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En dessous de un, cela s'éteint. Au-dessus, cela s'emballe. Il n'y a rien entre les deux.
À R₀ = 1,5, l'outil SIR infecte 58,5 % de la population. Poussez-le à 0,9 et l'épidémie disparaît. Aucun réglage ne produit un filet constant d'infections.
Prenez le SIR model et balayez son taux de reproduction.
À R₀ = 1,5, le préréglage « grippe », il annonce une taille finale de 5 845 personnes, soit 58,5 % de la population. À R₀ = 3, il annonce 9 412, soit 94,1 %. À R₀ = 15, il annonce 10 000 sur 10 000 : tout le monde.
Allez maintenant dans l'autre sens, en dessous de 1 ; l'outil dispose pour cela d'un préréglage nommé subcritical. L'épidémie ne diminue pas progressivement. Elle n'a pas lieu. Quelques personnes sont infectées, chacune en infecte en moyenne moins d'une autre, et la chaîne s'arrête.
Aucun réglage ne produit un filet modeste et durable. Toute valeur ou bien s'éteint, ou bien décolle, et la frontière est exactement à 1.
Pourquoi exactement un, et pourquoi si net
Retirez la biologie et il reste une question de dénombrement. Chaque unité, une personne infectée, un neutron, la copie d'un fragment d'ADN, un homme portant un nom de famille, produit un certain nombre de successeurs avant de disparaître. Appelons R la moyenne.
Après n générations, la population attendue vaut Rn. C'est tout l'argument. Si R < 1, alors Rn → 0, et pas lentement : à R = 0,9, une chaîne est tombée à 3 % de son effectif de départ en 33 générations. Si R > 1, elle croît sans borne jusqu'à ce qu'autre chose l'arrête. Et à R = 1 exactement, l'effectif attendu reste constant pour toujours, ligne de crête sur laquelle aucun système réel ne tient en équilibre, puisque R n'est jamais connu à cette précision et ne reste jamais immobile.
La netteté vient de l'exposant. Toutes les autres grandeurs de ces modèles, la vitesse, le nombre, la durée, déplacent la courbe. R, lui, décide laquelle de deux choses entièrement différentes se produit. C'est le cas rare où un paramètre continu produit un résultat vraiment binaire, et c'est pourquoi la convention de signe de the exponential tool compte davantage qu'aucune de ses amplitudes.
Le même seuil, quatre costumes
Épidémies. R₀ est le nombre moyen de personnes infectées par un cas dans une population entièrement réceptive. Tout ce que fait la santé publique, vaccination, distanciation, isolement, vise à faire passer R sous 1, et peu importe quel levier y parvient.
Réactions en chaîne. Le facteur de multiplication des neutrons k compte combien, parmi les neutrons libérés par une fission, en provoquent une autre. k < 1 est sous-critique et la réaction meurt. k > 1 est surcritique. Un réacteur est une machine à maintenir k à 1,000 en l'ajustant sans arrêt, ce qui est la version ingénieur d'un aveu : personne ne tient sur une ligne de crête sans piloter.
PCR. Chaque cycle copie chaque fragment : R est ici l'efficacité, c'est-à-dire à quel point le doublement s'approche de 2. Le PCR tool est atypique dans cette famille, car R > 1 par construction et la question intéressante est de savoir de combien ; mais laissez l'efficacité tomber sous 1 à cause d'un mauvais réactif et l'échantillon se perd dans le bruit au lieu de s'amplifier.
Patronymes. C'est là que les mathématiques ont commencé. En 1875, Galton s'est demandé pourquoi tant de noms de familles aristocratiques s'étaient éteints, et Watson a trouvé la réponse : modélisez chaque homme comme produisant un nombre aléatoire de fils, et l'extinction est certaine dès que la moyenne vaut au plus 1. Moins visiblement, elle garde une probabilité substantielle même lorsque la moyenne dépasse 1, car le hasard seul suffit à interrompre une lignée tôt.
Leur article se trompe à la dernière étape : ils concluent que l'extinction est certaine dans tous les cas, et manquent la branche qui survit. Il a fallu des décennies pour que la correction soit largement connue. Le seuil, lui, était juste, et c'est celui que les épidémiologistes ont redécouvert cinquante ans plus tard.
Ce que la moyenne dissimule
Une mise en garde, parce que R est une moyenne et que les moyennes cachent leur dispersion.
Deux maladies de R₀ = 2 identique peuvent se comporter très différemment si l'une contamine deux personnes de façon régulière et l'autre ne contamine personne 90 % du temps et vingt personnes à l'occasion. Les moyennes coïncident, les épidémies non. La seconde est portée par la supercontamination, s'éteint bien plus souvent par chance, et lorsqu'elle ne s'éteint pas, explose plus vite.
Le cadre de Watson et Galton contient déjà cela : la probabilité d'extinction dépend de toute la distribution de la descendance, pas seulement de sa moyenne. C'est pourquoi « R est inférieur à 1 » énonce le comportement moyen d'un système qui peut faire, cas par cas, quelque chose de bien plus sauvage, et pourquoi un même R peut donner l'impression de deux maladies différentes.