Jets d'écoulement d'un réservoir

Un réservoir est maintenu rempli à 1,20 m. Trois trous y sont percés, à 0,30 m, 0,60 m et 0,90 m au-dessus de la table sur laquelle il repose. Calculez le point de chute de chaque jet, et trouvez la hauteur qui projette l'eau le plus loin.

1. L'eau qui sort d'un trou n'est propulsée que par la profondeur de liquide qui la surmonte. Cette pression lui confère exactement la vitesse qu'aurait une pierre lâchée après une chute de même distance. C'est le résultat de Torricelli. Le trou inférieur est surmonté de 0,90 m d'eau.

   $$v=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\times 9.81\times 0.90}=4.20m/s$$

2. Une fois dans l'air, le jet se comporte comme un projectile tiré horizontalement. Sa durée de vol dépend donc de la hauteur dont il doit chuter. La profondeur au-dessus du trou fixe la vitesse. La hauteur en dessous dicte le temps de vol.

   $$t=\sqrt{\frac{2y}{g}}=\sqrt{\frac{2\times 0.30}{9.81}}=0.2473\mathrm{s}$$

3. Multipliez les deux et g disparaît du résultat. Sur la Lune, un jet part plus lentement et plane plus longtemps, et il atterrit au même endroit.

   $$R=vt=\sqrt{2gh}\sqrt{\frac{2y}{g}}=2\sqrt{hy}=2\sqrt{0.90\times 0.30}=1.039\mathrm{m}$$

4. La portée ne dépend que du produit de la profondeur au-dessus par la hauteur en dessous, et la somme des deux vaut toujours H. Remplacer y par H − y ne change rien à ce produit. Le trou situé à 0,90 m lance donc l'eau exactement aussi loin que celui à 0,30 m.

   $$R(y)=2\sqrt{(H-y)y}⟹R(0.90)=2\sqrt{0.30\times 0.90}=1.039\mathrm{m}=R(0.30)$$

5. Le produit de deux nombres de somme constante est maximal lorsqu'ils sont égaux. Le meilleur trou se trouve donc à mi-hauteur. La profondeur au-dessus et la hauteur en dessous valent alors toutes les deux H/2, et la portée donne très exactement H.

   $$\underset{y}{\max }(H-y)y⟹y=\frac{H}{2}=0.60\mathrm{m},R_{\max }=2\sqrt{\frac{H}{2}\cdot \frac{H}{2}}=H=1.200\mathrm{m}$$

6. Ainsi, aucun réservoir ne projette l'eau plus loin sur la table que sa propre profondeur, peu importe où vous percez. Quant aux trous jumeaux, ils touchent la même cible sans arriver ensemble : le jet supérieur vole pendant 0,4284 s contre 0,2473 s pour l'inférieur. Le point d'impact est touché deux fois, avec 0,18 s de décalage.

   $$t_{0.90}=\sqrt{\frac{2\times 0.90}{9.81}}=0.4284\mathrm{s},t_{0.90}-t_{0.30}=0.1810\mathrm{s}$$