Loi de Poiseuille et écoulement en conduite

Réglez un rayon, une longueur et une pression pour observer la capacité de transport d'une conduite. Vous verrez également à quel moment la loi ne décrit plus la réalité de l'écoulement.

Exemple résolu — Loi de Poiseuille et écoulement en conduite

Débit volumique	120,4 L/min
Vitesse moyenne	39,9 m/s
Nombre de Reynolds	318 404
Régime d'écoulement	Turbulent
Résistance hydraulique	9,96 × 10⁷ Pa·s/m³
Rayon requis	3,3605 mm
Régime pour ce rayon	Turbulent

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Loi de Poiseuille et écoulement en conduite

La loi de Poiseuille définit ce qu'une différence de pression permet d'obtenir dans une conduite : Q = πΔp r⁴ / (8ηL). La puissance quatrième explique tout. Elle provient de deux phénomènes simultanés. Un tuyau plus large offre une plus grande section pour transporter le fluide, et le fluide situé en son centre est plus éloigné de la paroi qui ralentit l'écoulement global. Le premier phénomène apporte r², le second un autre r².

Ce que signifie chaque symbole

Q: débit volumique, ce qui en sort chaque seconde
Δp: la différence de pression qui le génère
r: le rayon de la conduite, le terme qui est élevé à la puissance quatrième
L: sa longueur, à laquelle le débit est tout simplement inversement proportionnel
η: la viscosité du fluide

Ne tient plus quand: Cette loi trouve ses limites avec le sang, l'exemple que tout le monde cite d'instinct. Le sang n'est pas newtonien : il se fluidifie lorsque vous le cisaillez. Une artère est élastique et non rigide. Enfin, l'écoulement y est pulsé plutôt que stationnaire. Le rétrécissement de 30 % illustré sur cette page donne le bon type de réponse, mais le mauvais chiffre pour un patient précis.

Rétrécissez une artère de 30 % et 76 % du débit est perdu 🖖

Dans une conduite circulaire, le débit évolue selon la puissance quatrième du rayon. Divisez le rayon par deux. Le débit ne diminue pas de moitié, ni du quart. Il se divise par 16. Vous obtenez d'ailleurs un facteur de 16,0000 et non une valeur approchée. Le terme r⁴ reste en effet le seul élément dicté par le rayon dans la formule Q = πΔP·r⁴ / 8ηL, et aucun autre paramètre n'a été altéré.

Cliquez sur Tube fin. Avec un demi-millimètre de rayon, un mètre de conduite et 5 000 Pa, la ligne du débit indique 7,351 mL/min. Cliquez sur Moitié du rayon pour lire 0,459 mL/min. Vous constatez qu'il s'agit du premier chiffre divisé par 16, puis arrondi.

L'impact des petits changements est plus brutal qu'il n'y paraît. Enlevez 10 % à un rayon et 34,4 % du débit disparaît avec lui. Réduisez-le de 30 % et vous ne conservez que 24,0 %. C'est précisément l'écart entre les deux préréglages sanguins de l'outil. Passer de 2 mm à 1,4 mm sous une même pression de 200 Pa provoque une perte de 76,0 %.

Une conduite d'eau obstruée de 10 % par le calcaire fournit encore environ les deux tiers de son volume et personne ne s'en alarmera. Une artère rétrécie de 10 % subit pourtant la même arithmétique, à la différence que le corps ne dispose d'aucune marge équivalente à ces deux tiers pour compenser. Poiseuille était médecin. S'il a mesuré cette puissance quatrième dans les années 1840 en forçant des liquides à travers des tubes étroits, c'était bien pour comprendre la dynamique du sang.

18,92 % de rayon en plus valent le double de la pression 🖖

Le débit Q évolue de manière linéaire par rapport à ΔP, et suit la puissance quatrième de r. Vous disposez ainsi de deux moyens pour le doubler. Ils exigeront cependant des efforts très différents.

Prenez le réglage de l'eau en régime laminaire, soit un rayon de 0,5 mm, 1 m de conduite et 5 000 Pa. La ligne du débit affiche 7,351 mL/min. Montez la pression à 10 000 Pa pour observer une valeur de 14,703. Vous pouvez tout aussi bien maintenir la pression initiale et élargir le rayon à 0,5946 mm, ce qui représente 18,92 % de plus. Le débit passera alors à 14,702. Le millième manquant correspond simplement au reste de 2^1/4 = 1,1892071. Vous l'avez supprimé en ne tapant que quatre décimales.

Laquelle de ces deux variables vous pouvez ajuster n'est plus un problème de physique. La pression du réseau de distribution appartient à la compagnie des eaux. Quant à un cœur capable de doubler son travail à la demande, il n'appartiendrait pas au patient dont l'état de santé vous inquiéterait.

Re 318 404 : le débit à l'ouverture de la page est une fiction 🖖

Au chargement, cette page affiche de l'eau traversant une conduite de 4 mm sur 10 m de long, sous 2 bar de pression. La loi de Poiseuille calcule 120,4 L/min et l'arithmétique qui justifie ce chiffre demeure incontestable. Ce débit implique pourtant une vitesse moyenne de 39,9 m/s, soit l'équivalent de 144 km/h. Il engendre surtout un nombre de Reynolds de 318 404, soit environ 138 fois le seuil de 2300 en dessous duquel l'équation est valable.

Au-delà de ce plafond, l'écoulement n'est plus laminaire. Le fluide dissipe son énergie dans des tourbillons en plus des frottements visqueux. Sous 2 bar, un tuyau réel transportera donc une quantité d'eau considérablement inférieure à 120,4 L/min. L'ennui, c'est que la formule ne contient aucune variable pour s'en apercevoir.

Les lignes correspondant au débit, au nombre de Reynolds et au régime d'écoulement s'affichent par conséquent en rouge. Le graphique exclut également de la zone verte tout ce qui dépasse 0,7732 mm. Rétrécissez la conduite à 0,77 mm et l'outil repassera au vert. Le Reynolds tombe à 2 271, le flux devient laminaire et la réponse vous sera utile. Tous les autres préréglages de cette page se situent déjà dans cette zone sûre.

Problème entièrement résolu

Le prix que le cœur devrait payer 7 étapes
Une section d'artère de 10 cm de long et de 2 mm de rayon achemine du sang (η = 3,5 × 10⁻³ Pa·s, ρ = 1060 kg/m³) sous une perte de charge de 200 Pa. Une plaque réduit le conduit de 30 % pour atteindre 1,4 mm. Calculez le débit résiduel. Déterminez ensuite la perte de charge qui permettrait de rétablir le débit initial dans ce vaisseau rétréci.

Ouvrez ce problème dans l'outil
1. Commencez par le vaisseau sain et conservez les unités du système international. Vous avez un rayon de 2 × 10⁻³ m, une longueur de 0,1 m, une pression aux bornes de 200 Pa, et du sang à 3,5 × 10⁻³ Pa·s. La puissance quatrième du rayon donne 1,6 × 10⁻¹¹ m⁴. L'expression complète s'élève finalement à 3,590 × 10⁻⁶ m³/s. Ce résultat équivaut à 0,2154 litre par minute.
  
  $Q_{0} = \frac{π Δ P r _{0}^{4}}{8 η L} = \frac{π \cdot 200 \cdot ( 2 \times 1 0 ^{- 3} ) ^{4}}{8 \cdot 3.5 \times 1 0 ^{- 3} \cdot 0.1} = 3.590 \times 1 0^{- 6} m^{3} /s$
2. Appliquez le rétrécissement. La longueur, la pression et les propriétés du sang restent identiques. Le rapport entre les deux débits correspond donc exclusivement au rapport des r⁴. Divisez 1,4 par 2 pour obtenir 0,7. Élevez 0,7 à la puissance quatre pour trouver 0,2401. Une section qui semble à l'œil nu presque normale ne transporte plus que 24,01 % de son volume initial. La ligne du débit indique 51,723 mL/min.
  
  $\frac{Q _{1}}{Q _{0}} = (\frac{r _{1}}{r _{0}})^{4} = 0. 7^{4} = 0.2401 \Rightarrow Q_{1} = 8.621 \times 1 0^{- 7} m^{3} /s = 51.723 mL/min$
3. La vitesse moyenne correspond à ce débit réparti sur la section de passage. Diviser Q par πr² annule deux des quatre puissances. Il vous reste v̄ = ΔP r²/(8ηL). La vitesse s'effondre donc avec le carré du rayon, tandis que le débit chute avec la puissance quatrième. Le calcul donne ici exactement 0,140 m/s. La ligne de la vitesse moyenne confirme ce chiffre.
  
  $\overset{v}{ˉ} = \frac{Q _{1}}{π r _{1}^{2}} = \frac{Δ P r _{1}^{2}}{8 η L} = \frac{200 \cdot ( 1.4 \times 1 0 ^{- 3} ) ^{2}}{8 \cdot 3.5 \times 1 0 ^{- 3} \cdot 0.1} = 0.140 m/s$
4. Avant de vous y fier, vérifiez que la loi s'applique. La démonstration de Poiseuille exige un écoulement laminaire. Le juge de paix reste le nombre de Reynolds construit sur le diamètre. Il atteint 119, loin du plafond de 2300. La ligne du régime d'écoulement indique Laminaire. Observez au passage dans quel sens le rétrécissement a poussé cette valeur. Remettez le chiffre 2 dans le champ du rayon. Le Reynolds remonte à 346. Étrangler l'écoulement a par conséquent rendu l'arithmétique plus solide au lieu de la fragiliser.
  
  $Re = \frac{ρ v ˉ D}{η} = \frac{1060 \cdot 0.140 \cdot 2.8 \times 1 0 ^{- 3}}{3.5 \times 1 0 ^{- 3}} = 118.7 < 2300$
5. Cette même puissance quatrième dicte la résistance. R = 8ηL/πr⁴ représente la pression qu'un vaisseau réclame par unité de débit. La ligne de la résistance hydraulique affiche 2,32 × 10⁸ Pa·s/m³, alors que l'artère saine affichait 5,57 × 10⁷. Le facteur qui les sépare s'élève à 4,1649. C'est l'inverse parfait de 0,2401.
  
  $R = \frac{8 η L}{π r ^{4}} : R_{0} = 5.57 \times 1 0^{7}, R_{1} = 2.32 \times 1 0^{8} Pa s/ m^{3}, \frac{R _{1}}{R _{0}} = \frac{1}{0.2401} = 4.1649$
6. La formule Q = ΔP/R n'est autre que la loi de Poiseuille réarrangée. Elle constitue surtout la ligne de survie de la circulation sanguine. Maintenir Q à son niveau sain de 3,590 × 10⁻⁶ m³/s à travers cette nouvelle résistance a un coût. Ce dernier s'élève à ΔP = Q₀R₁ = 833 Pa. Le débit obéissant à une relation linéaire avec la pression, la perte de charge doit augmenter d'un facteur strictement identique à la hausse de la résistance. Calculez 200 × (10/7)⁴. Vous verrez que (10/7)⁴ correspond à 10 000/2401.
  
  $Δ P_{1} = Q_{0} R_{1} = 3.590 \times 1 0^{- 6} \cdot 2.320 \times 1 0^{8} = 833 Pa$
7. Vérifiez cette réponse par rapport à sa propre prémisse. À 833 Pa, la vitesse moyenne dans le vaisseau rétréci grimpe à 0,583 m/s. Le nombre de Reynolds s'établit à 494, un score bien inférieur à 2300. La loi qui a produit ce chiffre tient donc toujours dans l'état qu'elle vient de prédire. Saisissez 833 dans le champ de la pression avec un rayon fixé à 1,4 mm. La ligne du débit volumique revient sur 0,22 L/min. C'est exactement le point de départ de l'artère saine.
  
  $\overset{v}{ˉ}_{1} = 0.583 m/s, Re_{1} = \frac{1060 \cdot 0.583 \cdot 2.8 \times 1 0 ^{- 3}}{3.5 \times 1 0 ^{- 3}} = 494 < 2300$
Réponse

833 Pa, contre les 200 Pa dont le vaisseau sain avait besoin. Quatre fois et un sixième de la pression motrice, seulement pour faire transiter les mêmes litres par minute par une section réduite de 0,6 mm. L'outil peut se charger de l'autre inversion pour vous. Tapez 0,2154 dans la case du débit cible. La ligne du rayon requis affiche 1,9999 mm. Vous retrouvez ainsi l'artère saine. Cette conclusion s'apparente toutefois à une réponse de chirurgien, et non à celle d'un muscle cardiaque. Absolument rien sur cette page ne résout l'équation pour trouver la pression. Et pourtant, cette pression constitue la moitié du problème que le corps est obligé de résoudre par lui-même.

$Δ P_{1} = Δ P_{0} (\frac{r _{0}}{r _{1}})^{4} = 200 \cdot \frac{1 0 ^{4}}{2401} = 833 Pa$

Références (1)

The measurements the fourth power came out of, made by a physician looking for how blood moves: J. L. M. Poiseuille, "Recherches expérimentales sur le mouvement des liquides dans les tubes de très petits diamètres." Mémoires présentés par divers savants à l'Académie Royale des Sciences de l'Institut de France 9, 1846, pp. 433–544.

Par l’équipe 42Math · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.