Populationswachstum & Chaos

Erkunde die Populationsdynamik: kontinuierliches logistisches Wachstum und den Weg der diskreten logistischen Abbildung ins Chaos.

Rechenbeispiel — Populationswachstum & Chaos

Wachstumsrate (r)	0.5
Tragfähigkeit (K)	1000
Anfangspopulation (N₀)	10
Endpopulation	1000.0

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

Interaktive Simulation wird geladen...

Das Chaos entsteht durch das Zerhacken der Zeit in Schritte 🖖

Die kontinuierliche logistische Gleichung verhält sich bemerkenswert brav: welche Wachstumsrate du ihr auch gibst, die Population steigt oder fällt glatt und legt sich für immer auf die Kapazitätsgrenze, ohne Schwingung und ohne Überraschungen. Das ganze wilde Verhalten erscheint erst, wenn dasselbe Modell in diskreten Generationen geschrieben wird: xₙ₊₁ = r xₙ(1 − xₙ). Dort bleibt der Gleichgewichtszustand nur stabil, solange r unter 3 liegt, spaltet bei r = 3 in einen Zweijahreszyklus, verdoppelt sich wieder und wieder und löst sich um r = 3,5699 in Chaos auf. Dieselbe Biologie, derselbe Parameter — der Unterschied ist, ob die Fortpflanzung kontinuierlich oder einmal pro Saison geschieht. Das Chaos ist eine Eigenschaft des Zeitschritts, nicht der Population.

Warum Wachstumskurven zum S abflachen 🖖

Im kontinuierlichen Modell wächst eine Population am schnellsten, wenn sie die Hälfte der Umweltkapazität erreicht hat. Je näher ihre Größe an die Umweltkapazität K heranrückt, desto weniger Nahrung und Raum bleiben für jedes Individuum. Das Wachstum verlangsamt sich, und die Kurve nimmt eine glatte S-Form an. Wechsle zum Reiter Kontinuierlich. Das stärkste Wachstum siehst du am Wendepunkt, genau bei N = K/2, nicht am Anfang.

Chaos, das du mit einer Formel lösen kannst 🖖

Bei r = 4 ist die diskrete Abbildung völlig chaotisch und besitzt dennoch eine exakte geschlossene Lösung: Mit x = sin²(π θ) wird jeder Schritt zum bloßen Verdoppeln von θ unter Beibehaltung des Nachkommateils. Binär bedeutet Verdoppeln nur ein Verschieben der Ziffern nach links, sodass die „unvorhersehbare“ Bahn in Wahrheit die aufeinanderfolgenden Bits des Startwerts abliest. Zufällig wirkt sie nur, weil θ unendlich genau bekannt sein müsste.

Aufgabe vollständig gelöst

Das diskrete Modell mit 80 Generationen 5 Schritte
Finden Sie heraus, wo sich eine Population einpendelt, wenn ihre eigene Wachstumsregel ein Einpendeln nicht zulässt. Dies ist das Diskrete Modell, x_t+1 = r_dx_t(1 − x_t), mit r_d = 3,2, x₀ = 0,1 und 80 Generationen.
1. Ein Gleichgewicht ist ein Wert, den die Abbildung unverändert zurückgibt. Die Auflösung danach ergibt zwei Lösungen, und die brauchbare ist der von Null verschiedene Anteil der Umweltkapazität: zu 68,75 % gefüllt.
  
  $x^{*} = r x^{*} (1 - x^{*}) ⟹ x^{*} = 1 - \frac{1}{r} = 1 - \frac{1}{3.2} = 0.6875$
2. Dass ein Fixpunkt existiert, bedeutet nicht, dass eine Population ihn auch erreicht. Verschiebt man die Population geringfügig, vervielfacht die Abbildung diesen Fehler in jeder Generation mit der Steigung; das Gleichgewicht hält also nur stand, solange der Betrag der Steigung kleiner als 1 ist. Bei r_d = 3,2 beträgt sie −1,2: Das Minuszeichen wirft die Population jedes Jahr auf die andere Seite von 0,6875, und die 1,2 lässt sie weiter entfernt landen als zu Beginn.
  
  $f^{'} (x) = r (1 - 2 x), f^{'} (x^{*}) = r (\frac{2}{r} - 1) = 2 - r = - 1.2, ∣ - 1.2 ∣ > 1$
3. Suchen Sie stattdessen nach einem Wertepaar, das die Plätze tauscht. Alles, was sich nach zwei Schritten wiederholt, löst f(f(x)) = x, was eine Gleichung vierten Grades ist — doch 0 und 0,6875 lösen sie bereits, da sich alles, was sich nach einem Schritt wiederholt, auch nach zwei Schritten wiederholt. Teilt man diese beiden bekannten Lösungen heraus, bleibt eine quadratische Gleichung übrig.
  
  $f (f (x)) - x = - r^{3} x (x - x^{*}) (x^{2} - \frac{r + 1}{r} x + \frac{r + 1}{r ^{2}})$
4. Die Lösungen der quadratischen Gleichung bilden den Zyklus. Die 80. Generation des Werkzeugs ist die kleinere von beiden, und zwar auf alle sechs angezeigten Stellen; die 79. ist die größere.
  
  $x_{1, 2} = \frac{( r + 1 ) \pm ( r + 1 ) ( r - 3 )}{2 r} = \frac{4.2 \pm 0.84}{6.4} = \frac{4.2 \pm 0.916515}{6.4} = 0.513045, 0.799455$
5. Der Zyklus ist ein Fixpunkt der zweifach angewendeten Funktion f, sodass derselbe Stabilitätstest gilt; seine Steigung ist das Produkt der Steigungen an den beiden Punkten. Bei 0,16 dämpft der Zyklus Fehler in jedem Doppelschritt um den Faktor sechs, weshalb 80 Generationen ausgehend von einem weit entfernten Startwert exakt auf ihm landen. Erhöht man r_d, bis dieses Produkt −1 erreicht, verliert wiederum der 2-Zyklus seine Stabilität.
  
  $μ = f^{'} (x_{1}) f^{'} (x_{2}) = 4 + 2 r - r^{2} = 0.16; μ = - 1 ⟹ r = 1 + 6 = 3.4495$
Antwort

Das Werkzeug gibt 0,513045 aus und bezeichnet den Zustand als Perioden-2-Oszillation. Keine einzige dieser Ziffern ist gerundet: Es handelt sich um (4,2 − √0,84) / 6,4, eine algebraische Zahl, und der Einschwingvorgang ist bereits Jahrzehnte von Generationen vor Schritt 80 abgeklungen. Der Mechanismus ist wertvoller als die Zahl. Das Gleichgewicht bei 0,6875 ist bei r_d = 3 nicht verschwunden — es ist bei 3,2 immer noch da, weiterhin eine vollkommen gültige Lösung und lediglich unerreichbar, und was an seine Stelle trat, entstand bereits stabil. Das geschieht erneut bei 1 + √6 = 3,4495, dann bei 3,5441, dann bei 3,5644: Intervalle von 0,4495, 0,0946 und 0,0203, von denen jedes etwa 4,7-mal kürzer ist als das vorherige. Eine schrumpfende geometrische Folge hat eine endliche Summe, sodass unendlich viele Verdopplungen unterhalb von 3,5699 Platz finden, und jenseits dieser Grenze gibt es keinen Zyklus beliebiger Länge mehr, auf dem man landen könnte.

$r_{n} = 3, 1 + 6 = 3.4495, 3.5441, 3.5644, \dots ⟶ r_{\infty} = 3.5699$

Lernpfad

Begrenztes Wachstum

Führt zu Befischung

Quellen (1)

Insight blocks 1 and 3 — the discrete logistic map, its period doubling and the 3.5699 threshold: R. M. May, "Simple mathematical models with very complicated dynamics." Nature 261, 459–467, 1976.

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-08-17

Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen. Redaktionsrichtlinie · Korrekturen

Alle Lektionen: Biologie & Chemie →

Beispielaufgaben

Logistisch - Mit r = 0,5 wächst die Population von 10 bis auf K = 1000. Bei t = 9,19 ist die Kurve am steilsten: Genau dort erreicht N den Wert 500, und die Wachstumsrate beträgt rK/4 = 125 pro Zeiteinheit.
Schnelles Wachstum - Die Wachstumsrate ist viermal so hoch wie im Beispiel „Logistisch“. Deshalb überschreitet die Population die Hälfte von K schon bei t = 1,10 statt erst bei 9,19. Über K steigt sie trotzdem nie hinaus, denn im kontinuierlichen Modell ist ein Überschwingen unabhängig von r ausgeschlossen.
Periode-2 - Bei r = 3,2 nähert sich die Folge genau zwei Werten an, 0,799455 und 0,513045, zwischen denen sie dauerhaft wechselt. Oberhalb von r = 3 hat sich der einzelne Fixpunkt in einen Zweierzyklus aufgespalten.
Chaos - Bei r = 3,9 stellt sich kein fester Zyklus ein: In den letzten hundert Generationen nimmt die Folge hundert verschiedene Werte an. Zufällig ist das nicht. Derselbe Anfangswert erzeugt jedes Mal dieselbe Folge.