Explorateur de croissance et décroissance exponentielles

modélise la croissance et la décroissance avec N(t) = N0 · e^(kt)

Exemple résolu — Explorateur de croissance et décroissance exponentielles

N(t)	2225.5409
Temps de doublement	8.6643

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Explorateur de croissance et décroissance exponentielles

La variation exponentielle se produit lorsque la vitesse de variation est proportionnelle à la quantité présente — les intérêts d'un compte, la désintégration d'un noyau, une population qui se développe librement. Il n'y a pas de formule distincte pour la croissance et pour la décroissance ; il y a une seule formule et un signe.

Ce que signifie chaque symbole

N₀: la valeur initiale à t = 0. Elle met à l'échelle toute la courbe sans en modifier la forme, c'est pourquoi elle n'apparaît dans aucune des deux lignes de taux.
k: la constante de taux, et son signe décide de tout. Positive, la quantité croît sans limite ; négative, elle diminue vers zéro sans l'atteindre ; exactement nulle, il ne se passe rien du tout.
t: le temps écoulé, exprimé dans l'unité correspondant à k. Les deux doivent concorder — un taux par an avec un temps en mois est le moyen le plus courant d'obtenir un résultat faux avec de l'assurance.
N(t): la quantité après ce temps. Pour N₀ = 1000, k = 0.08 et t = 10, la valeur indique 2225.5409 — plus du double, car la croissance s'est composée de manière continue plutôt qu'en une seule fois.

D’où vient la formule

« La vitesse de variation est proportionnelle à la quantité » s'écrit dN/dt = kN. C'est la seule hypothèse ; tout ce qui suit en découle.
En séparant les variables et en intégrant, on obtient N(t) = N₀·e^(kt). La base e n'est pas un choix de commodité — c'est la valeur que prend la constante lorsque la croissance s'applique en continu et non par étapes.
Pour déterminer le temps de doublement, on cherche quand N atteint 2N₀ : e^(kt) = 2, d'où kt = ln 2 et t = ln 2 / k. La valeur initiale se simplifie, c'est pourquoi le temps de doublement est une propriété propre au taux.
La demi-vie s'obtient par un calcul identique avec ½ au lieu de 2, ce qui donne t = ln 2 / |k| — la même expression, car réduire de moitié au taux −k prend exactement le même temps que doubler au taux +k. Pour k = 0.08, la ligne du temps de doublement indique 8.6643 ; pour k = 0.02, soit un quart du taux, elle indique 34.6574, soit exactement quatre fois plus longtemps.

Comment lire ce que vous voyez

Les deux lignes de taux s'excluent mutuellement et le tiret a un vrai sens. Pour k = 0.08, le temps de doublement indique 8.6643 et la demi-vie indique — ; basculez vers k = −0.2 et la demi-vie affiche 3.4657 tandis que le temps de doublement est grisé. Une quantité en croissance n'a pas de demi-vie et une quantité en décroissance n'a pas de temps de doublement, la ligne vide constitue donc une information et non un oubli.

Suppose: Un taux qui reste constant sur toute la durée, et une quantité sans aucune contrainte. Aucune de ces deux conditions ne dure longtemps en pratique : les populations atteignent une capacité d'accueil et les taux d'intérêt sont renégociés.
Ne tient plus quand: Réglez k exactement sur 0 et les deux lignes de taux indiquent — en même temps, ce qui est la réponse honnête et mérite qu'on s'y arrête. Rien n'est cassé : à un taux nul, la quantité reste à 1000 pour toujours, elle ne double donc jamais et ne diminue jamais de moitié, et ln 2 / 0 est non défini plutôt qu me infini. La formule dégénère en une ligne horizontale, et les deux tirets traduisent le refus de l'affichage de diviser par zéro plutôt qu'un échec de calcul.

Pourquoi diviser 70 par le pourcentage donne le temps de doublement 🖖

Le raccourci fonctionne parce que ln 2 = 0.693147, ce qui est 70 déguisé une fois le taux exprimé en pourcentage plutôt qu'en valeur décimale. À 7 % par an, cet outil indique un temps de doublement de 9.9021 tandis que 70/7 donne 10 — une erreur d'environ un pour cent. À 8 %, il affiche 8.6643 contre 70/8 = 8.75, et l'écart se creuse à mesure que le taux augmente, car l'approximation n'est exacte qu'à la limite des petits k. Les banquiers qui utilisent 72 plutôt que 70 n'ont pas commis d'erreur : 72 se divise facilement par 2, 3, 4, 6, 8 et 9, et ils troquent un peu de précision contre un calcul mental réalisable de tête.

Problèmes entièrement résolus

Une culture qui commence à 1 000 cellules et croît de 8 % par heure 5 étapes
Une culture débute à 1000 cellules et croît de 8 % par heure pendant 10 heures. Trois personnes vous donneront trois réponses différentes et toutes les trois pourront défendre la leur. Déterminez laquelle est produite par le modèle exponentiel, et quel est leur écart.
1. La première réponse traite 8 % par heure comme une quantité fixe : 80 cellules par heure, 800 en dix heures. C'est ce que signifie « par heure » pour un salaire, et c'est ce que la plupart des gens se représentent. C'est aussi la seule des trois qui soit fausse selon sa propre logique, car les cellules produites au cours de la première heure continuent de se diviser pendant la deuxième.
  
  $(i) N = N_{0} (1 + k t) = 1000 (1 + 0.8) = 1800$
2. La deuxième corrige cela en composant une fois par heure — multiplier par 1,08, dix fois. Désormais, les nouvelles cellules contribuent. C'est un modèle tout à fait défendable, et il est rigoureusement exact si la population progresse par paliers au début de chaque heure.
  
  $(ii) N = N_{0} (1 + k)^{t} = 1000 \times 1.0 8^{10} = 2158.92$
3. La troisième passe à la limite. Les cellules n'attendent pas l'horloge, de sorte que le taux s'applique en continu, ce qui donne l'équation différentielle dN/dt = kN. Sa solution est l'exponentielle, et e^0,8 constitue toute la différence avec la deuxième réponse.
  
  $(iii) \frac{d N}{d t} = k N ⟹ N = N_{0} e^{k t} = 1000 e^{0.8} = 2225.5409$
4. Le temps de doublement découle de cette même solution, et N₀ s'annule au passage. C'est ce qui rend la croissance exponentielle contre-intuitive : le temps nécessaire pour doubler ne dépend pas de la taille déjà atteinte par la population, de sorte qu'une culture met autant de temps pour passer d'un million à deux millions qu'elle en a mis pour passer de mille à deux mille.
  
  $N = 2 N_{0} ⟺ k t = ln 2 ⟹ t_{2} = \frac{ln 2}{0.08} = 8.6643$
5. Tout l'intérêt réside dans cet écart. La croissance continue surpasse la lecture naïve de 24 % et la composition horaire de 3 %, sur les mêmes dix heures au même taux annoncé.
  
  $\frac{2225.54}{1800} = 1.236, \frac{2225.54}{2158.92} = 1.031$
Réponse

L'outil affiche 2225,5409 et un temps de doublement de 8,6643 heures. Les trois réponses candidates étaient 1800, 2158,92 et 2225,54 — la première et la dernière diffèrent de 425 cellules, plus de 40 % de la population initiale, et rien dans cet écart ne provient d'un désaccord sur le taux. Il provient entièrement d'un désaccord sur le moment où la croissance est comptabilisée. C'est également d'où vient la « règle de 70 » : 70/8 = 8,75 contre un vrai 8,6643, soit environ 1 % de trop, parce que ln 2 = 0,693 et que quelqu'un a préféré un numérateur ayant beaucoup de diviseurs.

$N (10) = 1000 e^{0.8} = 2225.5409, t_{2} = \frac{ln 2}{k} = 8.6643$
Combien de temps vit une cellule, et quand la courbe cesse de compter 6 étapes
Le préréglage de décroissance laisse 135,3353 des 1000 cellules initiales après dix heures, avec une division par deux tous les 3,4657. Calculez combien de temps vit une seule cellule en moyenne, et décidez à partir de quel moment la courbe ne décrit plus du tout une culture.
1. N(t) = 1000e^(−0,2t), donc à t = 10 l'exposant vaut −2 et le panneau affiche 135,3353.
  
  $N (t) = N_{0} e^{k t} = 1000 e^{- 0.2 \times 10} = 1000 e^{- 2} = 135.3353$
2. La demi-vie vient de e^(−0,2T) = ½, ce qui donne T = ln 2 / 0,2 = 3,4657 dans la ligne que le temps de doublement a libérée. Dix heures en valent 2,8854, et 1000 × 2^(−2,8854) redonne 135,3353, la même valeur atteinte par l'autre chemin.
  
  $e^{- 0.2 T} = \frac{1}{2} \Rightarrow T = \frac{ln 2}{0.2} = 3.4657; \frac{10}{3.4657} = 2.8854, 1000 \times 2^{- 2.8854} = 135.3353$
3. La demi-vie n'est pas la constante de l'exposant. Écrivez la même courbe sous la forme N = N₀e^(−t/τ) et τ = 1/|k| = 5 heures. À cinq heures, le compte vaut 1000/e = 367,8794.
  
  $N = N_{0} e^{- t / τ}, τ = \frac{1}{∣ k ∣} = 5; N (τ) = \frac{1000}{e} = 367.8794$
4. τ est la durée de vie moyenne d'une cellule. La probabilité qu'une cellule donnée soit encore là à l'instant t vaut e^(−t/τ), et l'intégrer de zéro à l'infini donne exactement τ. Donc τ/T = 1/ln 2 = 1,4427 pour toute décroissance exponentielle qui existe : la vie moyenne dépasse toujours la demi-vie d'environ 44 %, parce que la demi-vie est la médiane et que quelques survivants tardifs tirent la moyenne au-delà.
  
  $Pr (alive at t) = e^{- t / τ} ⟹ \overset{ˉ}{t} = \int_{0}^{\infty} e^{- t / τ} d t = τ = 5, \frac{τ}{T} = \frac{1}{ln 2} = 1.4427$
5. Passons au vidage. La courbe n'atteint jamais zéro, mais la fiole si. Le nombre attendu de survivants vaut exactement N(t), donc la dernière cellule est attendue là où la courbe croise 1 : t = τ ln N₀ = 5 ln 1000 = 34,5388 heures.
  
  $N (t) = 1 ⟺ t = τ ln N_{0} = 5 ln 1000 = 34.5388$
6. Quelque part entre les deux, l'affichage cesse d'être un décompte. À t = 30, la courbe donne 2,4788, et aucune culture n'a jamais contenu 2,4788 cellules. Ce chiffre est une moyenne sur de nombreuses répétitions de l'expérience ; une fiole unique en contient 0, 1, 2 ou 3.
  
  $N (30) = 2.4788$
Réponse

Une cellule vit 5 heures en moyenne contre une demi-vie de 3,4657, et le rapport 1/ln 2 est le même pour le carbone 14 que pour le césium 137. La fiole est attendue vide à 34,5388 heures, ce qui n'est pas un nouveau calcul mais le passage de la courbe elle-même par N = 1. Partir de deux fois plus de cellules repousse cela de 5 ln 2 = 3,4657 heures, une demi-vie de plus, quel que soit l'effectif de départ, et c'est l'argument du temps de doublement de l'autre préréglage avec le signe inversé. Lisez N(t) comme un décompte tant qu'il est grand et comme une espérance dès qu'il devient petit. La formule ne change pas ; ce qu'elle vous dit, si.

$t_{last} = τ ln N_{0} ⟹ N_{0} \to 2 N_{0} buys τ ln 2 = T = 3.4657 hours$

Références (2)

Where the exponential decay law was first established as a physical law rather than a curve fit: E. Rutherford & F. Soddy, “XLI. The cause and nature of radioactivity.—Part I.” The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science 4(21), 370–396, 1902.
The second half of the same argument, which introduces the transformation theory the half-life belongs to: E. Rutherford & F. Soddy, “LXIV. The cause and nature of radioactivity.—Part II.” The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science 4(23), 569–585, 1902.

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-05-21

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Exemples de problèmes

croissance régulière - k = 0.08 fait passer 1000 à 2225.5409 en t = 10, avec un temps de doublement de 8.6643 ; la ligne demi-vie affiche —
décroissance régulière - k = −0.2 ne laisse que 135.3353 des 1000 de départ, demi-vie 3.4657, et c'est le temps de doublement qui reste vide
croissance lente - k = 0.02 met 34.6574 à doubler — exactement quatre fois les 8.6643 de k = 0.08, car le temps de doublement vaut ln(2)/k