Vidange de réservoir et loi de Torricelli

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Exemple résolu — Vidange de réservoir et loi de Torricelli

Section du réservoir (A) (m²)	0,0707
Section de l'orifice (a) (m²)	7,85 × 10⁻⁵
Temps de vidange (T) (s)	655,4
Niveau d'eau actuel (h) (m)	1,000
Débit actuel (Q) (m³/s)	0,0002
Temps à 50 % du niveau	29,3%
Rapport temps bas / haut	2,414
Niveau d'eau initial (H)	1,00 m

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Un réservoir qui se vide n'a pas de demi-vie 🖖

Chacun s'attend à une décroissance de condensateur chargé, et elle ne vient pas. Le débit suit √h et non h, si bien que le niveau descend en H(1 − t/T)² — une parabole qui atteint zéro en un temps fini. Ajustez une exponentielle sur le même instant de demi-vidange : à la seconde où ce réservoir est réellement à sec, elle affirme encore qu'il en reste 9,4 %, et elle ne se vide jamais. Voilà ce qui sépare un débit fixé par la quantité d'un débit fixé par sa racine carrée.

Quatre fois la hauteur, deux fois l'attente 🖖

T = (A / C_dA₀)√(2H/g) : H est sous une racine carrée, les deux aires ne le sont pas. Remplissez le même réservoir quatre fois plus haut et l'attente est deux fois plus longue, pas quatre. Divisez l'orifice par deux et elle est exactement quatre fois plus longue, car l'aire suit le carré du diamètre. La hauteur est ici le terme indulgent, l'orifice le terme impitoyable.

L'orifice est plus petit que le trou que vous avez percé 🖖

Le coefficient de débit n'est pas un facteur de correction arbitraire. L'eau qui aborde un orifice à arête vive ne peut pas prendre le virage instantanément : la veine continue de se resserrer après avoir quitté la paroi et atteint son minimum réel un peu en aval — la vena contracta. Un orifice à arête vive tourne autour de 0,62, si bien que l'ouverture efficace fait moins des deux tiers de celle que vous avez percée. Mettez C_d à 1 et le réservoir se vide en 62 % du temps réel : c'est l'ampleur de l'erreur que vous commettez en faisant confiance au dessin.

Problème entièrement résolu

Pourquoi la moitié inférieure d'un tonneau met 2,4 fois plus de temps à se vider que la moitié supérieure 8 étapes
Un tonneau de 300 mm est rempli sur 1,00 m de profondeur. Un orifice de 10 mm est ouvert à sa base. Combien de temps faut-il pour le vider, et quelle proportion de ce temps est consacrée à la dernière moitié de l'eau ?
1. Deux aires portent tout le problème. La section transversale du tonneau indique ce qu'un millimètre de hauteur représente en litres. La section de l'orifice précise à quelle vitesse ces litres peuvent s'échapper.
  
  $A = \frac{π d ^{2}}{4} = \frac{π ( 0.30 ) ^{2}}{4} = 0.0707 m^{2}, a = \frac{π ( 0.010 ) ^{2}}{4} = 7.85 \times 1 0^{- 5} m^{2}$
2. La vitesse au niveau de l'orifice obéit à la loi de Torricelli, fixée par la hauteur d'eau restante au-dessus. Le coefficient de débit intervient parce que le jet se contracte à environ 62 % de la surface de l'orifice lors de sa sortie. Multipliez cette vitesse par l'aire de l'orifice pour obtenir le volume par seconde. Divisez ensuite par l'aire du tonneau pour obtenir la vitesse de descente du niveau.
  
  $\frac{d h}{d t} = - \frac{C _{d} a 2 g h}{A}$
3. La hauteur d'eau figure des deux côtés. Séparez les variables et intégrez de l'état plein jusqu'au vide. Il s'agit du seul calcul intégral du problème. La forme de tout ce qui suit en découle directement.
  
  $\int_{H}^{0} \frac{d h}{h} = - \frac{C _{d} a 2 g}{A} \int_{0}^{T} d t ⟹ 2 H = \frac{C _{d} a 2 g}{A} T$
4. Après réarrangement, vous obtenez le temps de vidange. Insérez les valeurs numériques.
  
  $T = \frac{A}{C _{d} a} \frac{2 H}{g} = \frac{0.0707}{0.62 \times 7.85 \times 1 0 ^{- 5}} \frac{2 \times 1.00}{9.81} = 655.4 s$
5. Arrêtez la même intégrale à une hauteur h au lieu de zéro. Retournez l'équation et vous obtiendrez le niveau à tout instant. C'est une parabole. Elle atteint zéro à l'instant T et y reste. Un condensateur ne finit jamais de se décharger. Un tonneau se vide complètement, car la dernière quantité d'eau continue d'être poussée par la hauteur restante.
  
  $h (t) = H (1 - \frac{t}{T})^{2}$
6. Fixez le niveau à la moitié et résolvez l'équation pour déterminer le temps. Ce n'est pas la moitié de T.
  
  $\frac{H}{2} = H (1 - \frac{t}{T})^{2} ⟹ \frac{t}{T} = 1 - \frac{1}{2} = 0.293$
7. La moitié supérieure disparaît en 29,3 % de la durée totale. Les 70,7 % restants sont donc accordés à la moitié inférieure. Rien dans ce rapport ne connaît la hauteur, le diamètre, la pesanteur ou le coefficient.
  
  $\frac{T - t _{1/2}}{t _{1/2}} = \frac{1/ 2}{1 - 1/ 2} = 1 + 2 = 2.414$
8. Le temps T contient une racine carrée de H et absolument rien d'autre concernant l'eau. Remplir le même tonneau jusqu'à 2,00 m ne double donc pas l'attente. Cela la multiplie par 1,414.
  
  $\frac{T ( 2.00 )}{T ( 1.00 )} = \frac{2.00}{1.00} = 1.414 ⟹ T = 926.9 s$
Réponse

655,4 secondes, dont 70,7 % sont consacrées à la moitié inférieure. Le niveau baisse selon H(1 − t/T)². Il s'agit d'une parabole qui atteint le niveau vide en un temps fini, plutôt qu'une exponentielle qui ne ferait que s'en approcher. La moitié de l'eau disparaît après 29,3 % de l'écoulement. La moitié inférieure prend par conséquent 1 + √2 = 2,414 fois plus de temps que la moitié supérieure. Aucune dimension du réservoir n'apparaît dans ce nombre.

$T = \frac{A}{C _{d} a} \frac{2 H}{g} \propto H$

Parcours

L'eau d'un réservoir : une vitesse, deux usages

Références (1)

Torricelli's law applied to quasi-steady tank draining kinetics and parabolic depth decay: E. Torricelli, De motu gravium naturaliter descendentium. Florence, 1644.

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-09-01

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Vidange de réservoir et loi de Torricelli

Un réservoir qui se vide n'a pas de demi-vie 🖖

Quatre fois la hauteur, deux fois l'attente 🖖

L'orifice est plus petit que le trou que vous avez percé 🖖

Exemples de problèmes