Explorador de crecimiento y decaimiento exponencial

modela el crecimiento y el decaimiento con N(t) = N0 · e^(kt)

Ejemplo resuelto — Explorador de crecimiento y decaimiento exponencial

N(t)	2225.5409
Tiempo de duplicación	8.6643

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — Explorador de crecimiento y decaimiento exponencial

El cambio exponencial es lo que ocurre cuando la tasa de cambio es proporcional a la cantidad presente — el interés de un saldo, la desintegración de un núcleo, una población con espacio para expandirse. No existe una fórmula distinta para el crecimiento y para el decaimiento; hay una sola fórmula y un signo.

Qué significa cada símbolo

N₀: la cantidad inicial en t = 0. Escala toda la curva y no modifica en nada su forma, razón por la cual no aparece en ninguna de las dos filas de tasa.
k: la tasa continua, y su signo lo decide todo. Si es positiva, la cantidad crece sin límite; si es negativa, disminuye hacia cero sin alcanzarlo; si es exactamente cero, no ocurre nada en absoluto.
t: el tiempo transcurrido, en cualquier unidad en la que se haya expresado k. Ambos deben coincidir — una tasa por año con un tiempo en meses es la forma más común de obtener con total certeza una respuesta incorrecta aquí.
N(t): la cantidad tras ese tiempo. Con N₀ = 1000, k = 0.08 y t = 10 muestra 2225.5409 — más del doble, porque el crecimiento se capitalizó de forma continua en lugar de una sola vez.

De dónde viene la fórmula

"La tasa es proporcional a la cantidad" expresado formalmente es dN/dt = kN. Esta es la única suposición; todo lo que sigue se deduce de ella.
Al separar e integrar se obtiene N(t) = N₀·e^(kt). La base e no es una elección por conveniencia — es en lo que se convierte la constante cuando el crecimiento se aplica de forma continua en lugar de a pasos.
Para el tiempo de duplicación, se determina cuándo N alcanza 2N₀: e^(kt) = 2, de modo que kt = ln 2 y t = ln 2 / k. La cantidad inicial se cancela, razón por la cual el tiempo de duplicación es una propiedad exclusiva de la tasa.
La vida media es el mismo cálculo con ½ en lugar de 2, lo que da t = ln 2 / |k| — la misma expresión, porque reducirse a la mitad a una tasa −k toma exactamente el mismo tiempo que duplicarse a una tasa +k. Con k = 0.08, la fila de duplicación muestra 8.6643; con k = 0.02, un cuarto de la tasa, muestra 34.6574, exactamente cuatro veces más tiempo.

Cómo leer lo que ves

Las dos filas de tasa son mutuamente excluyentes y el guion tiene un significado real. Con k = 0.08, el tiempo de duplicación muestra 8.6643 y la vida media muestra —; al cambiar a k = −0.2, la vida media muestra 3.4657 mientras que el tiempo de duplicación es el que queda en blanco. Una cantidad en crecimiento no tiene vida media y una en reducción no tiene tiempo de duplicación, por lo que la fila vacía es una afirmación en lugar de una omisión.

Supone: Una tasa que se mantiene constante durante todo el periodo y una cantidad sin restricciones. Ninguna de las dos premisas se sostiene por mucho tiempo en la práctica: las poblaciones alcanzan una capacidad de carga y las tasas de interés se renegocian.
Falla cuando: Ajusta k a exactamente 0 y ambas filas de tasa mostrarán — a la vez, lo cual es la respuesta honesta y merece la pena detenerse en ello. No hay nada roto: a tasa cero, la cantidad permanece en 1000 para siempre, por lo que nunca se duplica ni se reduce a la mitad, y ln 2 / 0 está indefinido en lugar de ser infinito. La fórmula se degenera en una línea horizontal, y los dos espacios en blanco son el panel negándose a dividir entre cero en lugar de un fallo al calcular algo.

Por qué dividir 70 entre el porcentaje te da el tiempo de duplicación 🖖

El atajo funciona porque ln 2 = 0.693147, que es un 70 disfrazado una vez que la tasa se cuenta como porcentaje en lugar de decimal. Al 7 % anual, esta herramienta indica un tiempo de duplicación de 9.9021, mientras que 70/7 da 10 — erróneo por aproximadamente una parte en cien. Al 8 %, registra 8.6643 frente a 70/8 = 8.75, y la brecha se ensancha a medida que la tasa crece, porque la aproximación solo es exacta en el límite para valores pequeños de k. Los banqueros que usan 72 en lugar de 70 no se han equivocado: 72 se divide de forma exacta entre 2, 3, 4, 6, 8 y 9, y están cambiando un poco de precisión por una aritmética que se puede hacer en voz alta.

Problemas resueltos al detalle

Cultivo que empieza con 1000 células y crece al 8% por hora 5 pasos
Un cultivo comienza con 1000 células y crece a un 8% por hora durante 10 horas. Tres personas le darán tres respuestas distintas y las tres podrán defender la suya. Determine cuál produce el modelo exponencial y a qué distancia se encuentran entre sí.
1. La primera respuesta considera el 8% por hora como una cantidad fija: 80 células por hora, 800 en diez horas. Eso es lo que significa "por hora" para un salario, y es lo que la mayoría imagina. También es la única de las tres que es incorrecta en sus propios términos, porque las células producidas en la primera hora se siguen dividiendo en la segunda.
  
  $(i) N = N_{0} (1 + k t) = 1000 (1 + 0.8) = 1800$
2. La segunda soluciona esto capitalizando una vez por hora: multiplicar por 1,08 diez veces. Ahora las nuevas células contribuyen. Este es un modelo perfectamente defendible, y resulta exactamente correcto si la población se incrementara de forma discreta al comienzo de cada hora.
  
  $(ii) N = N_{0} (1 + k)^{t} = 1000 \times 1.0 8^{10} = 2158.92$
3. La tercera calcula el límite. Las células no esperan al reloj, por lo que la tasa se aplica de forma continua, y esa es la ecuación diferencial dN/dt = kN. Su solución es la exponencial, y e^0,8 constituye toda la diferencia respecto a la segunda respuesta.
  
  $(iii) \frac{d N}{d t} = k N ⟹ N = N_{0} e^{k t} = 1000 e^{0.8} = 2225.5409$
4. El tiempo de duplicación se obtiene de la misma solución, y N₀ se simplifica durante el cálculo. Eso es lo que hace que el crecimiento exponencial resulte contraintuitivo: el tiempo necesario para duplicarse no depende de lo grande que sea ya la población, de modo que un cultivo tarda lo mismo en pasar de un millón a dos millones que en pasar de mil a dos mil.
  
  $N = 2 N_{0} ⟺ k t = ln 2 ⟹ t_{2} = \frac{ln 2}{0.08} = 8.6643$
5. La dispersión entre los resultados es la clave. El crecimiento continuo supera a la interpretación ingenua en un 24% y al interés compuesto por horas en un 3%, a lo largo de las mismas diez horas y con la misma tasa indicada.
  
  $\frac{2225.54}{1800} = 1.236, \frac{2225.54}{2158.92} = 1.031$
Respuesta

La herramienta indica 2225,5409 y un tiempo de duplicación de 8,6643 horas. Las tres respuestas candidatas eran 1800, 2158,92 y 2225,54: la primera y la última difieren en 425 células, más del 40% de la población inicial, y ninguna parte de esa diferencia proviene de un desacuerdo sobre la tasa. Proviene íntegramente de discrepar sobre cuándo se computa el crecimiento. De ahí procede también la "regla del 70": 70/8 = 8,75 frente a un valor real de 8,6643, aproximadamente un 1% por encima, porque ln 2 = 0,693 y alguien prefirió un numerador con muchos divisores.

$N (10) = 1000 e^{0.8} = 2225.5409, t_{2} = \frac{ln 2}{k} = 8.6643$
Cuánto vive una célula, y cuándo la curva deja de contar 6 pasos
El ajuste de decaimiento deja 135,3353 de las 1000 células iniciales al cabo de diez horas, con una reducción a la mitad cada 3,4657. Calcula cuánto vive de media una sola célula y decide en qué punto la curva deja de describir un cultivo.
1. N(t) = 1000e^(−0,2t), así que en t = 10 el exponente es −2 y el panel marca 135,3353.
  
  $N (t) = N_{0} e^{k t} = 1000 e^{- 0.2 \times 10} = 1000 e^{- 2} = 135.3353$
2. El semiperiodo sale de e^(−0,2T) = ½, que da T = ln 2 / 0,2 = 3,4657 en la fila que ha dejado libre el tiempo de duplicación. Diez horas son 2,8854 de esos, y 1000 × 2^(−2,8854) vuelve a dar 135,3353: el mismo valor alcanzado por el otro camino.
  
  $e^{- 0.2 T} = \frac{1}{2} \Rightarrow T = \frac{ln 2}{0.2} = 3.4657; \frac{10}{3.4657} = 2.8854, 1000 \times 2^{- 2.8854} = 135.3353$
3. El semiperiodo no es la constante del exponente. Escribe la misma curva como N = N₀e^(−t/τ) y τ = 1/|k| = 5 horas. A las cinco horas el recuento es 1000/e = 367,8794.
  
  $N = N_{0} e^{- t / τ}, τ = \frac{1}{∣ k ∣} = 5; N (τ) = \frac{1000}{e} = 367.8794$
4. τ es la vida media de una célula. La probabilidad de que una célula dada siga ahí en el instante t es e^(−t/τ), y al integrarla de cero a infinito sale exactamente τ. Así que τ/T = 1/ln 2 = 1,4427 en cualquier decaimiento exponencial que exista: la vida media siempre se estira un 44% más allá del semiperiodo, porque el semiperiodo es la mediana y unos pocos supervivientes longevos arrastran la media más allá.
  
  $Pr (alive at t) = e^{- t / τ} ⟹ \overset{ˉ}{t} = \int_{0}^{\infty} e^{- t / τ} d t = τ = 5, \frac{τ}{T} = \frac{1}{ln 2} = 1.4427$
5. Ahora el vaciado. La curva nunca llega a cero, pero el matraz sí. El número esperado de supervivientes es exactamente N(t), de modo que se espera que la última célula desaparezca donde la curva cruza 1: t = τ ln N₀ = 5 ln 1000 = 34,5388 horas.
  
  $N (t) = 1 ⟺ t = τ ln N_{0} = 5 ln 1000 = 34.5388$
6. En algún punto entre ambos, la lectura deja de ser un recuento. En t = 30 la curva da 2,4788, y ningún cultivo ha contenido nunca 2,4788 células. Esa cifra es un promedio sobre muchas repeticiones del experimento; un matraz concreto contiene 0, 1, 2 o 3.
  
  $N (30) = 2.4788$
Respuesta

Una célula vive 5 horas de media frente a un semiperiodo de 3,4657, y la razón 1/ln 2 es la misma para el carbono-14 y para el cesio-137. Se espera que el matraz esté vacío a las 34,5388 horas, y eso no es un cálculo nuevo sino el punto donde la propia curva cruza N = 1. Partir del doble de células lo aplaza 5 ln 2 = 3,4657 horas, un semiperiodo más, sea cual sea el recuento inicial, que es el argumento del tiempo de duplicación del otro ajuste con el signo invertido. Lee N(t) como un recuento mientras sea grande y como una esperanza en cuanto sea pequeño. La fórmula no cambia; lo que te está diciendo, sí.

$t_{last} = τ ln N_{0} ⟹ N_{0} \to 2 N_{0} buys τ ln 2 = T = 3.4657 hours$

Referencias (2)

Where the exponential decay law was first established as a physical law rather than a curve fit: E. Rutherford & F. Soddy, “XLI. The cause and nature of radioactivity.—Part I.” The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science 4(21), 370–396, 1902.
The second half of the same argument, which introduces the transformation theory the half-life belongs to: E. Rutherford & F. Soddy, “LXIV. The cause and nature of radioactivity.—Part II.” The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science 4(23), 569–585, 1902.

Por el equipo de 42Math · Actualizado 2026-05-21

Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones. Política editorial · Correcciones

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Problemas de ejemplo

crecimiento constante - k = 0.08 convierte 1000 en 2225.5409 en t = 10, duplicándose cada 8.6643; la fila de semivida muestra —
decaimiento constante - k = −0.2 deja 135.3353 de los 1000 iniciales, con semivida 3.4657, y en su lugar queda vacío el tiempo de duplicación
crecimiento lento - k = 0.02 necesita 34.6574 para duplicarse — exactamente cuatro veces los 8.6643 de k = 0.08, porque el tiempo de duplicación es ln(2)/k