Croissance de population et chaos

La dynamique de la population est régie de manière rigide par l’équation différentielle logistique, qui prend en compte les contraintes de capacité de charge. À mesure que le paramètre du taux de reproduction r augmente dans les modèles à temps discret, le système passe de manière déterministe d'équilibres stables à des bifurcations à doublement de période, pour finalement aboutir à un chaos mathématique. Ce comportement non linéaire démontre comment des règles déterministes simples génèrent inévitablement des états de population à long terme complexes et imprévisibles, strictement limités par les limites des ressources environnementales.

Dans le modèle continu, une population croît le plus vite lorsqu'elle n'est qu'à moitié pleine. À mesure que l'effectif approche la capacité de charge K, l'entassement laisse moins de nourriture et d'espace par individu, si bien que la croissance ralentit et que la courbe s'aplatit en une douce forme de S. À retenir : passez à l'onglet Continu et observez que la croissance la plus rapide a lieu au point d'inflexion, exactement en N = K/2, et non au départ.

Pour r = 4, l'application discrète est totalement chaotique et possède pourtant une solution exacte en forme close : en posant x = sin²(π θ), chaque étape se réduit à doubler θ en n'en gardant que la partie fractionnaire. En binaire, doubler ne fait que décaler les chiffres vers la gauche ; l'orbite « imprévisible » ne fait donc que lire les bits successifs de la valeur initiale. Elle ne paraît aléatoire que parce que fixer θ exigerait une précision infinie.