Explorateur de fractales

Réglez la profondeur de récursion et observez des motifs autosimilaires émerger de règles simples.

Exemple résolu — Explorateur de fractales

Profondeur	5
Triangles	243

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Explorateur de fractales

Une dimension fractale apparaît dès qu’on exige que « dimension » signifie la façon dont le détail se multiplie quand on zoome, puis qu’on applique cela à une forme construite par répétition. Le panneau en affiche une pour la forme à l’écran, et les nombres ne sont pas entiers : le flocon de Koch vaut 1.262, le triangle de Sierpiński 1.585, l’ensemble de Cantor 0.631. Une forme peut être plus qu’une ligne et moins qu’un plan, et ce menu en contient huit.

Un axe horizontal de dimension fractale de 0 à 2, où les huit formes du menu sont placées à leur dimension, entre une ligne et un plan.

L’ensemble de Cantor à 0.631 est la surprise : sous la dimension 1, plus qu’une poussière de points et moins qu’une ligne. Sa longueur totale est nulle et il possède pourtant une infinité non dénombrable de points.
Koch à 1.262 et Sierpiński à 1.585 occupent l’espace pour lequel le mot « fractale » a été inventé — véritablement entre une ligne et un plan, ni approximation ni arrondi.
La fougère de Barnsley à ≈ 1.893 frôle le remplissage du plan sans jamais l’atteindre, et sa valeur est approchée parce que ses quatre applications se chevauchent.
Trois constructions tombent sur exactement 2 — le dragon, la courbe C de Lévy et celle de Hilbert. Ce ne sont pas des courbes qui frôlent le remplissage : à la limite, elles remplissent.

Ce que signifie chaque symbole

N: combien de copies d’elle-même la règle produit à chaque étape. Koch remplace un segment par 4 ; Sierpiński remplace un triangle par 3.
r: de combien chaque copie est plus petite. Koch met à l’échelle ⅓, Sierpiński ½, la courbe C de Lévy 1/√2.
D: la dimension de Hausdorff qu’affiche le panneau, log N / log(1/r) — l’exposant qui accorde le nombre de copies et la mise à l’échelle.
depth: combien de fois la règle a réellement été appliquée à l’écran. Cela s’arrête à 7, et chaque D ci-dessus est la limite quand cela tend vers l’infini.

D’où vient la formule

Partez de formes auxquelles vous vous fiez déjà. Divisez une ligne par deux : il faut 2 copies pour la reconstruire ; un carré, 4 ; un cube, 8. Le motif est N = (1/r)^D, avec D valant 1, 2 et 3 — la dimension est l’exposant qui relie copies et échelle, et rien dans cette définition n’exige un entier.
Résolvez en D. En prenant les logarithmes de N = (1/r)^D on obtient D = log N / log(1/r). C’est la formule qu’affiche le panneau, et chacun de ses éléments figure dans la règle de construction juste au-dessus.
Lisez une règle sur la page et remplacez. Koch remplace un segment par 4 de longueur ⅓, donc N = 4 et 1/r = 3, ce qui donne log 4 / log 3 ≈ 1.262. Sierpiński donne log 3 / log 2 ≈ 1.585. Aucun n’est entier, et ce n’est pas une approximation — c’est ce qu’est la forme.
Refaites le calcul là où il surprend. La courbe C de Lévy remplace un segment par 2 à 1/√2, donc log 2 / log √2 = 2 exactement ; Hilbert remplace un segment par 4 à ½, soit log 4 / log 2 = 2. Une dimension exactement égale à 2 signifie que ce ne sont pas des courbes qui serpentent : à la limite elles remplissent une aire, et c’est pourquoi le panneau écrit « remplissant l’espace » au lieu d’un décimal.

Comment lire ce que vous voyez

Changez de forme et regardez la ligne de comptage changer de nom : Triangles pour Sierpiński, Segments pour Koch, Branches pour l’arbre, Intervalles pour Cantor, Points pour Hilbert et la fougère. Ce n’est pas décoratif — « combien de morceaux » veut vraiment dire autre chose dans chaque construction, et le panneau refuse de tout aplatir en un seul mot. Chaque compte correspond à la formule affichée à côté : à la profondeur 4, Sierpiński montre 81 = 3⁴, Koch 768 = 3·4⁴, Cantor 16 = 2⁴, Hilbert 256 = 4⁴ et l’arbre 31 = 2⁵ − 1. Mettez la profondeur à 0 puis montez d’un cran à la fois ; la colonne de comptage est la règle, l’arithmétique rendue visible.

Suppose: Que les copies sont exactes et ne se chevauchent pas. D = log N / log(1/r) est un énoncé sur l’auto-similarité stricte — voilà pourquoi le panneau accepte d’afficher un rapport exact de logarithmes pour Koch et Sierpiński, et pourquoi il affiche ≈ 1.893 pour la fougère de Barnsley et ≈ 1 pour l’arbre. La fougère naît de quatre applications affines de rapports différents qui se chevauchent, et l’arbre change de dimension dès qu’on change son angle de branchement. Le tilde travaille vraiment.
Ne tient plus quand: Rien à l’écran n’est une fractale. Le curseur de profondeur s’arrête à 7, et à la profondeur 7 la courbe de Koch est faite de 3·4⁷ = 49 152 segments droits de longueur totale parfaitement finie — un polygone ordinaire de dimension exactement 1. Chaque valeur du panneau est une limite vers laquelle le dessin se dirige sans jamais l’atteindre, et l’inverse vaut aussi : les courbes remplissantes enferment une aire nulle à toutes les profondeurs sélectionnables. La lecture honnête de cette page, c’est que vous regardez une suite — et la fractale est ce pour quoi la suite existe.

Aucun de ces fractals ne vient d’un polynôme complexe — chacun est une règle répétée 🖖

Aucune des huit formes présentées ici n’est un ensemble de Mandelbrot, et aucune ne fait intervenir de nombre complexe. Toutes sont construites par substitution : on remplace un segment par un agencement de segments plus petits, puis on recommence. Le curseur de profondeur indique exactement le nombre d’itérations. Cette construction donne directement la dimension. Pour la courbe de Koch, un segment est remplacé par quatre segments trois fois plus courts : sa dimension vaut donc log 4 / log 3 = 1,262. À la profondeur 4 proposée par défaut, sa longueur atteint déjà (4/3)⁴ = 3,16 fois celle du segment initial. Le triangle de Sierpiński donne log 3 / log 2 = 1,585. L’ensemble de Cantor donne log 2 / log 3 = 0,631, soit un ensemble de dimension inférieure à un.

Une règle, répétée, devient tout 🖖

Chaque forme ici naît d'une seule instruction que le programme s'applique à lui-même. Une branche de l'arbre fractal engendre simplement deux branches plus courtes, et chacune répète la même règle : c'est la récursion. Augmentez la profondeur d'un cran et le nombre de branches double, alors que la règle que vous avez écrite ne change jamais. Chaque appel imbriqué s'empile sur la pile d'appels, puis se dénoue une fois le dessin terminé.

Une courbe du dragon hante Jurassic Park 🖖

La courbe du dragon de cet explorateur est le dragon de Heighway, obtenu en pliant une bande de papier à répétition et en ouvrant chaque pli à angle droit. Michael Crichton l'a glissée dans son roman Jurassic Park de 1990 : chacune des sept sections s'ouvre sur la courbe à une itération plus profonde, illustrant comment une infime perturbation dégénère en chaos. Choisie par le mathématicien Ian Malcolm, c'est la mathématique érigée en procédé narratif.

Trois de ces huit courbes ont une dimension exactement égale à 2 🖖

Refaites le même calcul sur le reste du menu et quelque chose d’étrange en sort. Le dragon et la courbe C de Lévy remplacent chacun un segment par deux à 1/√2 de la longueur, ce qui donne log 2 / log √2 = exactement 2. Hilbert en remplace un par quatre à la moitié de la longueur : log 4 / log 2 = 2 encore. Une dimension de exactement 2 signifie que ce ne sont pas vraiment des courbes qui errent dans le plan — à profondeur infinie, elles le remplissent, visitant chaque point d’une région. C’est pourquoi elles paraissent pleines bien avant que le curseur de profondeur s’épuise, alors que Koch, à 1,262, ne le fait jamais.

La fougère est dessinée par le hasard et sort identique chaque fois 🖖

Barnsley est l’intrus : pas une règle de substitution mais un jeu du chaos. Partir d’un point, choisir au hasard l’une de quatre applications affines — pondérées à 1 %, 85 %, 7 %, 7 % —, l’appliquer, tracer, recommencer. Rien là-dedans ne dit « fougère », et pourtant une fougère apparaît. Et c’est la même à chaque visite, car l’outil amorce son générateur avec un 42 fixe : la suite des choix ne varie jamais. Le point plus profond est que cela ne changerait rien si elle variait : un système de fonctions itérées converge vers son attracteur quel que soit le chemin aléatoire emprunté. Le hasard est essentiel à la méthode et sans importance pour la réponse.

Problème entièrement résolu

Le triangle de Sierpiński à la profondeur 5 avec 243 pièces 5 étapes
À la profondeur 5, le triangle de Sierpiński compte 243 pièces. Établissez ce résultat, puis déterminez la profondeur à laquelle moins de 1 % de l'aire initiale subsiste — et ce que fait le périmètre pendant que l'aire disparaît.
1. La construction est une simple récurrence : chaque triangle en devient trois. Pour la résoudre, il suffit de remarquer qu'elle est géométrique.
  
  $N (n) = 3 N (n - 1), N (0) = 1 ⟹ N (n) = 3^{n}; N (5) = 243$
2. Chaque triangle enfant a la moitié du côté, donc le quart de l'aire, et il y en a trois. Multipliez les deux facteurs et la règle d'évolution de l'aire apparaît.
  
  $s (n) = (\frac{1}{2})^{n} s_{0} \Rightarrow A (n) = 3^{n} (\frac{1}{4})^{n} A_{0} = (\frac{3}{4})^{n} A_{0}$
3. Évaluez les deux grandeurs à la profondeur 5. Un peu moins d'un quart de l'aire subsiste — 23,7 % — et la frontière mesure déjà 7,59 fois sa longueur initiale.
  
  $A (5) = (\frac{3}{4})^{5} = \frac{243}{1024} = 23.7%, P (5) = (\frac{3}{2})^{5} = 7.59 \times$
4. La dimension est définie par l'exposant qui maintient le produit nombre × taille^D constant selon la règle. Trois copies à l'échelle un demi imposent 3 = 2^D, sans que rien d'autre concernant le dessin n'entre en jeu.
  
  $N (n) s (n)^{D} = const \Rightarrow 3 \cdot 2^{- D} = 1 \Rightarrow D = \frac{lo g 3}{lo g 2} = 1.585$
5. Résolvez maintenant la règle de l'aire pour trouver la profondeur à laquelle il reste 1 %. Les logarithmes donnent 16,01, d'où une profondeur de 17 — et à ce stade, le nombre de triangles a dépassé 129 millions, c'est pourquoi l'outil s'arrête bien avant.
  
  $(\frac{3}{4})^{n} < 0.01 \Rightarrow n > \frac{ln 0.01}{ln 0.75} = 16.01 \Rightarrow n = 17, N = 3^{17} = 129140163$
Réponse

Profondeur 17, stade auquel on compte 129 140 163 triangles. Les deux grandeurs évoluent dans des directions opposées et toutes deux de manière géométrique : l'aire décroît en (3/4)ⁿ vers zéro tandis que le périmètre total croît en (3/2)ⁿ sans limite. Une figure dont l'aire tend vers zéro et dont la frontière tend vers l'infini n'est pas une anomalie, elle n'est tout simplement ni unidimensionnelle ni bidimensionnelle — et l'exposant qui réconcilie les deux, log 3 / log 2 = 1,585, est ce que la "dimension" doit signifier dès lors que l'on admet de telles figures. Remarquez qu'il ne s'agit pas d'une propriété mesurée sur le dessin ; elle découle uniquement de la règle de dénombrement.

$N = 3^{5} = 243, A = (\frac{3}{4})^{5} = 23.7%, D = \frac{l o g 3}{l o g 2} = 1.585$

Références (3)

Where fractional dimension entered general use — the paper behind the dimensions quoted here: B. Mandelbrot, "How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension." Science 156, 636–638, 1967.
The chaos game and the fern, from the book that introduced both: Michael F. Barnsley, Fractals Everywhere. Academic Press, 1988. ISBN 978-0-12-079062-3.
The dragon curve as a storytelling device, section by section: Michael Crichton, Jurassic Park. Alfred A. Knopf, 1990. ISBN 978-0-394-58816-2.

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-06-12

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Exemples de problèmes

Sierpiński - Profondeur 6 : 3⁶ = 729 triangles subsistent, couvrant 17,8 % de l’aire initiale, tandis que le périmètre mesure 11,39 fois sa longueur de départ. Dimension : log 3 / log 2 = 1,585.
Flocon de Koch - Profondeur 4 : chaque segment a été remplacé quatre fois par quatre segments trois fois plus courts. Le contour mesure donc (4/3)⁴ = 3,16 fois la longueur initiale. Dimension : 1,262.
Arbre fractal - Profondeur 10 : le nombre de branches double à chaque étape, ce qui donne 2¹⁰ = 1 024 extrémités, tracées à partir d’une règle composée de trois segments.
Courbe du dragon - Profondeur 12 : 2¹² = 4 096 segments. Sa dimension vaut exactement 2, d’où son aspect compact : à profondeur infinie, elle remplit une région du plan.
Ensemble de Cantor - Seul exemple dont la dimension est inférieure à 1 : log 2 / log 3 = 0,631. À la profondeur 6, les 64 intervalles restants représentent 8,8 % de la longueur initiale.
Fougère de Barnsley - Il ne s’agit pas d’une règle de substitution, mais d’un jeu du chaos : quatre applications affines sont choisies au hasard, avec des poids de 1 %, 85 %, 7 % et 7 %. L’outil initialise son générateur avec 42 ; la fougère est donc identique à chaque visite.
Courbe de Hilbert - Un segment est remplacé par quatre segments deux fois plus courts, donc log 4 / log 2 = 2 exactement. À la profondeur 5, ses 1 024 cellules couvrent déjà le carré.
Courbe C de Lévy - Deux segments mesurant chacun 1/√2 de la longueur initiale donnent log 2 / log √2 = 2, soit la même dimension que la courbe du dragon, pour la même raison.

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3Blue1Brown·Fractals are typically not self-similar