les redessine tous les trois d’un coup, ce qui est le moyen le plus rapide de voir que la charge, elle, n’a pas bougé. En dessous : les réactions, le moment maximal, la flèche maximale et un rapport portée/flèche. C’est cette dernière ligne que lit le projeteur : une limite de service courante est L/250, le cas sur deux appuis la dépasse ici d’environ un facteur quatre, et la console, à près de L/107, est la seule configuration de cette page qui échoue.

Suppose: La théorie des poutres d’Euler–Bernoulli — les sections planes restent planes, la déformation d’effort tranchant est donc négligée ; des flèches assez petites pour que la courbure s’écrive y″ ; un matériau élastique linéaire bien en deçà de la limite d’élasticité ; et une section constante sur la portée. Et surtout, pour cette leçon : des appuis parfaits. Une articulation sans frottement, et un encastrement de rigidité en rotation infinie.
Ne tient plus quand: C’est sur cette dernière hypothèse que le modèle quitte le monde réel, et ce sont les cas hyperstatiques qui s’en aperçoivent. Un encastrement ne vaut que ce que vaut ce dans quoi il est encastré ; les assemblages réels ont une rigidité en rotation finie et se placent quelque part entre les 4,885 mm et les 0,977 mm que cette page propose comme des choix distincts. L’écart plus profond : cette page résout pour une charge donnée — or une poutre hyperstatique peut être sollicitée par un déplacement imposé, sans aucune charge. Qu’un appui de la poutre encastrée tasse de trois millimètres, ou que les deux extrémités restent boulonnées tandis que l’acier chauffe au soleil de l’après-midi, et apparaissent un moment et un effort normal que l’équilibre ne sait pas prévoir et que rien ici ne dessinera. La poutre isostatique sur deux articulations, elle, hausse les épaules et se déplace. Voilà pourquoi un tablier de pont repose sur des appareils d’appui glissants et rejoint la culée par un joint de dilatation à peigne : l’ingénieur rachète le mouvement que l’encastrement lui avait pris, et le paie en flèche.

Les sections planes restent planes, jusqu’à ce que la poutre devienne courte 🖖

La théorie des poutres d'Euler-Bernoulli suppose que les sections planes restent planes après flexion. Cela reste valable quand la longueur de la poutre ≫ sa hauteur. La déformation par cisaillement, ignorée par la théorie, devient significative pour les poutres hautes ou courtes — on utilise alors plutôt la théorie des poutres de Timoshenko.

Trois diagrammes, une seule chaîne de cause à effet 🖖

L'outil empile trois graphiques parce qu'ils forment les étapes liées d'une même histoire : la charge engendre un effort tranchant, l'effort tranchant s'accumule en un moment fléchissant, et le moment courbe la poutre pour donner sa déformée. Chaque diagramme est en somme l'intégrale cumulée de celui du dessus. Conséquence pratique : le moment fléchissant est maximal là où l'effort tranchant s'annule, et c'est là que la poutre travaille le plus.

Galilée s'est trompé sur le premier problème de poutre 🖖

Galilée a posé le problème de la résistance d'une poutre en porte-à-faux dans ses Discours concernant deux sciences nouvelles (1638), texte fondateur de la théorie des poutres — mais il supposait que chaque fibre de la section était tendue de manière uniforme. Il n'a pas vu que les fibres d'un côté s'allongent tandis que celles de l'autre se compriment, en pivotant autour d'un axe neutre. Son modèle surestimait la résistance à la flexion d'un facteur d'environ 3, et il a fallu près d'un siècle pour que Parent, puis Euler et Bernoulli, le corrigent.

Problèmes entièrement résolus

Une poutre en acier de 5 m sur appuis simples portant 10 kN à mi-portée 5 étapes
Une poutre en acier de 5 m, sur appuis simples, portant 10 kN à mi-portée. Déterminez les réactions d'appui, le moment fléchissant et la flèche — puis comparez celle-ci à la limite qui régit réellement le dimensionnement.
1. La symétrie résout la statique. La charge se situant à mi-portée, chaque appui en reprend la moitié, sans qu'aucune équation ne soit nécessaire au-delà de ce constat.
  
  $\sum M = 0 ⟹ R_{A} = R_{B} = \frac{P}{2} = 5 kN$
2. Le moment maximal se trouve sous la charge, où chaque réaction s'est exercée sur la moitié de la portée. PL/4 mérite d'être mémorisé : c'est le cas de la charge ponctuelle sur appuis simples auquel tous les autres cas sont comparés.
  
  $M_{m a x} = R_{A} \cdot \frac{L}{2} = \frac{P L}{4} = \frac{10 \times 5}{4} = 12.5 kN m$
3. La flèche dépend de la rigidité de la poutre, et pas seulement de la charge. Deux propriétés interviennent — le matériau à travers E et la forme à travers I — et elles n'interviennent que par leur produit, ce qui explique pourquoi un alliage plus rigide et une section plus haute sont interchangeables ici.
  
  $δ_{m a x} = \frac{P L ^{3}}{48 E I} = \frac{1 0 ^{4} \times 5 ^{3}}{48 \times 200 \times 1 0 ^{9} \times 8.33 \times 1 0 ^{- 6}}$
4. La substitution numérique donne 15,631 mm. Remarquez la position de la portée : elle intervient au cube. La flèche est nettement plus sensible à la longueur qu'à tout autre terme de l'expression.
  
  $= \frac{1.25 \times 1 0 ^{6}}{7.997 \times 1 0 ^{7}} = 0.015631 m = 15.631 mm$
5. Venons-en à la vérification qui détermine le dimensionnement. Les limites d'état limite de service sont couramment exprimées comme la portée divisée par 360, ce qui, pour 5 m, donne 13,89 mm.
  
  $\frac{L}{360} = \frac{5000}{360} = 13.89 mm < 15.631 mm$
Réponse

L'outil affiche 5 kN à chaque appui, 12,5 kN·m de moment et 15,631 mm de flèche. Ce dernier chiffre dépasse la limite d'état de service L/360 de 13,89 mm — alors même que la poutre est très loin de la plastification. C'est l'enseignement principal des cours de structures, auquel l'intuition résiste : les poutres sont généralement dimensionnées en fonction de leur amplitude de déformation, et non de leur proximité de la rupture. La présence du cube sur la portée en est la raison. Portez la même poutre à 10 m et la flèche ne double pas : elle est multipliée par huit pour atteindre 125 mm, sans qu'aucune marge de résistance ne puisse y remédier.

$δ = \frac{P L ^{3}}{48 E I} = 15.631 mm > \frac{L}{360} = 13.89 mm$
Une poutre fléchissant de 15,631 mm face à une limite de service de 13,89 mm 6 étapes
Le panneau annonce une flèche de 15,631 mm et une limite de service L/360 de 13,89 mm : un huitième de trop. La question suivante d'un constructeur est de combien la poutre doit grossir, et la réponse est bien plus petite que le dépassement ne le laisse croire.
1. Prenez le rapport des deux nombres déjà affichés. La poutre est 1,1254 fois plus souple que la limite ne l'autorise.
  
  $\frac{δ _{m a x}}{L /360} = \frac{15.631}{13.89} = 1.1254$
2. La flèche est inversement proportionnelle au moment quadratique, et pour un rectangle cette grandeur porte la hauteur au cube alors que la largeur n'y entre qu'une fois. Les deux dimensions ne sont pas interchangeables.
  
  $I = \frac{b d ^{3}}{12} ⟹ δ \propto \frac{1}{I} \propto d^{- 3}$
3. Cette conséquence mérite d'être énoncée avant d'être utilisée : doublez la hauteur et la flèche est divisée par huit, pas par deux.
  
  $d \to 2 d : δ \to \frac{δ}{2 ^{3}} = \frac{δ}{8}$
4. Inversez donc le cube. Diviser la flèche par 1,1254 exige de multiplier la hauteur par la racine cubique du même nombre.
  
  $(\frac{d}{d ^{'}})^{3} = \frac{1}{1.1254} ⟹ \frac{d ^{'}}{d} = 1.125 4^{1/3} = 1.0402$
5. Quatre pour cent. Une solive de 300 mm passe à 312 mm, et la poutre recalée est reçue.
6. Chiffrez maintenant l'autre solution. Passer par la largeur, c'est le 1,1254 entier : trois fois plus de matière ajoutée pour les mêmes millimètres gagnés.
  
  $\frac{d ^{'}}{d} - 1 = 0.0402, \frac{b ^{'}}{b} - 1 = 0.1254$
Réponse

Une poutre 4 % plus haute corrige un dépassement de 12,5 % ; une poutre 12,5 % plus large fait le même travail pour trois fois plus de matière. C'est toute la raison pour laquelle les solives de plancher sont de hauts rectangles posés sur chant plutôt que des carrés ou des planches à plat : un millimètre de hauteur en vaut trois de largeur, et le cube explique pourquoi la même planche fait un plancher sur chant et un plongeoir à plat.

$δ \propto d^{- 3} : δ \times 1.1254 ⟺ d \times 1.0402 ⟺ b \times 1.1254$

Références (2)

The lesson — where the support-case coefficients (5/384, 1/384, 1/8) are tabulated: W. C. Young, R. G. Budynas and A. M. Sadegh, Roark's Formulas for Stress and Strain, 8th edition, ch. 8 — beams; flexure of straight bars. McGraw-Hill, 2012. ISBN 978-0-07-174247-4.
The shear correction this tool's first block says Euler–Bernoulli leaves out: S. P. Timoshenko, "On the correction for shear of the differential equation for transverse vibrations of prismatic bars." Philosophical Magazine Series 6, 41, 744–746, 1921.

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-07-18

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Exemples de problèmes

Charge à mi-portée - Une charge ponctuelle à mi-portée coûte 15,631 mm de flèche et 12,5 kN·m de moment, chaque appui reprenant 5 kN.
Extrémité de la console - Libre à une extrémité, la pointe descend de 27,011 mm — un rapport de L/111,07.
Pont avec charge répartie - Répartie en charge uniforme, la même poutre fléchit de 78,156 mm, le pire de ces quatre cas.
Charge excentrée - Hors centre est plus doux qu’à mi-portée : 13,437 mm, les réactions se partageant 6,67 kN contre 3,33 kN.