Leçon
La théorie — Modèle épidémique SIR
Une épidémie a deux fins différentes, et cette page affiche les deux. Le seuil d’immunité collective est le point où chaque infection cesse de produire plus d’un successeur — où la courbe bascule. Le taux d’attaque est la part de la population infectée une fois que tout est réellement terminé. Ce ne sont pas les mêmes nombres, ce ne sont jamais les mêmes nombres, et c’est de leur écart qu’il s’agit ici.
Ce que signifie chaque symbole
R₀- le nombre de reproduction de base,
β/γ— combien de personnes une infection contaminerait dans une population encore entièrement réceptive. Un rapport de deux taux : il décrit donc un agent dans un contexte, jamais un agent seul. s- la fraction réceptive
S/N. Presque tout ce qui suit porte sur cette quantité et non sur le temps, ce qui explique que les résultats ne dépendent pas de la vitesse de l’épidémie. H- le seuil d’immunité collective,
1 − 1/R₀: la fraction immunisée à laquelle la croissance s’arrête. La page l’affiche. A- le taux d’attaque — la fraction jamais infectée, une fois
Iretombé à zéro. La page l’affiche aussi, sous « total infecté ».
D’où vient la formule
- Demandons quand l’épidémie croît. Le compartiment infectieux évolue selon
dI/dt = βIS/N − γI, qui se factorise enI(βs − γ). CommeIest positif pendant une épidémie, le signe est décidé par la seule parenthèse : l’infection croît tant queβs > γ, c’est-à-dire tant ques > γ/β = 1/R₀. Remarquez qu’il s’agit d’une condition sur la fraction réceptive, où le temps n’apparaît nulle part. - Le point de retournement est donc exactement
s = 1/R₀, et la fraction qui n’est plus réceptive à cet instant vaut1 − 1/R₀. C’est le seuil d’immunité collective, et c’est le nombre qu’affiche la page — 33.3% pour le préréglage grippe, oùR₀ = 1.5. C’est aussi là que culmine la courbe des infectieux, ce que le graphique permet de vérifier : le pic n’est pas un hasard de forme, c’est cette condition atteinte. - Vient l’étape que l’on saute d’ordinaire. Au seuil,
dI/dt = 0— mais ce n’est pasI = 0. Une population infectieuse considérable est toujours là, et chacun continue de contaminer au tauxβs. Moins d’un successeur chacun, donc les nombres baissent ; mais redescendre d’un pic prend du temps, et chacune de ces infections touche quelqu’un. L’épidémie ne s’arrête pas au seuil. Elle le traverse sur son élan. - Pour trouver où elle s’arrête vraiment, il faut éliminer le temps. Divisons l’équation des réceptifs par celle des guéris :
dS/dR = −(β/γ)(S/N) = −R₀s, qui s’intègre ens = s₀·e^(−R₀·r), oùrest la fraction guérie. À la fin plus personne n’est infectieux, doncr∞ = 1 − s∞, et la substitution donne la relation de taille finale :s∞ = s₀·e^(−R₀(1 − s∞)). Le taux d’attaque vautA = 1 − s∞. Elle est transcendante —s∞figure dedans et dehors de l’exponentielle — donc sans forme close, et c’est pourquoi cette page intègre au lieu d’évaluer une formule. - Mettez les deux nombres côte à côte : l’écart est le dépassement. À
R₀ = 1.5la page affiche un seuil de 33.3% et un total de 58.5% : l’épidémie file 25 points au-delà du point où elle a cessé de croître. Faites varierR₀et le dépassement n’est pas monotone — il monte à environ 30 points près deR₀ ≈ 2puis redescend, s’annulant quandR₀ → 1parce que rien ne se propage, et aux grandsR₀parce que seuil et taux d’attaque se pressent tous deux contre 100%. ÀR₀ = 5c’est 80.0% contre 99.3% ; àR₀ = 15, digne de la rougeole, 93.3% contre 100.0%. Le pire dépassement se situe exactement dans la plage de la grippe pandémique et du SARS-CoV-2 initial.
Comment lire ce que vous voyez
Trois courbes et trois nombres. Les courbes sont les compartiments ; celle à surveiller est la bosse des infectieux, dont le sommet est l’étape 2 en train de se produire. Parmi les nombres, « pic d’infectés » et « total infecté » répondent à des questions entièrement différentes : le premier dit combien sont malades en même temps, ce qui intéresse les hôpitaux, le second combien l’ont été à un moment, ce que prédit la relation de taille finale. Pour le préréglage grippe, 6.4% et 58.5%, et le premier ne dit rien du second. Le seuil d’immunité collective au-dessus n’est ni l’un ni l’autre : c’est là où le premier bascule.
- Suppose
- Une population fermée et bien mélangée — pas de naissances, pas de décès, pas de voyages, et chaque réceptif également susceptible de croiser chaque infectieux. Des
βetγconstants : aucun changement de comportement, aucune saison, aucune intervention en cours de route. Une immunité définitive, personne ne retourne au réservoir réceptif. Et un modèle déterministe, raison pour laquelle une poignée d’infectieux déclenche toujours une épidémie ici, alors qu’en réalité les petits nombres s’éteignent souvent par hasard même quandR₀ > 1. - Ne tient plus quand
- L’expression « seuil d’immunité collective » invite à une lecture que les mathématiques ne soutiennent pas : qu’une épidémie livrée à elle-même s’y arrête. Elle ne s’y arrête pas — elle s’arrête au taux d’attaque, que l’étape 5 montre pouvoir être 25 points plus haut. Le seuil est une cible vaccinale, un niveau atteignable sans épidémie ; atteint par l’infection, il coûte le seuil et le dépassement en plus. Cette distinction n’avait rien d’académique en 2020. Deux mises en garde de plus pour qui prend ces nombres au sérieux : le bon mélange est l’hypothèse la moins réaliste ici, et l’assouplir abaisse généralement seuil et taux d’attaque, parce que les individus très connectés sont infectés tôt et cessent de faire pont ; et cette page démarre avec dix infectieux plutôt qu’un germe infinitésimal, d’où ses 58.5% juste au-dessus des 58.3% de la limite classique
s₀ → 1.
Problème entièrement résolu
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Une infection ayant R₀ = 3 se propageant au-delà de la fraction immunisée 5 étapes
Une infection a un R₀ = 3. Trouvez la fraction qui doit être immunisée pour stopper sa propagation — et montrez que l'épidémie continue de progresser au-delà de ce point.
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R₀ est le nombre moyen de nouveaux cas qu'un cas génère dans une population entièrement réceptive : le taux de transmission divisé par le taux de guérison. C'est le rapport de deux taux, c'est pourquoi il n'a ni unité ni échelle de temps.
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Une épidémie progresse tant que chaque cas se remplace. Une fois qu'une partie de la population est immunisée, seule la part de sujets réceptifs compte, de sorte que la croissance se poursuit exactement tant que cette part dépasse 1/R₀.
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Inversez-le. Le simulateur ci-dessus affiche ce seuil, et c'est tout le fondement de la politique de vaccination — il n'est jamais nécessaire d'atteindre tout le monde.
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Mais le seuil est l'endroit où la croissance s'arrête, pas là où l'épidémie s'arrête. Les personnes infectées sont toujours contagieuses à ce moment-là, de sorte que les cas continuent de s'accumuler au-delà.
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Ce dépassement explique pourquoi le pic et le seuil sont des chiffres différents, et pourquoi une épidémie non atténuée se termine avec une proportion d'infectés bien supérieure au seuil.
Réponse
66.7%. Le pic survient avec environ 30% d'infectés en même temps, et — le point le plus facilement ignoré — l'épidémie se poursuit au-delà du seuil au lieu de s'y arrêter, de sorte que la taille finale dépasse largement ce niveau. L'immunité collective est une affirmation sur le moment où la courbe s'inverse, et non sur la fin de l'épidémie. Et comme le seuil est 1 − 1/R₀, il est extrêmement sensible au sommet : la rougeole avec un R₀ ≈ 15 nécessite une couverture de 93.3%, c'est pourquoi la rougeole réapparaît en premier dès que la couverture vaccinale baisse.
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Parcours
Croissance limitée
Références (3)
- The compartment model and the threshold theorem this tool implements: W. O. Kermack & A. G. McKendrick, "A contribution to the mathematical theory of epidemics." Proceedings of the Royal Society A 115, 700–721, 1927.
- The lesson's step 4 — where the transcendental final-size relation comes from: J. C. Miller, "A Note on the Derivation of Epidemic Final Sizes." Bulletin of Mathematical Biology 74(9), 2125–2141, 2012.
- Thresholds, final sizes and the overshoot, treated together: H. W. Hethcote, "The Mathematics of Infectious Diseases." SIAM Review 42(4), 599–653, 2000.