Croissance de population et chaos

Explorez la dynamique des populations : la croissance logistique continue et le chemin vers le chaos de la suite logistique discrète.

Exemple résolu — Croissance de population et chaos

Taux de croissance (r)	0.5
Capacité de charge (K)	1000
Population initiale (N₀)	10
Population finale	1000.0

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Le chaos vient du découpage du temps en pas 🖖

L’équation logistique continue est remarquablement sage : quel que soit le taux de croissance qu’on lui donne, la population monte ou descend en douceur et se fixe sur la capacité de charge, sans oscillation ni surprise, pour toujours. Tout le comportement sauvage n’apparaît que si l’on écrit le même modèle en générations discrètes, xₙ₊₁ = r xₙ(1 − xₙ). Là, l’état stationnaire ne reste stable que tant que r est inférieur à 3, se scinde en un cycle de deux ans à r = 3, se dédouble encore et encore, puis se dissout en chaos vers r = 3,5699. Même biologie, même paramètre : la différence est que la reproduction soit continue ou saisonnière. Le chaos est une propriété du pas de temps, pas de la population.

Pourquoi les courbes de croissance s'aplatissent en S 🖖

Dans le modèle continu, une population croît le plus vite lorsqu’elle atteint la moitié de la capacité du milieu. À mesure que l’effectif approche de la capacité limite K, la concurrence réduit la nourriture et l’espace disponibles pour chaque individu : la croissance ralentit et la courbe prend progressivement la forme d’un S. Passez à l’onglet Continu et observez où la croissance est maximale. Elle se produit au point d’inflexion, exactement lorsque N = K/2, et non au début.

Un chaos que l'on peut résoudre par une formule 🖖

Pour r = 4, l'application discrète est totalement chaotique et possède pourtant une solution exacte en forme close : en posant x = sin²(π θ), chaque étape se réduit à doubler θ en n'en gardant que la partie fractionnaire. En binaire, doubler ne fait que décaler les chiffres vers la gauche ; l'orbite « imprévisible » ne fait donc que lire les bits successifs de la valeur initiale. Elle ne paraît aléatoire que parce que fixer θ exigerait une précision infinie.

Problème entièrement résolu

Le modèle discret avec 80 générations 5 étapes
Déterminer où une population se stabilise quand sa propre règle de croissance ne la laisse pas se stabiliser. Il s'agit du modèle Discret, x_t+1 = r_dx_t(1 − x_t), avec r_d = 3,2, x₀ = 0,1 et 80 générations.
1. Un équilibre est une valeur que l'application renvoie inchangée. Sa résolution donne deux racines, et la racine utile est la fraction non nulle de la capacité d'accueil : remplie à 68,75 %.
  
  $x^{*} = r x^{*} (1 - x^{*}) ⟹ x^{*} = 1 - \frac{1}{r} = 1 - \frac{1}{3.2} = 0.6875$
2. L'existence d'un point fixe ne signifie pas qu'une population l'atteigne. Écartez légèrement la population et l'application multiplie cet écart par la pente à chaque génération ; l'équilibre ne se maintient donc que tant que la pente est inférieure à 1 en valeur absolue. Pour r_d = 3,2, elle vaut −1,2 : le signe moins projette la population de l'autre côté de 0,6875 chaque année, et le 1,2 la fait repartir plus loin qu'au départ.
  
  $f^{'} (x) = r (1 - 2 x), f^{'} (x^{*}) = r (\frac{2}{r} - 1) = 2 - r = - 1.2, ∣ - 1.2 ∣ > 1$
3. Cherchons donc plutôt une paire de valeurs qui s'intervertissent. Tout ce qui se répète après deux étapes vérifie f(f(x)) = x, ce qui est une équation du quatrième degré — mais 0 et 0,6875 en sont déjà solutions, puisque tout ce qui se répète après une étape se répète après deux. En factorisant par ces deux racines connues, il reste une équation du second degré.
  
  $f (f (x)) - x = - r^{3} x (x - x^{*}) (x^{2} - \frac{r + 1}{r} x + \frac{r + 1}{r ^{2}})$
4. Les racines de cette équation du second degré forment le cycle. La 80e génération de l'outil correspond à la plus petite d'entre elles, pour les six chiffres affichés ; la 79e est la plus grande.
  
  $x_{1, 2} = \frac{( r + 1 ) \pm ( r + 1 ) ( r - 3 )}{2 r} = \frac{4.2 \pm 0.84}{6.4} = \frac{4.2 \pm 0.916515}{6.4} = 0.513045, 0.799455$
5. Le cycle est un point fixe de f appliquée deux fois, le même test de stabilité s'applique donc, et sa pente est le produit des pentes aux deux points. À 0,16, le cycle réduit les écarts d'un facteur six à chaque double étape, c'est pourquoi 80 générations à partir d'une valeur initiale qui en est très éloignée s'y posent exactement. Augmentez r_d jusqu'à ce que ce produit atteigne −1, et le 2-cycle perd à son tour sa stabilité.
  
  $μ = f^{'} (x_{1}) f^{'} (x_{2}) = 4 + 2 r - r^{2} = 0.16; μ = - 1 ⟹ r = 1 + 6 = 3.4495$
Réponse

L'outil affiche 0,513045 et qualifie le régime d'Oscillation de période 2. Pas un seul de ces chiffres n'est approximatif : il s'agit de (4,2 − √0,84) / 6,4, un nombre algébrique, et le régime transitoire s'est éteint des dizaines de générations avant l'étape 80. Le mécanisme a plus de valeur que le chiffre. L'équilibre à 0,6875 n'a pas disparu pour r_d = 3 — il est toujours là à 3,2, constitue toujours une solution parfaitement valide, mais est simplement inaccessible, et ce qui l'a remplacé est né déjà stable. Cela se reproduit à 1 + √6 = 3,4495, puis à 3,5441, puis à 3,5644 : des fenêtres de 0,4495, 0,0946 et 0,0203, chacune environ 4,7 fois plus courte que la précédente. Une suite géométrique décroissante a une somme finie, de sorte qu'une infinité de doublements trouvent leur place sous 3,5699, et au-delà de cette frontière, il ne reste plus aucun cycle de quelque longueur que ce soit sur lequel se poser.

$r_{n} = 3, 1 + 6 = 3.4495, 3.5441, 3.5644, \dots ⟶ r_{\infty} = 3.5699$

Parcours

Croissance limitée

Mène à Prélèvement

Références (1)

Insight blocks 1 and 3 — the discrete logistic map, its period doubling and the 3.5699 threshold: R. M. May, "Simple mathematical models with very complicated dynamics." Nature 261, 459–467, 1976.

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-08-17

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Exemples de problèmes

Logistique - r = 0,5 et K = 1 000, avec un effectif initial de 10. La pente de la courbe est maximale à t = 9,19, au moment précis où N atteint 500. Le taux de croissance vaut alors rK/4 = 125 par unité de temps.
Croissance rapide - Le taux de croissance est quatre fois supérieur à celui du modèle logistique : la population atteint donc la moitié de K à t = 1,10 au lieu de 9,19. Elle ne dépasse pourtant jamais K. Dans le modèle continu, aucune valeur de r ne peut provoquer de dépassement.
Période 2 - Pour r = 3,2, la population finit par alterner indéfiniment entre deux valeurs exactement : 0,799455 et 0,513045. Au-dessus de r = 3, l’unique état d’équilibre s’est scindé en deux.
Chaos - Pour r = 3,9, la population ne se stabilise jamais : au cours des cent dernières générations, elle prend cent valeurs distinctes. Il n’y a pourtant aucun hasard. À partir du même état initial, on obtient toujours la même suite.