L'attracteur de Lorenz

Lancez les équations de 1963 deux fois depuis des points presque identiques. Observez où les deux exécutions divergent, puis regardez sur quoi elles s'accordent encore.

Exemple résolu — L'attracteur de Lorenz

Chauffage choisi	28,000
Fin des rouleaux stables	24,7368
Rouleau stable possible ?	non
Le rouleau stable droit	(8,485, 8,485, 27,000)
Taux de contraction du volume	-13,6667
Volume restant après 60 unités	7,6 × 10⁻³⁵⁷
Écart initial des jumelles	1,0 × 10⁻⁹
Écart final des jumelles	16,211

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — L'attracteur de Lorenz

En 1963, Edward Lorenz a réduit la convection à trois nombres et trois équations : ẋ = σ(y − x), ẏ = x(ρ − z) − y, ż = xy − βz. Ici, x est la vitesse de rotation d'un rouleau de fluide, y la différence de température entre le côté ascendant et le côté descendant, et z l'écart du profil vertical de température par rapport à une ligne droite. Les valeurs σ = 10 et β = 8/3 sont les siennes. Le chauffage ρ constitue le paramètre de contrôle de cette page. Un attracteur est l'ensemble sur lequel une exécution aboutit une fois le régime transitoire dissipé. En dessous de ρ = 24,7368, il peut s'agir d'un point unique, un rouleau stable tournant à vitesse constante. Au-delà, l'exécution ne se fixe jamais. L'ensemble qu'elle remplit possède alors des propriétés qu'aucun point ni aucune surface n'a.

Ce que signifie chaque symbole

σ: le nombre de Prandtl, fixé à 10. Il compare la vitesse de propagation de la quantité de mouvement dans le fluide à celle de la chaleur
ρ: le chauffage, paramètre de contrôle sur cette page. Il correspond au nombre de Rayleigh divisé par sa valeur critique, ρ = 1 étant le point où le fluide commence tout juste à bouger
β: fixé à 8/3, défini par la forme des rouleaux de convection supposés par Lorenz
∇·F: le taux de contraction du volume, −σ − 1 − β. Identique partout, et la raison pour laquelle l'attracteur n'a aucun volume
λ₁: le plus grand exposant de Lyapunov, mesuré ici en repoussant un second point puis en renormalisant. Une valeur positive signifie que les états voisins se séparent

Suppose: Que trois nombres puissent représenter un fluide. Ils n'en sont pas capables, et Lorenz le savait. Ce système est une troncature de la convection qui conserve trois modes et rejette le reste. C'est donc le modèle d'un modèle. Ce qui survit à cette troncature, c'est l'arithmétique de l'étirement et du repliement. Voilà pourquoi l'image mérite d'être regardée bien après que la convection ait été oubliée. L'intégration utilise RK4 avec un pas fixe de 0,005. Ce pas est volontairement fixe plutôt qu'adaptatif. Ainsi, la seule différence entre les deux exécutions reste celle que vous avez choisie.
Ne tient plus quand: En tant que description de la météo, presque immédiatement. La convection réelle possède des limites, de l'humidité et un continuum de modes. Les nombres ici ne sont ni des températures ni des vitesses dans une unité que vous pourriez mesurer. L'axe du temps utilise les propres unités du système. Le traduire en jours constitue un choix et non un résultat, raison pour laquelle cette page ne le fait pas. L'exposant de Lyapunov est une moyenne sur l'ensemble de l'attracteur. Or, le taux local varie considérablement. C'est pourquoi une prévision émise lors d'une journée calme vaut davantage que ne le suggère la moyenne. C'est précisément ce que mesure la prévision météorologique d'ensemble. Poussez ρ au-delà d'environ 31 et l'image change de nouveau. Des fenêtres périodiques s'ouvrent et se ferment au sein de la plage chaotique. Une exécution peut alors atterrir sur une boucle fermée.

Les deux exécutions divergent, et continuent de dessiner la même chose 🖖

Cliquez sur Pour remplir la courbe et lisez le second panneau. Chaque fois que z atteint un maximum, l'outil l'enregistre et le trace en fonction du précédent. L'exécution A donne 268 de ces points. L'exécution B en donne 266, et l'ensemble des 534 tombe sur une courbe unique. Mesurez-la. Sur une carte de 17,75 unités de large, la moitié des points de l'exécution B se situent à moins de 0,011 de la ligne traversant les points voisins de l'exécution A. Les deux exécutions se trouvaient au même endroit pour la dernière fois à t = 24,78. À la fin, elles sont séparées de 11,9. Sur un attracteur de 38 unités d'envergure, cela signifie simplement qu'elles sont ailleurs. Un prévisionniste est incapable de vous dire où se trouve la trajectoire. La courbe dans ce panneau constitue la part qui n'a jamais fait de doute.

L'attracteur n'a aucun volume, sans pour autant être une surface 🖖

Sommez les trois termes diagonaux du flot pour obtenir ∇·F = −σ − 1 − β = −13,6667, une constante valable en tout point et pour tout ρ. Un volume de conditions initiales ne conserve ainsi qu'un millionième de sa taille après une unité de temps, et 7,6 × 10⁻³⁵⁷ de celle-ci après soixante. La forme vers laquelle la trajectoire tend présente donc un volume nul. Elle ne peut se réduire à un point. Au-delà de ρ = 24,7368, les deux rouleaux stationnaires deviennent instables et repoussent la trajectoire. Il ne s'agit pas non plus d'une surface. Deux trajectoires d'un flot régulier ne se croisent jamais, or une nappe devrait se traverser elle-même pour s'enrouler de cette manière. Il ne reste que ce singulier objet géométrique intermédiaire, dont la dimension calculée vaut 2,0622.

Sous ρ = 24,7368, les équations conservent les deux réponses 🖖

Les deux configurations à ρ = 24,4 ne diffèrent que par un seul paramètre. En partant de (1, 1, 20), l'écart entre les trajectoires jumelles croît de 10⁻⁹ à 8,889 et la simulation bascule entre les ailes 96 fois. Démarrez près du rouleau droit et ces mêmes équations y enroulent les deux trajectoires. L'écart tombe à 1,4 × 10⁻¹⁰, soit un septième de sa valeur de départ. Le rouleau stationnaire et l'attracteur étrange coexistent. Votre point de départ détermine l'état final que vous obtenez bien davantage que la force du chauffage. Les physiciens qualifient la bifurcation à 24,7368 de sous-critique. Ce terme décrit très précisément ce comportement.

Problème entièrement résolu

Vous connaissez l'état à un cube de côté 1 près. Que devient ce cube dix unités de temps plus tard ? 6 étapes
Supposez que l'état ne soit connu qu'à un cube de côté 1 près — un volume de 1 — quelque part sur l'attracteur, et que la simulation avance de dix unités de temps. Déterminez la forme que prend ce cube, ainsi que son volume, avant de poursuivre. Cliquez sur L'exécution classique pour placer l'outil à ρ = 28.

Ouvrez ce problème dans l'outil
1. Il existe trois exposants de Liapounov, un pour chaque direction, et un seul d'entre eux nécessite d'être mesuré. Le long du flot, rien ne s'étire ni ne se comprime, d'où λ₂ = 0. La renormalisation dans le tableau des résultats donne λ₁ = 0,9059. Le troisième n'est pas mesuré du tout : la somme des trois doit égaler le taux de contraction des volumes, lequel est connu avec exactitude.
  
  $λ_{2} = 0, λ_{1} = ⟨ \frac{1}{τ} ln \frac{d ( τ )}{d _{0}} ⟩ = 0.9059$
2. Ainsi, λ₃ = ∇·F − λ₁ = −13,6667 − 0,9059 = −14,5726. Remarquez ce déséquilibre. La direction de compression est seize fois plus forte que celle d'étirement. C'est l'unique raison pour laquelle un amas finit par s'aplatir au lieu de rester sphérique.
  
  $λ_{3} = \nabla \cdot F - λ_{1} = - 13.6667 - 0.9059 = - 14.5726$
3. Posez maintenant t = 10 pour chaque direction. Chaque côté du cube est multiplié par e^(λt) :
  
  $direction stretching along the flow squeezing λ + 0.9059 0 - 14.5726 e^{λ t}, t = 10 8, 594 1 5.15 \times 1 0^{- 64}$
4. Multipliez les trois facteurs et vous obtenez le volume : 8 594 × 1 × 5,15 × 10⁻⁶⁴ = 4,43 × 10⁻⁶⁰. Le taux de contraction livre le même résultat sans jamais faire appel aux trois directions, soit e^(−13,6667 × 10) = 4,43 × 10⁻⁶⁰. L'accord entre ces deux méthodes confirme la justesse des exposants.
  
  $8, 594 \cdot 1 \cdot 5.15 \times 1 0^{- 64} = 4.43 \times 1 0^{- 60} and e^{- 13.6667 \cdot 10} = 4.43 \times 1 0^{- 60}$
5. L'arithmétique vous impose alors sa réalité. L'attracteur mesure environ 38 unités de large selon x et 46 de haut selon z. Le cube, lui, s'est transformé en un ruban de 8 594 unités de long, soit 226 fois la largeur de la boîte dans laquelle il doit tenir. Il se plie donc, et se replie à chaque cycle, chaque pli superposant une nouvelle couche à celles déjà présentes.
  
  $\frac{8 , 594}{38} \approx 226$
6. Un objet ainsi constitué de couches se révèle plus épais qu'une surface et plus fin qu'un solide. Sa dimension en donne la mesure précise : D = 2 + λ₁/|λ₃| = 2 + 0,9059/14,5726 = 2,0622. Le 2 correspond à la nappe ; le 0,0622 représente le pliage.
  
  $D = 2 + \frac{λ _{1}}{∣ λ _{3} ∣} = 2 + \frac{0 . 9059}{14 . 5726} = 2.0622$
Réponse

Un ruban de 8 594 unités de long, 1 de large et 5,15 × 10⁻⁶⁴ d'épaisseur, d'un volume de 4,43 × 10⁻⁶⁰, replié indéfiniment sur lui-même dans une boîte de 38 unités de large. C'est ce pliage qui donne à l'attracteur sa dimension de 2,0622 au lieu d'une forme plane, et c'est aussi pourquoi vous ne pouvez déterminer sur quelle couche vous vous trouvez, ce qui revient rigoureusement à ignorer la position de la trajectoire.

$8, 594 \times 1 \times 5.15 \times 1 0^{- 64} in a box 38 across \Rightarrow D = 2.0622$

Parcours

Comment s'élabore une prévision météorologique

Références (4)

The paper itself. Section 5 works out the volume contraction, and the successive-maxima plot this page's second panel draws is his Figure 4: E. N. Lorenz, "Deterministic Nonperiodic Flow." Journal of the Atmospheric Sciences 20(2), 1963, pp. 130-141. DOI 10.1175/1520-0469(1963)020<0130:DNF>2.0.CO;2
Where the bifurcation structure is set out in full, including the subcritical Hopf at 24.7368 that the page's last two presets sit either side of: C. Sparrow, The Lorenz Equations: Bifurcations, Chaos, and Strange Attractors. Applied Mathematical Sciences, Springer New York, 1982. DOI 10.1007/978-1-4612-5767-7
That the attractor exists at all was an open question for thirty-six years. It is Smale's fourteenth problem, and this is the computer-assisted proof that settled it: W. Tucker, "A Rigorous ODE Solver and Smale's 14th Problem." Foundations of Computational Mathematics 2, 2002, pp. 53-117. DOI 10.1007/s002080010018
The dimension formula the results table uses, D = 2 + lambda_1/|lambda_3| for a three-dimensional flow: J. L. Kaplan and J. A. Yorke, "Chaotic behavior of multidimensional difference equations." In Functional Differential Equations and Approximation of Fixed Points, Lecture Notes in Mathematics, Springer Berlin Heidelberg, 1979, pp. 204-227. DOI 10.1007/BFb0064319

Par l’équipe 42Math · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.