Navier–Stokes : écoulement autour d'un cylindre

Définissez le nombre de Reynolds et la page résout sous vos yeux les équations de Navier–Stokes pour un écoulement autour d'un cylindre. Les couleurs indiquent le sens de rotation du fluide. Le tracé sous l'image représente la vitesse transversale à trois diamètres en aval. Près du seuil, il vous révèle ce que l'image seule ne peut montrer : si le sillage se stabilise, s'amortit ou oscille pour de bon.

Exemple résolu — Navier–Stokes : écoulement autour d'un cylindre

Viscosité (unités de réseau)	0,01000
Temps de relaxation τ	0,5300
Amplitude limite du sillage	0,636 U
Nombre de Strouhal (période)	0,1690
Coefficient de traînée moyen	1,489
Part due à la pression	1,157
Part due au frottement	22%
Nombre de Strouhal (Roshko)	0,1671

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Navier–Stokes : écoulement autour d'un cylindre

Les équations de Navier–Stokes représentent la deuxième loi de Newton pour un fluide : chaque petite particule accélère sous la pression qui s'exerce sur elle et la traînée visqueuse de ses voisines. Pour un fluide incompressible, elles s'écrivent ∂u/∂t + (u·∇)u = −∇p/ρ + ν∇²u et ∇·u = 0, où u est la vitesse, p la pression, ρ la masse volumique et ν la viscosité cinématique.

Ce que signifie chaque symbole

Re: le nombre de Reynolds UD/ν, obtenu à partir de la vitesse de l'écoulement U, du diamètre du cylindre D et de la viscosité cinématique ν. L'étape 1 montre que c'est la seule constante qui subsiste dans les équations
St: le nombre de Strouhal fD/U, soit la fréquence de détachement f exprimée en unités de U/D
C_D: le coefficient de traînée : la traînée sur une unité de longueur du cylindre divisée par ½ρU²D
A: l'amplitude de l'oscillation : la moitié de la vitesse transversale crête à crête à trois diamètres derrière le cylindre, exprimée en fraction de U
ω: la vorticité ∂v/∂x − ∂u/∂y, soit le double de la vitesse de rotation d'une particule de fluide. Elle correspond à la couleur sur l'image

D’où vient la formule

Pourquoi un seul curseur suffit. Mesurez les longueurs en diamètres, les vitesses en unités de U et le temps en unités de D/U : posez u = U u′, x = D x′, t = (D/U) t′ et p = ρU² p′. Chaque terme à gauche de l'équation de la quantité de mouvement comporte alors un facteur U²/D, tout comme le terme de pression. Le terme visqueux contient νU/D². Divisez le tout par U²/D et l'équation redevient identique à la précédente, écrite avec les grandeurs primées, sauf que ν est devenu ν/(UD) = 1/Re. Deux écoulements qui partagent le même Re sont en fait le même écoulement à des tailles et des vitesses différentes. La page ne nécessite donc qu'un seul paramètre de contrôle, et non quatre.
Comment la page distingue une stabilisation d'un amortissement. Notez A l'amplitude de l'oscillation. Tant qu'elle reste faible, elle croît ou décroît de façon exponentielle, dA/dt = σA, avec σ positif au-dessus du seuil et négatif en dessous. Près du seuil, σ est proportionnel à Re − Re_c. La croissance ne peut se poursuivre indéfiniment. Le premier terme capable de l'arrêter, pour une oscillation identique lorsqu'on l'inverse de haut en bas, est cubique : dA/dt = σA − ℓA³, l'équation de Landau. Divisée par A, elle forme une ligne droite en A², d ln A/dt = σ − ℓA². La page ajuste cette ligne sur les cycles de chaque exécution pour y lire σ. C'est ainsi qu'elle sait, à Re 48, qu'une oscillation qui se réduit est en train de se stabiliser plutôt que de s'amortir. En posant dA/dt = 0, on obtient l'oscillation finale du sillage, A∞² = σ/ℓ : une ligne droite en Re qui atteint zéro à Re_c. Il s'agit de la ligne du deuxième panneau.
Zéro traînée sans viscosité. Sans viscosité, l'écoulement autour d'un cylindre de rayon R est ψ = U(r − R²/r) sin θ. Sur la surface, sa vitesse vaut 2U sin θ : nulle à l'avant et à l'arrière, double de l'écoulement libre sur les côtés. L'équation de Bernoulli, p + ½ρv² constante le long de l'écoulement, convertit cela en pression, C_p = (p − p∞)/(½ρU²) = 1 − 4 sin²θ. La traînée correspond à cette pression qui pousse sur la surface, additionnée sur tout le contour : C_D = ∫₀^π C_p cos θ dθ = ∫₀^π cos θ dθ − 4∫₀^π sin²θ cos θ dθ = 0 − [4 sin³θ/3]₀^π = 0. La moitié avant et la moitié arrière s'annulent parfaitement. La page intègre la pression du solveur de la même manière et l'affiche comme la part de pression de la traînée.
La fréquence. Redimensionnée comme à l'étape 1, la fréquence de détachement f devient St = fD/U. Comme tout le reste dans les équations redimensionnées, elle ne dépend que de Re. Une fois St connu à un nombre de Reynolds donné, f = St·U/D s'applique à n'importe quel fluide, vitesse et diamètre qui le partagent. Roshko a ajusté St = 0.212(1 − 21.2/Re) sur ses mesures en soufflerie entre Re 50 et 150. Le St de ce solveur se situe 4 % au-dessus de cette valeur à Re 55, pour se rapprocher à 1 % à Re 100.

Suppose: Deux dimensions : un cylindre infiniment long sans aucune variation sur sa longueur. Un fluide incompressible, que le solveur simule en fonctionnant à environ un sixième de sa propre vitesse du son. Un canal large de vingt diamètres avec son sommet relié à sa base, de sorte que le cylindre possède des voisins à vingt diamètres de distance, ce qui ajoute quelques pour cent à la traînée et à la fréquence.
Ne tient plus quand: Au-delà de Re 188,5, un sillage réel développe des ondes le long du cylindre (Barkley et Henderson, 1996) et la solution 2D ne le décrit plus. Près du seuil, tout ralentit : à Re 47 l'oscillation s'amortit encore après 300 D/U, et nécessiterait plus de 2 000 D/U supplémentaires pour disparaître complètement. C'est pourquoi la page lit la tendance à l'aide de l'équation de Landau plutôt que d'attendre.

En dessous de Re 47 environ, le sillage se stabilise ; au-delà, les mêmes équations oscillent pour toujours 🖖

Cliquez sur Re 44 puis sur Re 48. Le cylindre est symétrique, tout comme l'écoulement qui l'atteint. À ces deux nombres de Reynolds, les équations possèdent une solution symétrique : deux tourbillons en miroir, parfaitement immobiles. À 44, le sillage perturbé y retourne. À 48, il ne le fait jamais. La solution symétrique existe toujours, mais elle est devenue instable, et l'écoulement s'en écarte au moindre prétexte. Ici, ce prétexte provient de la page elle-même : une légère poussée transversale dans l'écoulement entrant après chaque modification, et un cylindre décalé d'un tiers de cellule par rapport à l'axe de la grille. Dans un canal hydraulique, la moindre vibration suffit. L'équipe de Camichel à Toulouse a mesuré le seuil à 47. Le taux de croissance de ce solveur change de signe entre 47 et 48, à environ 47,4. L'ajustement dans le deuxième panneau donne 47,5.

Sans viscosité, un cylindre ne subirait aucune traînée 🖖

Retirez la viscosité des équations et l'écoulement autour d'un cylindre se résout avec un crayon (étape 3 ci-dessous). La pression sur la moitié arrière s'avère être l'image en miroir de la pression sur l'avant. La poussée et l'aspiration s'annulent, la traînée est exactement nulle. d'Alembert l'a publié en 1752 et on parle depuis de paradoxe, car tout corps réel subit une traînée. Le premier panneau montre l'origine du problème. À Re 100, la pression sans frottement remonte à +1 à l'arrière du cylindre. Celle du solveur s'arrête à −0,94, car l'écoulement quitte la surface avant de pouvoir récupérer. Cette pression manquante représente plus des trois quarts de la traînée. Le reste provient de l'adhérence du fluide sur la surface : 22 % de la traînée à Re 100, 40 % à Re 20.

La note que chante un fil n'est pas un nombre fixe 🖖

St = fD/U représente la fréquence de détachement exprimée en unités de temps nécessaires à l'écoulement pour parcourir un diamètre. On l'arrondit souvent à 0,2. Sur cette page, il grimpe de 0,128 à Re 50, passe à 0,169 à 100 et atteint 0,192 à 180. L'ajustement de soufflerie de Roshko, la ligne verte, monte avec lui : 0,167 à Re 100. La valeur de 0,2 correspond à des écoulements plus rapides. L'ajustement de Roshko pour Re 300 à 2 000 donne 0,203 à 0,211. À ce stade, le sillage est devenu tridimensionnel, ce qu'un solveur 2D ne peut reproduire. Un sillage réel adopte un comportement tridimensionnel à Re 188,5, c'est pourquoi le curseur s'arrête à 180.

Problème entièrement résolu

Quelle note chante un fil dans le vent ? 4 étapes
Un fil tendu de 3 mm d'épaisseur se dresse dans un vent de 8 m/s. Des tourbillons s'en détachent tour à tour de chaque côté et le fil bourdonne à la fréquence de détachement. Quelle est cette fréquence ? À 20 °C, l'air possède une viscosité de 1,813×10⁻⁵ Pa·s et une masse volumique de 1,204 kg/m³.

Ouvrez ce problème dans l'outil
1. D'abord le nombre de Reynolds, à partir de la viscosité cinématique ν = η/ρ :
  
  $ν = \frac{η}{ρ} = \frac{1 . 813 \times 1 0 ^{- 5} Pa s}{1 . 204 kg/ m ^{3}} = 1.506 \times 1 0^{- 5} m^{2} /s, Re = \frac{U D}{ν} = \frac{8 m/s \times 0 . 003 m}{1 . 506 \times 1 0 ^{- 5} m ^{2} /s} = 1, 594$
2. C'est bien au-delà de 188,5, où un sillage réel devient tridimensionnel. Le solveur de cette page ne peut donc pas y répondre. Roshko a mesuré la fréquence de détachement précisément dans cette plage et l'a ajustée :
  
  $St = 0.212 (1 - \frac{12 . 7}{Re}) = 0.212 (1 - \frac{12 . 7}{1 , 594}) = 0.2103 (300 < Re < 2, 000)$
3. La fréquence f découle ensuite de la définition de St :
  
  $f = \frac{St U}{D} = \frac{0 . 2103 \times 8 m/s}{0 . 003 m} = 561 Hz$
4. Le solveur trouve son utilité en dessous de Re 150, où on peut le comparer directement avec la même soufflerie. Cliquez sur Re 100 et lisez les deux valeurs dans le tableau des résultats :
  
  $Re = 100 : St_{solver} = 0.1690, St_{Roshko} = 0.212 (1 - \frac{21 . 2}{100}) = 0.1671$
Réponse

Le fil chante à environ 561 Hz. Réduisez son épaisseur de moitié et la fréquence passe à 1 113 Hz : un peu moins du double, car Re diminue lui aussi de moitié et St chute de 0,2103 à 0,2086.

$f \approx 561 Hz; D = 1.5 mm : Re = 797, St = 0.2086, f = 1, 113 Hz$

Références (5)

Wind-tunnel shedding frequencies behind circular cylinders from Re 40 to 10,000, and the two fits this page plots and the worked problem uses: S = 0.212(1 − 21.2/R) for 50 < R < 150 and S = 0.212(1 − 12.7/R) for 300 < R < 2,000: A. Roshko, "On the Development of Turbulent Wakes from Vortex Streets", NACA Report 1191, National Advisory Committee for Aeronautics, 1954.
Where a two-dimensional solver stops describing a real wake: the periodic 2D wake becomes unstable to three-dimensional disturbances at Re = 188.5 ± 1.0, which is where this page's slider stops: D. Barkley and R. D. Henderson, "Three-dimensional Floquet stability analysis of the wake of a circular cylinder", Journal of Fluid Mechanics 322, 215–241 (1996).
The history of the instability: Bénard's experiments, the threshold Re_c = 47 that Camichel's group in Toulouse measured with circular cylinders, and Mathis, Provansal and Boyer's 1984 measurement that the oscillation's amplitude grows as (Re − Re_c)^½, the Landau law this page fits: J. E. Wesfreid, "Henri Bénard: Thermal convection and vortex shedding", Comptes Rendus Mécanique 345, 446–466 (2017).
The method this page solves the equations with: a lattice-Boltzmann fluid with a curved wall placed on the true circle by interpolating along each lattice link, and the drag from the momentum each link exchanges with the wall: M. Bouzidi, M. Firdaouss and P. Lallemand, "Momentum transfer of a Boltzmann-lattice fluid with boundaries", Physics of Fluids 13, 3452–3459 (2001).
Steady flow past a cylinder computed up to Re 100, with the drag, the surface pressure and the separation bubble, which first appears just below Re 7: S. C. R. Dennis and G.-Z. Chang, "Numerical solutions for steady flow past a circular cylinder at Reynolds numbers up to 100", Journal of Fluid Mechanics 42, 471–489 (1970).

Par l’équipe 42Math · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.