SIR感染症モデル

SIRモデルは個体群を感受性保持者(S)、感染者(I)、回復者(R)に分割します。その動態は非線形常微分方程式（dS/dt = -βIS/N、dI/dt = βIS/N - γI）で記述されます。基本再生産数 R₀ = β/γ が1を超える場合、集団免疫（S/N < 1/R₀）に達するまで感染は指数関数的に拡大します。

感染者数の曲線は上昇し、ピークを迎え、やがて下降します。しかしそれは病原体が消えるからではありません。すでに多くの人が感染し、ウイルスが免疫を持つ人にばかり出会うようになるからです。そのため流行は全員に届くはるか手前で収束します。R₀ = 1.5 の場合、感染するのは人口の約58%にとどまり、100%にはなりません。

SIRモデルは1927年、ウィリアム・カーマックとアンダーソン・マッケンドリックによって発表されました。その3年前、実験室での爆発事故によりカーマックは26歳で完全に失明していました。それでも彼は流行の閾値定理の導出に貢献し、数学の大部分を頭の中で解いたと伝えられています。この論文は数十年間ほとんど顧みられず、後に近代疫学の礎となりました。