これは機械翻訳であり、原文は英語です。 原文を読む
1を下回れば消え、1を上回れば暴走する。その中間はない。
R₀ = 1.5 のとき、SIRツールは人口の58.5%を感染させる。0.9まで下げれば流行は消える。細く一定に感染させ続ける設定は存在しない。
SIR model を開いて、再生産数を端から端まで動かしてみる。
インフルエンザのプリセットである R₀ = 1.5 では、最終規模は5,845人、人口の58.5%と出る。R₀ = 3 では9,412人で94.1%。R₀ = 15 では10,000人中10,000人、つまり全員である。
逆方向、1より下へも行ってみる。そのために subcritical というプリセットが用意されている。流行はなめらかに小さくなっていくのではない。起こらないのである。数人が感染し、めいめいが平均して1人未満にしかうつさず、そこで連鎖が止まる。
ほどほどの規模が細く続く、という設定はない。どの値も消えるか離陸するかのどちらかで、その境目はちょうど 1 である。
なぜちょうど1で、なぜこれほど鋭いのか
生物学を剥がしてしまえば、残るのは数え上げの問題である。各単位は、感染者であれ中性子であれDNA断片の複製であれ姓をもつ男性であれ、取り除かれるまでに何個かの後継を生む。その平均を R と呼ぶことにする。
n世代後の期待される個体数は Rn である。議論はこれで全部だ。R < 1 なら Rn → 0 となり、しかもゆっくりではない。R = 0.9 では33世代で最初の3%まで落ちる。R > 1 なら、ほかの何かが止めるまで際限なく増える。ちょうど R = 1 のときは期待される規模が永遠に一定になる。現実の系がその刃の上で釣り合うことはない。R がその精度で分かることはなく、じっとしていることもないからである。
鋭さは指数から来ている。これらのモデルに出てくるほかの量、どれくらい速いか、どれくらい多いか、どれくらい長いかは、曲線をずらすだけだ。R が決めるのは、まったく異なる二つのうちどちらが起きるかである。連続なパラメータが本当に二値の結果を生む、まれな場合であり、the exponential tool においてどの大きさよりも符号の取り決めのほうが効いてくるのも、これが理由である。
同じ閾値の、四つの衣装
感染症の流行。 R₀ は、全員が感受性をもつ集団で1件の感染例が平均して何人にうつすかである。公衆衛生の打つ手はすべて、ワクチン接種も距離の確保も隔離も、R を1より下へ押し下げようとする試みであって、どのてこで達成するかは問題ではない。
連鎖反応。 中性子増倍率 k は、1回の核分裂で放出された中性子のうち何個が次の核分裂を起こすかを数える。k < 1 は未臨界で、反応は消える。k > 1 は超臨界である。原子炉とは、絶えず調整しながら k を 1.000 に保つための機械であり、舵をとらずに刃の上に座っていられる者はいないという事実を、工学の言葉で認めたものだ。
PCR。 1サイクルごとに各断片が複製されるので、ここでの R は効率、つまり倍化が実際にどれだけ 2 に近づくかである。PCR tool がこの一族のなかで変わっているのは、R > 1 が作りつけであり、面白い問いがどれだけ上かのほうにある点だ。ただし試薬が悪くて効率が1を下回れば、試料は増幅されずに雑音のなかへ消える。
姓。 数学が始まったのはここである。1875年、ゴルトンは貴族の家名がなぜこれほど多く絶えたのかを問い、ワトソンが答えを出した。各人が生む息子の数を確率変数としてモデル化すると、平均が1以下であるかぎり絶滅は確実になる。それより見えにくいのは、平均が1を超えていても絶滅の確率がかなり大きいことで、偶然だけで家系が早く途切れうるからである。
二人の論文は最後の一歩を誤った。生き残る枝を見落とし、どの場合でも絶滅は確実だと結論している。訂正が広く知られるまでには数十年かかった。ただし閾値そのものは正しく、50年後に疫学者たちが再発見した閾値と同じものである。
平均が隠している部分
注意が一つ。R は平均であり、平均はばらつきを隠すからである。
R₀ = 2 が等しい二つの病気でも、一方が確実に2人にうつし、他方が90%の場合には誰にもうつさずたまに20人にうつすのであれば、振る舞いはまるで違う。平均は一致し、流行は一致しない。二つ目はスーパースプレッディングに駆動され、運によって消えることがずっと多く、消えなかったときにはより速く爆発する。
ワトソンとゴルトンの枠組みには、すでにこれが含まれている。絶滅確率は子の数の分布全体に依存するのであって、その平均だけに依存するのではない。「R は1より小さい」が、個々の場合にはもっと荒っぽいことをしているかもしれない系の、平均的な振る舞いについての言明であるのはこのためであり、同じ R が二つの違う病気のように感じられるのもこのためである。