Modèle épidémique SIR
Modélisez la dynamique épidémique : voyez comment le taux de transmission, le taux de guérison et R0 façonnent l'épidémie.
Systèmes différentiels non linéaires de transmission de maladies 🖖
Le modèle SIR divise la population en Susceptibles, Infectés et Rétablis. Sa dynamique est régie par des équations différentielles non linéaires : dS/dt = -βIS/N et dI/dt = βIS/N - γI. R₀ = β/γ est le taux de reproduction de base. Si R₀ > 1, la maladie se propage de façon exponentielle avant d'atteindre l'immunité collective.
Pourquoi une épidémie s'arrête avant d'infecter tout le monde 🖖
La courbe des infections monte, atteint un pic, puis redescend — non pas parce que l'agent pathogène disparaît, mais parce que tant de personnes ont déjà été infectées que le virus rencontre sans cesse des individus déjà immunisés. C'est pourquoi une épidémie s'éteint bien avant d'atteindre tout le monde : avec R₀ = 1.5, seuls environ 58% de la population sont infectés, et non 100%.
Le théorème du seuil est né d'un chimiste aveugle 🖖
Le modèle SIR a été publié en 1927 par William Kermack et Anderson McKendrick. Trois ans plus tôt, une explosion de laboratoire avait rendu Kermack totalement aveugle à l'âge de 26 ans ; il a pourtant contribué à démontrer le théorème du seuil épidémique, résolvant une grande partie des calculs de tête, dit-on. Leur article est resté largement ignoré pendant des décennies avant de devenir un pilier de l'épidémiologie moderne.
Exemples de problèmes
- Rougeole (R₀≈15) - Rougeole : extrêmement contagieuse (R₀ ≈ 15), entraînant des flambées rapides.
- Grippe (R₀≈1,5) - Grippe saisonnière : propagation modérée (R₀ ≈ 1.5), avec un pic durant les mois d'hiver.
- COVID Delta - COVID-19 Delta : modélisé avec une phase d'incubation SEIR (R₀ ≈ 5.0).
- Subcritique - Cas sous-critique : R₀ < 1.0, la maladie s'éteint naturellement sans provoquer d'épidémie.