Leçons Interactives de Mathématiques et Sciences
La biologie a l'air d'une matière faite d'exceptions, jusqu'au moment où l'on compte. Dose, hérédité, population et vitesse de réaction suivent des règles assez strictes pour être prédites, et c'est ce que font ces outils.
De courtes séquences plutôt que des outils isolés. Chaque étape transmet à la suivante quelque chose de précis : l’ordre a donc son importance.
L2 : lycée
BIOUne seule exponentielle, lue de trois manières. Dans le sens direct, elle vous indique ce qu'il reste ; à rebours, elle vous révèle l'âge d'un échantillon ; et appliquée à l'ADN plutôt qu'aux noyaux, il lui faut une roche en guise d'étalon.
L2 : lycée
STATPersonne ne conteste l'arithmétique du théorème de Bayes. C'est l'a priori qui pose problème : d'où vient le premier nombre, et qui l'a choisi. Ces trois outils abordent la question par ordre de difficulté croissante : un a priori que vous pouvez consulter, un a priori que le dispositif vous fournit, et un a priori que personne ne possède.
L2 : lycée
GEOSur une surface courbe, les règles démontrées sur le papier cessent de s'appliquer, et l'ampleur de leur défaillance mesure la courbure de l'intérieur. Un itinéraire rectiligne voit son cap dévier. Une flèche transportée sans pivoter revient désorientée. Un cercle révèle une circonférence inattendue, et dans le plan hyperbolique, aucun triangle ne peut contenir plus de π.
L2 : lycée
CHEMLa chaleur dégagée par une réaction ne décide pas de son déclenchement ; la glace fond en absorbant de la chaleur. Ces quatre pages établissent le bilan qui permet de trancher : l'enthalpie, qui s'additionne comme des équations ; l'enthalpie libre de Gibbs, qui correspond à une constante d'équilibre dans d'autres unités ; la différence entre faire varier K et faire varier Q ; et une pile qui lit cet écart sous la forme d'une tension.
L2 : lycée
CHEMDans un mélange, un gaz agit à sa propre pression partielle, ce qui fixe la limite de profondeur d'un plongeur. Un liquide bout lorsque sa pression de vapeur rejoint la pression ambiante. Deux liquides qui se mélangent mal bloquent un alambic à environ 95,6 % d'éthanol en masse, les particules dissoutes font qu'un kelvin de gel vaut treize bars de pression osmotique, et un sel ne se dissout que jusqu'à ce que ses ions atteignent un produit constant.
L2 : lycée
BIOIci, chaque population est freinée par un facteur limitant, et vous constatez que celui-ci se révèle moins clément à chaque étape. C'est d'abord la surpopulation qu'elle engendre elle-même, puis un prélèvement fixe opéré sur ses effectifs. Intervient ensuite un prédateur constituant une population à part entière. Survient enfin l'épuisement des personnes restant à infecter.
L3 : licence
PHYTrois équations construites sur un seul opérateur, le laplacien, qui ne diffèrent que par le rôle du temps. La chaleur oublie, les détails les plus fins en premier. Une onde emporte une perturbation et, sur une surface, n'en finit jamais tout à fait d'arriver. L'équation de Laplace ne contient absolument aucun temps. C'est l'état que la chaleur finit par atteindre à force d'oublier : chaque point y est la moyenne de ses voisins.
L3 : licence
GEOUne prévision projette dans le temps un modèle dont l'état initial échappe à toute certitude absolue. Les météorologues lancent donc de nombreuses simulations et laissent l'ampleur des désaccords dicter le niveau de confiance à accorder. La deuxième page décortique ce fonctionnement. Elle y révèle une défaillance sans aucun rapport avec le chaos. La troisième remonte aux équations formulées par Lorenz en 1963, au sein desquelles la position du calcul s'égare très vite, alors que la figure qu'il trace ne disparaît jamais.
L4 : spécialité
BIOCinq outils pour construire une seule démonstration : l'ADN est un véritable support de stockage et un véritable ordinateur. Tous deux se heurtent à des limites que vous pouvez calculer plutôt que de les deviner. Chaque étape transmet à la suivante un nombre précis.
A fire is measured by the oxygen it takes
Per kilogram of fuel, the things we burn differ more than threefold. Per kilogram of oxygen, most of them land within 5% of one number, because the heat is set by what the oxygen becomes, and in a clean flame it becomes one of two things.
The 475-year earthquake is not geology
Two odd numbers are stamped on seismic design maps worldwide. Neither was measured. Both are a tolerated failure probability run through one line of algebra — and the same line explains why a 100-year flood is a coin-flip over a lifetime.
Thirty-nine cities need more DNA than the Earth
DNA computing promised to beat exponential search with molecular parallelism. The counting that kills it is the argument Levinthal used to prove that proteins cannot be searching for their shape — and what survives the argument is not speed at all.
Kill both species at the same rate and you get more of the pest
The predator–prey model has an exact long-run average, and it sits in a strange place: raise the death rate of both species equally and the average prey population goes up. Volterra found it in fish-market ledgers in 1926.
Below one it dies out. Above one it runs away. There is nothing in between.
The same threshold governs epidemics, nuclear chain reactions, PCR and surnames: if each unit produces on average fewer than one successor, extinction is certain. The knife edge is exactly at 1, and the mathematics was first worked out on Victorian family names.
The herd immunity threshold is 66.7%, so why does the epidemic infect 94.1%?
The threshold is where an outbreak stops growing, which is nowhere near where it stops. It keeps infecting people well past that point, and the size of that overshoot is the argument for arriving at the threshold by vaccination rather than by illness.
Fifty generations of perfect selection halves a recessive gene, and that is the best case
Suppose a recessive condition were lethal in every case, in every generation, with no exceptions. After fifty generations the allele has gone from 2% to 1%. The arithmetic explaining why was published in 1908.
A radioactive atom does not know how old it is
An atom that has already survived a million years is exactly as likely to decay in the next second as one created moments ago. Exponential decay is the only continuous law with that property, and it is why half-life is a meaningful number at all.
A magnitude 7 is not slightly worse than a magnitude 6
It releases about 32 times the energy. Logarithmic scales compress catastrophes into numbers that look adjacent, which is exactly the problem with reporting them.
