Dies ist eine maschinelle Übersetzung; die englische Fassung ist das Original. Original lesen
Unter eins stirbt es aus. Über eins läuft es davon. Dazwischen gibt es nichts.
Bei R₀ = 1,5 infiziert das SIR-Werkzeug 58,5 % der Bevölkerung. Schieben Sie den Wert auf 0,9, und der Ausbruch ist verschwunden. Es gibt keine Einstellung, die ein stetiges Rinnsal infiziert.
Nehmen Sie das SIR model und fahren Sie seine Reproduktionszahl durch.
Bei R₀ = 1,5, der Grippe-Voreinstellung, meldet es eine Endgröße von 5.845 Menschen, 58,5 % der Bevölkerung. Bei R₀ = 3 meldet es 9.412, also 94,1 %. Bei R₀ = 15 meldet es 10.000 von 10.000: alle.
Nun in die andere Richtung, unter 1, wofür das Werkzeug eigens eine Voreinstellung namens subcritical bereithält. Der Ausbruch schrumpft nicht gleichmäßig. Er findet gar nicht erst statt. Ein paar Menschen stecken sich an, jeder steckt im Mittel weniger als einen weiteren an, und die Kette reißt ab.
Es gibt keine Einstellung, die ein bescheidenes, anhaltendes Rinnsal erzeugt. Jeder Wert stirbt entweder aus oder hebt ab, und die Grenze liegt genau bei 1.
Warum genau eins, und warum so scharf
Zieht man die Biologie ab, bleibt eine Abzählfrage. Jede Einheit, ein infizierter Mensch, ein Neutron, eine Kopie eines DNA-Fragments, ein Mann mit einem Familiennamen, erzeugt eine gewisse Zahl von Nachfolgern, bevor sie ausscheidet. Den Mittelwert nennen wir R.
Nach n Generationen ist die erwartete Population Rn. Das ist das ganze Argument. Für R < 1 geht Rn → 0, und nicht langsam: Bei R = 0,9 ist eine Kette nach 33 Generationen auf 3 % ihrer Ausgangsgröße gefallen. Für R > 1 wächst sie unbeschränkt, bis etwas anderes sie aufhält. Und bei genau R = 1 bleibt die erwartete Größe für immer konstant, eine Schneide, auf der kein reales System balanciert, weil R nie auf diese Genauigkeit bekannt ist und nie stillhält.
Die Schärfe kommt vom Exponenten. Jede andere Größe in diesen Modellen, wie schnell, wie viele, wie lange, verschiebt die Kurve. R entscheidet, welches von zwei grundverschiedenen Dingen geschieht. Das ist der seltene Fall, in dem ein stetiger Parameter ein wirklich binäres Ergebnis hervorbringt, und deshalb wiegt bei the exponential tool die Vorzeichenkonvention schwerer als jede seiner Größenangaben.
Dieselbe Schwelle in vier Kostümen
Epidemien. R₀ ist die mittlere Zahl derer, die ein Fall in einer vollständig empfänglichen Bevölkerung ansteckt. Alles, was das Gesundheitswesen unternimmt, Impfung, Abstand, Isolation, ist ein Versuch, R unter 1 zu drücken, und welcher Hebel das schafft, spielt keine Rolle.
Kettenreaktionen. Der Neutronenmultiplikationsfaktor k zählt, wie viele der bei einer Spaltung freigesetzten Neutronen ihrerseits eine weitere auslösen. k < 1 heißt unterkritisch, und die Reaktion erlischt. k > 1 heißt überkritisch. Ein Reaktor ist eine Maschine, die k durch fortwährendes Nachregeln bei 1,000 hält, und das ist die ingenieurtechnische Fassung des Eingeständnisses, dass niemand ohne Steuern auf einer Schneide sitzen kann.
PCR. Jeder Zyklus kopiert jedes Fragment, R ist hier also die Effizienz: wie nah die Verdopplung tatsächlich an 2 herankommt. Das PCR tool ist in dieser Familie ungewöhnlich, weil R > 1 hier schon von der Konstruktion her gilt und die interessante Frage lautet, wie weit darüber; fällt die Effizienz jedoch wegen eines schlechten Reagenzes unter 1, verschwindet die Probe im Rauschen, statt sich zu vermehren.
Familiennamen. Hier hat die Mathematik angefangen. 1875 fragte Galton, warum so viele adlige Familiennamen ausgestorben waren, und Watson rechnete die Antwort aus: Modelliert man jeden Mann so, dass er eine zufällige Zahl von Söhnen bekommt, ist das Aussterben immer dann sicher, wenn der Mittelwert höchstens 1 beträgt. Weniger offensichtlich ist, dass es auch bei einem Mittelwert über 1 eine beträchtliche Wahrscheinlichkeit hat, weil schon der Zufall allein eine Linie früh beenden kann.
Der letzte Schritt ihrer Arbeit ist falsch: Sie schlossen, das Aussterben sei in allen Fällen sicher, und übersahen den überlebenden Zweig. Es dauerte Jahrzehnte, bis die Korrektur allgemein bekannt wurde. Die Schwelle selbst stimmte, und es ist dieselbe, die die Epidemiologen fünfzig Jahre später wiederentdeckten.
Was der Mittelwert verbirgt
Eine Warnung, denn R ist ein Mittelwert, und Mittelwerte verbergen ihre Streuung.
Zwei Krankheiten mit identischem R₀ = 2 können sich sehr verschieden verhalten, wenn die eine zuverlässig zwei Menschen ansteckt und die andere in 90 % der Fälle niemanden und gelegentlich zwanzig. Die Mittelwerte stimmen überein, die Ausbrüche nicht. Die zweite wird von Superspreading getrieben, stirbt weit häufiger durch Glück aus, und wo sie es nicht tut, explodiert sie schneller.
Watsons und Galtons Ansatz enthält das bereits: Die Aussterbewahrscheinlichkeit hängt von der gesamten Nachkommenverteilung ab, nicht nur von deren Mittelwert. Deshalb ist „R liegt unter 1“ eine Aussage über das durchschnittliche Verhalten eines Systems, das im Einzelfall etwas viel Wilderes tun kann, und deshalb können sich zwei Krankheiten mit demselben R wie zwei verschiedene anfühlen.