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Por debajo de uno se apaga. Por encima de uno se desboca. No hay nada entre medias.
Con R₀ = 1,5 la herramienta SIR infecta al 58,5 % de la población. Bájalo a 0,9 y el brote desaparece. No hay ningún ajuste que infecte un goteo constante.
Coge el modelo SIR y recorre su número reproductivo.
Con R₀ = 1,5, el preajuste de la gripe, informa de un tamaño final de 5.845 personas, el 58,5 % de la población. Con R₀ = 3 informa de 9.412, el 94,1 %. Con R₀ = 15 informa de 10.000 sobre 10.000: todo el mundo.
Ve ahora en la otra dirección, por debajo de 1, para lo cual la herramienta trae un preajuste llamado subcrítico. El brote no se encoge poco a poco: no llega a ocurrir. Unas pocas personas se infectan, cada una contagia de media a menos de otra, y la cadena se para.
No hay ningún ajuste que produzca un goteo modesto y sostenido. Todo valor o se apaga o despega, y la frontera está exactamente en 1.
Por qué exactamente uno, y por qué tan abrupto
Si se quita la biología, lo que queda es una cuestión de recuento. Cada unidad, una persona infectada, un neutrón, una copia de un fragmento de ADN, un hombre con un apellido, produce cierto número de sucesores antes de desaparecer. Llamemos R a la media.
Tras n generaciones la población esperada es Rn. Ese es todo el argumento. Si R < 1, entonces Rn → 0, y no despacio: con R = 0,9 una cadena baja al 3 % de su tamaño inicial en 33 generaciones. Si R > 1 crece sin límite hasta que otra cosa la detiene. Y justo en R = 1 el tamaño esperado es constante para siempre, un filo sobre el que ningún sistema real se sostiene, porque R nunca se conoce con esa precisión ni se queda quieto.
Lo abrupto viene del exponente. Cualquier otra magnitud de estos modelos, con qué rapidez, cuántos, durante cuánto tiempo, desplaza la curva. R decide cuál de dos cosas radicalmente distintas ocurre. Es el caso poco frecuente en que un parámetro continuo produce un resultado genuinamente binario, y por eso en la herramienta exponencial el convenio de signos importa más que cualquiera de sus magnitudes.
El mismo umbral, cuatro disfraces
Epidemias. R₀ es el número medio de contagios que provoca un caso en una población totalmente susceptible. Todo lo que hace la salud pública, vacunar, distanciar, aislar, es un intento de empujar R por debajo de 1, y da igual qué palanca lo consiga.
Reacciones en cadena. El factor de multiplicación de neutrones k cuenta cuántos de los neutrones liberados por una fisión llegan a provocar otra. Con k < 1 el sistema es subcrítico y la reacción muere. Con k > 1 es supercrítico. Un reactor es una máquina para mantener k en 1,000 ajustándolo sin parar, que es la versión ingenieril de admitir que nadie se sostiene sobre un filo sin corregir el rumbo.
PCR. Cada ciclo copia cada fragmento, así que aquí R es la eficiencia: cuánto se acerca a 2 la duplicación real. La herramienta de PCR es rara dentro de esta familia porque R > 1 por construcción y la pregunta interesante es cuánto por encima; pero si un reactivo en mal estado deja caer la eficiencia por debajo de 1, la muestra se desvanece en el ruido en vez de amplificarse.
Apellidos. Que es donde empezó la matemática. En 1875 Galton se preguntó por qué se habían extinguido tantos apellidos aristocráticos, y Watson dio con la respuesta: si se modela a cada hombre como productor de un número aleatorio de hijos varones, la extinción es segura siempre que la media sea como mucho 1. Menos evidente es que tiene una probabilidad considerable incluso cuando la media supera 1, porque el azar por sí solo puede cortar un linaje pronto.
Su artículo se equivocó en el último paso: concluyeron que la extinción era segura en todos los casos y se les escapó la rama superviviente. Pasaron décadas hasta que la corrección se conoció de forma general. El umbral en sí, en cambio, era correcto, y es el mismo que los epidemiólogos redescubrieron cincuenta años después.
Lo que la media esconde
Una precaución, porque R es una media y las medias ocultan su dispersión.
Dos enfermedades con un R₀ = 2 idéntico pueden comportarse de forma muy distinta si una contagia a dos personas de manera fiable y la otra no contagia a nadie el 90 % de las veces y a veinte personas de vez en cuando. Las medias coinciden; los brotes no. La segunda va impulsada por supercontagios, se extingue por pura suerte mucho más a menudo y, cuando no lo hace, explota más rápido.
El marco de Watson y Galton ya contiene esto: la probabilidad de extinción depende de toda la distribución de la descendencia, no solo de su media. Por eso "R está por debajo de 1" es una afirmación sobre el comportamiento promedio de un sistema que puede estar haciendo algo mucho más salvaje en cada caso individual, y por eso un mismo R puede parecer dos enfermedades distintas.