SIR-Epidemiemodell
Modelliere die Epidemie-Dynamik: Sieh, wie Übertragungsrate, Genesungsrate und R₀ den Ausbruch bestimmen.
Nichtlineare Differentialgleichungen der Krankheitsübertragung 🖖
Das SIR-Modell unterteilt eine Bevölkerung in Susceptible, Infectious und Recovered. Die Dynamik wird durch nichtlineare Differentialgleichungen beschrieben: dS/dt = -βIS/N und dI/dt = βIS/N - γI. Die Basisreproduktionszahl R₀ = β/γ bestimmt, ob sich die Krankheit ausbreitet (R₀ > 1) und wann Herdenimmunität eintritt.
Warum Ausbrüche enden, bevor alle krank werden 🖖
Die Infektionskurve steigt, erreicht einen Höhepunkt und fällt dann wieder — aber nicht, weil der Erreger verschwindet. Sie fällt, weil bereits so viele Menschen infiziert wurden, dass das Virus ständig auf bereits Immune trifft. Deshalb erlischt eine Epidemie, lange bevor sie alle erreicht: Bei R₀ = 1.5 werden nur etwa 58% der Bevölkerung überhaupt infiziert, nicht 100%.
Der Schwellenwertsatz stammt von einem blinden Chemiker 🖖
Das SIR-Modell wurde 1927 von William Kermack und Anderson McKendrick veröffentlicht. Drei Jahre zuvor hatte eine Laborexplosion Kermack im Alter von 26 Jahren vollständig erblinden lassen — dennoch leitete er den epidemischen Schwellenwertsatz mit her und arbeitete einen Großteil der Mathematik angeblich im Kopf durch. Ihre Arbeit blieb jahrzehntelang weitgehend unbeachtet, bevor sie zu einem Grundpfeiler der modernen Epidemiologie wurde.
Beispielaufgaben
- Masern (R₀≈15) - Masern: extrem ansteckend (R₀ ≈ 15), was zu schnellen Ausbrüchen führt.
- Grippe (R₀≈1,5) - Saisonale Grippe: mäßige Ausbreitung (R₀ ≈ 1.5), mit einem Höhepunkt in den Wintermonaten.
- COVID Delta - COVID-19 Delta: modelliert mit SEIR-Inkubationsphase (R₀ ≈ 5.0).
- Subkritisch - Subkritischer Fall: R₀ < 1.0, die Krankheit erlischt von selbst, ohne dass es zu einer Epidemie kommt.