Loi de Darcy et écoulement des eaux souterraines

Choisissez un matériau et une différence de charge pour voir quelle quantité d'eau le traverse, à quelle vitesse l'eau se déplace réellement, et à quel moment la loi ne s'applique plus.

Exemple résolu — Loi de Darcy et écoulement des eaux souterraines

Gradient hydraulique	0,0010
Flux de Darcy	1,000 × 10⁻⁸ m/s
Débit	1,000 × 10⁻⁸ m³/s
Vitesse interstitielle	2,857 × 10⁻⁸ m/s
L'eau devance le flux d'un facteur	2,86×
Temps de parcours	1 109 ans
Nombre de Reynolds interstitiel	1,4949 × 10⁻⁶
Gradient le plus fort pour Re ≤ 1	668,9374

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Loi de Darcy et écoulement des eaux souterraines

La loi de Darcy stipule que l'écoulement à travers un milieu poreux est proportionnel à la perte de charge qui s'y produit et inversement proportionnel à la distance sur laquelle cette perte a lieu : Q = K A Δh/L. La constante K représente la conductivité hydraulique, qui caractérise conjointement le milieu et le fluide plutôt que la seule roche. Retirez l'influence du fluide avec k = Kμ/(ρg) et vous obtenez la perméabilité intrinsèque, une propriété liée exclusivement à la géométrie des pores. C'est pourquoi le même grès sera évalué en m/s par un hydrogéologue et en darcys par un ingénieur pétrolier : tous deux mesurent les mêmes pores, mais avec des fluides différents à l'intérieur.

Suppose: Un écoulement saturé, permanent et laminaire à travers un milieu uniforme à l'échelle du trajet d'écoulement. Les six conductivités présentées ici sont des ordres de grandeur représentatifs plutôt que des mesures exactes. Chacun de ces matériaux s'étend sur au moins deux ordres de grandeur dans les tables publiées, car le sable désigne une taille de grain et non une roche. Les porosités indiquées sont les porosités totales. Ceci fait de la vitesse interstitielle la valeur la plus faible que ces données autorisent : le transport suit la fraction connectée, qui est toujours plus petite.

324 jours dans le gravier, 634 millions d'années dans le granite 🖖

Cliquez sur Aquifère de sable : un mètre de charge sur un kilomètre de sable fin. La ligne du temps de parcours indique 1 109 ans. Parcourez maintenant les boutons de matériaux sans modifier aucun autre paramètre. Le gravier couvre le même kilomètre en 324,1 jours. Le limon exige 1,426 × 10⁵ ans, l'argile 1,584 × 10⁷, et le granite non fracturé 6,338 × 10⁸.

Une seule colonne gouverne tout cela. La conductivité hydraulique passe de 10⁻² m/s dans le gravier à 10⁻¹² m/s dans le granite. Ces dix puissances de dix dictent le flux, la vitesse, le temps de parcours et le nombre de Reynolds. Henry Darcy ne cherchait pas une loi lorsqu'il a découvert cette relation. Il construisait le réseau d'adduction d'eau de Dijon et devait savoir à quelle vitesse ses filtres à sable allaient fonctionner. Sa découverte a fini dans l'annexe de son rapport de 1856 sur les fontaines de la ville.

Cette amplitude explique pourquoi un ingénieur de décharge et un foreur de puits utilisent la même équation sans jamais avoir besoin de se parler. L'un paie pour abaisser K autant que le compactage le permet. L'autre paie pour trouver le K le plus élevé qu'il puisse forer.

L'eau a 2 060 ans d'avance sur le flux 🖖

Cliquez à nouveau sur Aquifère de sable. Le temps de parcours affiche 1 109 ans. La ligne du Flux de Darcy juste au-dessus indique 1,000 × 10⁻⁸ m/s, et un kilomètre divisé par cette valeur donne 3 169 ans. Les deux calculs sont justes, mais un seul représente un temps de parcours.

Le flux correspond au débit divisé par la section totale, y compris les grains. Il s'agit donc d'un écoulement par unité de surface et non de la vitesse de quoi que ce soit : la majeure partie de cette section est constituée de quartz. Faites passer ce même débit par les 35 % que représentent les pores, et l'eau se déplace 1/n fois plus vite. C'est exactement ce qu'indique la ligne L'eau devance le flux d'un facteur. Elle affiche ici 2,86, ce qui correspond précisément au rapport entre les deux temps de parcours.

Le facteur le plus important ne se trouve pas là où vous pourriez le penser. Le gravier possède la porosité la plus faible des cinq sédiments (0,28), son eau circule donc 3,57 fois plus vite que le flux. L'argile, qui retient le plus d'eau à 0,50, ne circule que deux fois plus vite. Le cas extrême reste le granite, où une porosité de 2 % propulse le peu d'eau présente cinquante fois plus vite que ne le suggère le flux.

Le temps de parcours affiché ici est volontairement une estimation haute. Le transport suit l'espace poreux connecté plutôt que le volume total. Dans l'argile, une grande partie de l'eau adhère aux surfaces minérales et ne bouge jamais. Un traceur non sorbant comme le chlorure arrivera plus tôt que ce qu'indique cette page. Une substance qui s'accroche à l'argile peut mettre des décennies de plus, et aucune de ces deux corrections n'est calculée ici.

Un drain de gravier sur une pente d'un pour vingt dépasse déjà la loi 🖖

Cliquez sur Drain de gravier : un mètre de charge sur vingt mètres de gravier propre, ce qui correspond à un drain de terrain tout à fait banal. La ligne Reynolds affiche 4,9830 face à un plafond de 1, et le panneau de droite grise tout ce qui dépasse le gradient où ce plafond est franchi.

La loi de Darcy est linéaire, et cette linéarité est une hypothèse qui a un prix. Remplacer q = Ki dans Re = ρqd/μ donne Re(i) = ρKdi/μ, qui est linéaire en i. Le gradient auquel un seuil est atteint peut donc être calculé directement au lieu d'être recherché : i_max = Re_maxμ/(ρKd). Pour ce gravier, la ligne indique 0,0100, soit une chute d'un mètre sur cent. Appliquez ce même mètre de charge sur 100 m et Re vaut 0,9966, tout juste dans les limites. Sur 20 m, il atteint 4,9830. Sur 1 m, 99,6605.

Le gravier est le seul des six matériaux dont le plafond se situe à un gradient que l'on construirait réellement. Le sable grossier atteint Re = 1 à un gradient de 2,0068, ce que l'on rencontre dans une colonne de laboratoire plutôt que dans un aquifère. Le sable fin l'atteint à 668,9374, et l'argile à 5,0170 × 10⁸. La seule interprétation honnête d'un tel chiffre est que l'argile ne quittera jamais la loi de Darcy.

Au-delà du plafond, l'écoulement continue de croître avec le gradient, mais cesse d'y être proportionnel. L'inertie dans les pores commence en effet à s'approprier une part de la pression que la traînée visqueuse se réservait. Le débit affiché par cette page pour le drain de gravier est donc trop important. L'équation de Forchheimer ajoute un terme quadratique à celui linéaire de Darcy, et c'est ce qu'un ingénieur en drainage utilisera à la place.

Problème entièrement résolu

Ce qui traverse la barrière d'une décharge 7 étapes
Une décharge possède une barrière d'argile compactée de 600 mm : conductivité hydraulique 10⁻⁹ m/s, porosité 0,50. Le système de collecte retient 300 mm de lixiviat par-dessus et la base de la barrière se draine librement. Calculez le temps nécessaire à l'eau pour traverser l'argile, puis déterminez le volume qui s'échappe d'un hectare de cette installation sur une durée de vie de trente ans.

Ouvrez ce problème dans l'outil
1. Le gradient est la clé de ce problème. La charge hydraulique associe l'élévation et la pression : mesurez donc les deux depuis la base de la barrière. Le sommet du lixiviat repose sur 0,6 m d'argile auxquels s'ajoutent 0,3 m de liquide au-dessus de ce repère, ce qui représente 0,9 m de charge. La base se draine librement à la pression atmosphérique, c'est-à-dire zéro. Ce sont donc 0,9 m de charge qui se perdent sur un trajet de 0,6 m. Écrivez plutôt 0,3 divisé par 0,6 et vous n'aurez comptabilisé que le liquide en négligeant le poids de l'eau stagnante dans l'argile elle-même, qui constitue pourtant les deux tiers de ce qui entraîne l'écoulement.
  
  $i = \frac{Δ h}{L} = \frac{0 . 3 + 0 . 6}{0 . 6} = \frac{0 . 9 m}{0 . 6 m} = 1.5$
2. La loi de Darcy sous forme de flux : multipliez la conductivité par le gradient. La ligne Flux de Darcy indique 1,500 × 10⁻⁹ m/s, une valeur bien trop abstraite. Ramenez-la donc à l'année. Multipliée par 3,15576 × 10⁷ secondes, elle devient 0,047336 m d'eau par an à travers chaque mètre carré, soit 47,34 litres par mètre carré et par an. Le législateur rédige la norme sous forme de conductivité : voici le résultat concret de cette norme sur le terrain.
  
  $q = K i = 1 0^{- 9} \cdot 1.5 = 1.500 \times 1 0^{- 9} m s^{- 1} ⟹ q \cdot 3.15576 \times 1 0^{7} = 0.047336 m y r^{- 1} = 47.34 L m^{- 2} y r^{- 1}$
3. Ce flux n'est pas une vitesse. Il divise le débit par l'ensemble du mètre carré, y compris la fraction solide, et la moitié d'une argile aussi poreuse est solide. L'eau est repoussée dans la moitié poreuse et se déplace à deux fois le flux : la Vitesse interstitielle affiche 3,000 × 10⁻⁹ m/s et la ligne en dessous indique 2,00×. L'argile offre le plus petit facteur de tous les matériaux présents sur cette page, car elle possède le plus grand espace poreux pour répartir un même débit.
  
  $v = \frac{q}{n} = \frac{1 . 500 \times 1 0 ^{- 9}}{0 . 50} = 3.000 \times 1 0^{- 9} m s^{- 1}, \frac{v}{q} = \frac{1}{n} = 2.00$
4. Vient maintenant la traversée. Six cents millimètres à 3 × 10⁻⁹ m par seconde correspondent à 2 × 10⁸ secondes, et le Temps de parcours transforme ce chiffre en 6,34 ans. Utilisez le flux au lieu de la vitesse interstitielle et vous obtenez 12,68 ans. C'est la même erreur que tout à l'heure, et elle double exactement le résultat.
  
  $t = \frac{L}{v} = \frac{0 . 6}{3 . 000 \times 1 0 ^{- 9}} = 2.000 \times 1 0^{8} s = 6.34 yr$
5. Demandez-vous si la loi était en droit de répondre, car elle vous fournira un résultat dans tous les cas. Le nombre de Reynolds interstitiel se calcule à partir du flux de Darcy et d'un diamètre de grain représentatif, soit 2 × 10⁻⁶ m pour l'argile. Il atteint 2,9898 × 10⁻⁹ face à un plafond de 1. Le gradient permettant d'atteindre ce plafond serait de 5,0170 × 10⁸ : cinq cents millions de mètres de charge par mètre de barrière. Quoi que vous fassiez avec une argile sur cette page, elle ne sortira jamais du cadre de la loi de Darcy.
  
  $Re = \frac{ρ q d}{μ} = \frac{998 . 2 \cdot 1 . 500 \times 1 0 ^{- 9} \cdot 2 \times 1 0 ^{- 6}}{1 . 0016 \times 1 0 ^{- 3}} = 2.9898 \times 1 0^{- 9} ≪ 1$
6. Remplacez le matériau sans rien modifier d'autre. Les mêmes 600 mm sous la même charge de 0,9 m, remplis avec chaque matériau proposé par la page, donnent la colonne ci-dessous. Le limon est légèrement plus grossier que l'argile. Personne ne le qualifierait pour autant de perméable, pourtant il se voit traversé en trois semaines. Le rapport de conductivité entre les deux s'élève exactement à cent, tandis que le rapport des temps de parcours atteint 111. Ce dixième supplémentaire s'explique par le fait que l'argile retient plus d'eau par mètre cube à repousser. Le gravier expédie le trajet en onze secondes, et il le fait à Re = 149,49, une valeur qui ne veut plus rien dire.
  
  $fill gravel coarse sand fine sand silt clay granite q (m s^{- 1}) 1.50 \times 1 0^{- 2} 7.50 \times 1 0^{- 4} 1.50 \times 1 0^{- 5} 1.50 \times 1 0^{- 7} 1.50 \times 1 0^{- 9} 1.50 \times 1 0^{- 12} t 11.2 s 4.3 min 3.9 h 20.8 d 6.34 yr 254 yr Re 149.49 0.747 2.24 \times 1 0^{- 3} 2.99 \times 1 0^{- 6} 2.99 \times 1 0^{- 9} 1.49 \times 1 0^{- 12}$
7. La page vous a maintenant livré toutes ses informations. Un ingénieur concepteur n'a pourtant toujours aucun chiffre en main, car le flux s'exprime par mètre carré et une décharge ne se limite pas à un mètre carré. Un hectare de cette barrière représente 10⁴ m² et laisse donc passer 1,5 × 10⁻⁵ m³ chaque seconde, 473,4 m³ par an, et 14 200 m³ sur trente ans d'exploitation. C'est l'équivalent de près de six piscines olympiques de lixiviat traversant une barrière qui respecte pourtant son cahier des charges à la lettre.
  
  $V = q A t = 1.500 \times 1 0^{- 9} \cdot 1 0^{4} \cdot 30 \cdot 3.15576 \times 1 0^{7} = 1.42 \times 1 0^{4} m^{3}$
Réponse

L'eau traverse la barrière de 600 mm en 6,34 ans, et un hectare laisse passer 14 200 m³ en trente ans. Aucun de ces chiffres n'indique une défaillance. La barrière respecte sa norme à la virgule près. Simplement, 47 litres par mètre carré et par an, voilà ce que signifie cette norme une fois convertie en une unité tangible.

C'est la charge hydraulique qui fera s'effondrer ces calculs. Placez 3 m de lixiviat sur la barrière au lieu de 0,3 m, ce qui arrive avec une couche de drainage colmatée, et le gradient passe de 1,5 à 6. Le flux étant linéaire par rapport au gradient, tous les chiffres précédents se multiplient par quatre : les 6,34 ans tombent à 1,58 ans, et le volume sur trente ans grimpe à 56 800 m³. La limite réglementaire de 300 mm ne concerne pas vraiment la barrière en elle-même. Une fois l'argile enfouie, la charge hydraulique reste le seul terme de l'équation que vous pouvez encore modifier.

$Δ h : 0.9 \to 3.6 m ⟹ i : 1.5 \to 6, t = \frac{6 . 34}{4} = 1.58 yr, V = 4 V_{0} = 5.68 \times 1 0^{4} m^{3}$

Références (3)

The experiment itself, in an appendix to a report about a city's water supply: H. Darcy, Les Fontaines Publiques de la Ville de Dijon. Victor Dalmont, Paris, 1856.
Where the conductivity and porosity ranges for real materials are compiled: R. A. Freeze and J. A. Cherry, Groundwater. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1979.
The Reynolds-number convention used here, and where the linear law stops: J. Bear, Dynamics of Fluids in Porous Media. American Elsevier, New York, 1972. Reprinted by Dover, 1988.

Par l’équipe 42Math · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.