Dynamique proie-prédateur

Le pic des prédateurs est toujours décalé par rapport au pic des proies. Quand les proies sont abondantes, les prédateurs prospèrent et se multiplient — mais le temps que leur nombre atteigne son maximum, les proies sont déjà épuisées. La population de prédateurs s'effondre alors par manque de nourriture, ce qui laisse aux proies une chance de se rétablir, et le cycle recommence. Ce décalage d'un quart de cycle est une conséquence mathématique des équations de Lotka-Volterra et correspond aux observations faites sur de vrais systèmes proie-prédateur, comme le lynx et le lièvre d'Amérique.

Les équations exactes de Lotka-Volterra possèdent une quantité conservée — H = δx − γ ln x + βy − α ln y — qui reste constante le long de chaque trajectoire. Cela signifie que les orbites sont mathématiquement des boucles fermées : les populations oscillent indéfiniment sans jamais spiraler vers l'intérieur ou l'extérieur, et sans jamais vraiment atteindre zéro. En partant près de l'équilibre (x★, y★), on obtient des boucles lisses, presque circulaires. En partant loin — par exemple x₀ = 1, y₀ = 100 —, l'orbite est une longue excursion étroite qui produit des cycles en dents de scie très marqués : les prédateurs s'effondrent par manque de nourriture, les proies se rétablissent de façon explosive, puis l'abondance de prédateurs fait à nouveau chuter les proies. Cette forme en pics n'est pas un artefact numérique ; c'est la solution correcte de grande amplitude. Ce qui est un artefact, c'est la survie elle-même. Dans une équation différentielle continue, les populations tendent vers zéro sans jamais l'atteindre. Dans un écosystème réel avec des animaux discrets, ce creux ne représente plus qu'une poignée d'individus — et des événements aléatoires provoquent alors une extinction réelle. La simulation contourne ce problème en limitant les populations à 0,01, montrant ainsi l'orbite mathématique plutôt que la réalité biologique. Un modèle stochastique montrerait au contraire que des déséquilibres initiaux extrêmes se terminent généralement par un effondrement.

Vito Volterra a établi ces équations en 1926 pour résoudre une énigme posée par son gendre, le biologiste Umberto D'Ancona : pourquoi la part des poissons prédateurs dans les prises de l'Adriatique avait-elle augmenté pendant la Première Guerre mondiale, alors que la pêche avait presque cessé ? La réponse est le principe de Volterra : une mortalité frappant également les deux espèces relève l'effectif moyen des proies et abaisse celui des prédateurs. Cela explique pourquoi les insecticides à large spectre peuvent se retourner contre nous — tuer les ravageurs et leurs ennemis naturels laisse souvent plus de ravageurs qu'avant.