生物・地学・化学
生物学は、数え始めるまでは例外ばかりの分野に見えます。用量、遺伝、個体群、反応速度は、予測できるほど厳密な規則に従っており、これらのツールがやっているのはまさにその予測です。
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- 大円航路 ロンドンからロサンゼルスへの最短飛行ルートは、北西に向かって出発し、グリーンランド南部を横断して、南西に向かって着陸します。一定のコンパス方位を保つと 9,732.5 km であるのに対し、このルートは 8,760.1 km です。地球儀上の二つの地点をドラッグして、方位が変化する様子を観察してみましょう。
- 地温：地下の季節 地表面は1年や1日という周期で温まったり冷えたりを繰り返し、その温度変化の波は減衰しながら遅れて土中へと伝わります。なぜ減衰と遅れが同一の数値で表されるのか、地下のどこで季節が逆転するのか、そしてなぜ夜の冷え込みが地下わずか半メートルにすらほとんど届かないのかを見ていきましょう。
- 血中アルコール濃度：体内の分解プロセス 体重80 kgの男性が4パイント飲んだ場合、平均的な分解速度では血中アルコール濃度は1.26 g/Lでピークに達し、04:05に0.5 g/Lを下回ります。健康な人の分解速度の範囲では02:05から08:05の間になります。ワトソンの体内水分量を用いたウィドマークの計算式を使用しています。
章
単体のツールではなく、短い系列として。各ステップは次のステップに具体的なものを渡すので、順番に進める価値があります。
L2: 中等
事前確率とその由来
STATベイズの定理の計算そのものを疑う人はいません。問題となるのは事前確率です。最初の数字はどこからやってきたのか、誰がそれを選んだのか。ここにある三つのツールは、その疑問を簡単なものから順に紐解いてくれます。調べればわかる事前確率、目の前の装置が与えてくれる事前確率、そして誰も持っていない事前確率です。
L2: 中等
なぜ反応は進むのか
CHEM反応が進むかどうかは、放出される熱では決まりません。氷は熱を吸収しながら溶けていきます。ここからの四ページでは、まさにその進行を決定づける収支計算を組み立てます。方程式のように足し引きできるエンタルピー。単位が異なるだけの平衡定数である標準自由エネルギー。K を動かすことと Q を動かすことの違い。そして、その差を電圧として読みとる電池です。
L2: 中等
限界を伴う成長
BIOここで扱う個体群はどれも何らかの要因に抑え込まれており、その要因は段階を追うごとに厳しさを増していきます。最初は自ら引き起こす過密状態。次に、一定数の捕獲。続いて、それ自身が一つの個体群である捕食者。そして最後は、感染可能な人間が尽きてしまうことです。
L3: 学部
熱伝導方程式、波動方程式、ラプラス方程式
PHYひとつの演算子であるラプラシアンを土台としながら、時間の振る舞いだけが異なる三つの方程式。熱は忘却します。最も鋭い細部から先に。波は乱れを彼方へ運び去りますが、平面上ではいつまでも波紋が届き終えることはありません。ラプラス方程式には時間が一切含まれません。それは熱が忘却の果てに行き着く先、すなわち、すべての点が周囲の平均値と等しくなった状態なのです。
L3: 学部
天気予報の仕組み
GEO天気予報とは、誰も正確には知り得ない初期状態からモデルを先に進める計算です。そのため何度も計算を繰り返し、結果のばらつきを見てどの程度信用できるかを判断するのです。次のページではこのモデルの中身をのぞき込み、カオスとは無関係に予測が破綻する仕組みを見ていきます。三ページ目で立ち返るのは1963年のローレンツの方程式です。そこでは軌道上の現在地はすぐに分からなくなりますが、軌跡が描く形が失われることは決してありません。
L4: 専門
分子で計算する
BIO五つのツールを用いて、一つの議論を組み立てていきましょう。DNAは本物の記憶媒体であり、また本物のコンピュータでもあります。そしてそのどちらもが、推測ではなく計算によって導き出せる限界に直面するのです。一つひとつのステップが、次のステップへと具体的な数値を手渡していきます。
全プロセスの詳細解説
- 80世代の離散モデル
- 実際の4人家族における3:1の比率
- 5730年の半減期5回分放置された炭素14の試料
- 元の炭素14の62%を保持する木材試料
- E a = 50 kJ/mol、298 Kでの一次反応
- 免疫を持つ割合を越えて広がるR₀ = 3の感染症
- 水柱でタンパク質の重さを量る
- シリコン球でアボガドロ数を数える
- 両端で高純度を得る蒸留塔
- 熱力学データ表から読み解く、石灰石の真の転回温度
- 休息時の身体が酸素から作り出す熱量
- クラスターから化合物を特定する
- 30 mダイビングのためのナイトロックスの選択と、それがもたらす利点
- 一つの燃焼反応から求めるベンゼンの生成エンタルピー
- 熱化学のみから導く塩化銀のKsp
- エベレストのベースキャンプでの圧力鍋
- 測定値2.49、そして±107の価値しかない濃度
- 一つの電解槽、一日、そして 36,120 kWh の行方
- 12を想定する公園にいる40の動物
- 4 km のモデルには 40 分かかる。では 500 m にはどれだけかかるか？
- 木曜日に氷点下になるか？
- 半グラムに収まる20都市の巡回と、地球上には収まらない39都市の巡回
- DNAにおける1エクサバイトの質量と、制約によって増大する質量
- 10,000時間持続するスマートフォンのバッテリーと、384,500年持続する同じバッテリー
ここでわかること
これらのツールから生まれた記事
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A fire is measured by the oxygen it takes
Per kilogram of fuel, the things we burn differ more than threefold. Per kilogram of oxygen, most of them land within 5% of one number, because the heat is set by what the oxygen becomes, and in a clean flame it becomes one of two things.
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The 475-year earthquake is not geology
Two odd numbers are stamped on seismic design maps worldwide. Neither was measured. Both are a tolerated failure probability run through one line of algebra — and the same line explains why a 100-year flood is a coin-flip over a lifetime.
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Thirty-nine cities need more DNA than the Earth
DNA computing promised to beat exponential search with molecular parallelism. The counting that kills it is the argument Levinthal used to prove that proteins cannot be searching for their shape — and what survives the argument is not speed at all.
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Kill both species at the same rate and you get more of the pest
The predator–prey model has an exact long-run average, and it sits in a strange place: raise the death rate of both species equally and the average prey population goes up. Volterra found it in fish-market ledgers in 1926.
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Below one it dies out. Above one it runs away. There is nothing in between.
The same threshold governs epidemics, nuclear chain reactions, PCR and surnames: if each unit produces on average fewer than one successor, extinction is certain. The knife edge is exactly at 1, and the mathematics was first worked out on Victorian family names.
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The herd immunity threshold is 66.7%, so why does the epidemic infect 94.1%?
The threshold is where an outbreak stops growing, which is nowhere near where it stops. It keeps infecting people well past that point, and the size of that overshoot is the argument for arriving at the threshold by vaccination rather than by illness.
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Fifty generations of perfect selection halves a recessive gene, and that is the best case
Suppose a recessive condition were lethal in every case, in every generation, with no exceptions. After fifty generations the allele has gone from 2% to 1%. The arithmetic explaining why was published in 1908.
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A radioactive atom does not know how old it is
An atom that has already survived a million years is exactly as likely to decay in the next second as one created moments ago. Exponential decay is the only continuous law with that property, and it is why half-life is a meaningful number at all.
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A magnitude 7 is not slightly worse than a magnitude 6
It releases about 32 times the energy. Logarithmic scales compress catastrophes into numbers that look adjacent, which is exactly the problem with reporting them.
この分野のすべてのツール
1操作あたりのエネルギー
体温環境下で一ビットを消去するには最低でも2.967 × 10⁻²¹ Jが必要であり、シリコン論理回路の動作はその337,077倍を消費します。同じ10 Whのバッテリーは、シリコンでは10,000時間しか持ちませんが、理論的下限においては384,500年間持ち続けます。
BMI(ボディマス指数)計算機
体型を全く変えずに体を拡大しても、BMIは変動します。175 cm、70 kgの基準体型は、一グラムの余分な脂肪もないにもかかわらず、191.4 cmでは過体重、141.6 cmでは低体重と判定されます。
DNAコドン翻訳ツール
DNA配列をアミノ酸に翻訳し、コドンを可視化して遺伝暗号を探ります
DNAデータ保存容量
誰もが言及するホモポリマー制約によって、一つの塩基が保持できる二ビットのうち0.9%が代償になります。試験管内の鎖にはアドレスが存在しないため、152塩基につき53塩基、すなわち34.9%をプライマーとインデックスが消費します。
DNA計算の規模
巡回セールスマン問題の二十都市は半グラムのDNAに収まりますが、三十九都市では地球1.46個分の重さになります。エンコーディングは単なる定数倍にすぎないため、各都市に20塩基費やそうと200塩基費やそうと、39都市のところに壁は立ちはだかります。
DNA鎖置換ゲート
DNAゲートが出力の90%に達するまでに38分かかるため、丸一日の化学反応で得られる回路の深さは37.5層になります。分子ロジックは一回あたりのエネルギーで約10⁴倍勝りますが、時間では10¹¹倍負けています。
PCR増幅シミュレーター
完璧なサイクルを三十回繰り返すと、一つの分子は1.07 × 10⁹に増幅されます。効率が5%落ちるだけで収量の半分以上である2.14倍を失うのは、不足分が一回足されるのではなく三十回掛け合わされるためです。
pH・酸塩基計算機
pH 1.5の胃酸が入った250 mLのグラスをコーヒーと同じpH 5.0に希釈するには791 Lの水が必要であり、pH 7には到達できません。強酸は、水自身のイオンが優位になる6.79で頭打ちになるからです。
SIR感染症モデル
SIR/SEIRモデルで疾病の広がりをシミュレーション — R0、集団免疫、流行曲線
アイソスタシーと山根
山の高さ一キロメートルにつき5.6 kmの根が浮力を生み出しており、氷山の89.46%に対して岩塊の84.85%が地下に潜っています。エベレストの地下にあるエアリーの49.55 kmの根は、このモデルが破綻し始める境界線なのです。
アロメトリー・スケーリング探索
皮膚の熱損失からは 0.67 乗が予測されるのに対し、実際の代謝量は mass^0.75 に比例して増加し、10,000 倍の質量範囲においてこの二つの指数は 2.09 倍の開きを生むため、この小数の違いを巡って一世紀にもわたる論争が続きました。
アンサンブル天気予報
ひとつのトイモデルの大気に対する、五十の予測。十六日目には五十の予測すべてがそれぞれの平均よりも精度が落ち、六十回の実行にわたりスプレッドは r = 0.80 で誤差を予測し、その平均自体は起こり得ない天気の図となる。
インタラクティブ周期表エクスプローラー
118種類すべての元素を、周期的傾向をリアルタイムに表示するヒートマップ、物質の三態を再現する温度シミュレーター、電子配置、ボーアモデル図とともに探究できます。
ギブズ自由エネルギーと自発性
石灰石は分解に 178.8 kJ/mol の熱を吸収しますが、843.1 °C を超えると自発的に進行します。熱が反応を逆転させられるかどうかは、ΔS の符号のみによって決まるからです。25 °C において、ΔG が 5.708 kJ/mol 変化するごとに、K の値は10倍になります。
タンパク質折りたたみ：レヴィンタールのパラドックス
21残基の鎖は全立体構造空間を一ミリ秒で探索し尽くしますが、五十残基では2,300年、百残基では10²⁷年かかります。このパラドックスが否定しているのは折り畳みという現象ではなく、そのアルゴリズムなのです。
ネルンストの式・電池電圧ラボ
濃度は電池の電圧をほとんど動かしません。25 °C、n = 2のとき、Qが百万倍変化しても0.18 V未満の変動しか生じないのです。一方、温度は傾きそのものを動かし、一桁あたり59.16 mVから、60 °Cでは66.10 mVへと変化させます。
パークの個体数調査
野生動物公園が動物の個体数を調査したところ、合計は想定と完全に一致しました。最初の『ジュラシック・パーク』の小説版には、現実の数学に基づいた統計学的な議論が二つ登場します。想定数に達した時点で打ち切られる調査が決して超過を報告できない理由と、体長の分布形状が繁殖の事実を暴く仕組みです。
ハーディー・ワインベルグ平衡
q = 0.01のとき、発症者は10,000人に一人、保因者は50人に一人となり、患者一人につき198人の保因者が存在します。すべての発症者を繁殖から除外しても、十世代でqは0.0091に下がるにすぎません。
パネットの方形計算機
一遺伝子雑種と二遺伝子雑種の交配、遺伝子型比と表現型比
ファラデーの電気分解の法則
電荷をファラデー定数で割ると電子の物質量（モル）になり、金属の質量は m = (Q/F)(M/z) に従います。めっきの厚さを計算したり、1 トンのアルミニウムを生み出す 2,979,980 アンペア時について求めてみましょう。
フェーン現象と雨蔭
気流が尾根を越えて吹き下ろす過程をシミュレートします。雲底の高さ、水蒸気の凝結量、そして風下側で生じる昇温のメカニズムを紐解きます。
プレート移動速度コンバーター
地質学的な時間スケールにおけるプレートの移動距離を移動速度に変換し、将来の距離を予測します。
ベイズ的バイオシグネチャー更新
バイオシグネチャー検出にベイズの定理を適用します。生命の事前確率、装置の感度、偽陽性率を設定して、真の事後確率を確認しましょう。
ヘスの法則と反応エンタルピー
炭素を燃やして純粋な一酸化炭素だけを得ることは不可能です。それでも、引き算を用いることで、その生成熱は0.1 kJ/molの精度で分かっています。実測された反応を方程式のように足し合わせると、ベンゼンは構造式に描かれた二重結合の環よりも 150.4 kJ/mol 安定であることが導かれます。
ミカエリス・メンテン反応速度論
半分の速度を出すにはKmと等量の基質が必要で、90%なら九倍、99%なら九十九倍を要するため、Vmaxは実測できず常にフィッティングで求められます。競合阻害剤はVmaxを100のまま据え置き、Kmを5から13.33へと動かします。
ランベルト・ベールの法則
A = εcℓは一つの掛け算であり、吸光度は底を10とする対数です。そのため、吸光度の最初の1単位で光の90%が失われ、次の1単位でさらに9%が失われます。分光光度計が最も正確に測定できる値はA = 0.4343であり、これより高くても低くても精度は落ちます。
ルイス構造・VSEPR分子ラボ
2Dで分子構造を作成し、その3D VSEPR幾何学、軌道葉、ハイブリダイゼーション、および結合角を探索します。
個体数成長とカオス
連続時間と離散時間の両方でのロジスティック成長 — 安定平衡からカオスまで
分圧（ドルトンの法則）：ダイビングと高地
空気中の酸素分圧は水深56.43 mで1.4 barに達する。ナイトロックス32では33.44 m、純酸素ではわずか3.85 mである。ドルトンの法則の解説と、エベレスト山頂で肺に届く酸素が海抜ゼロメートルの3分の1未満になる理由。
分子時計計算機
一つの不一致を含む十三塩基の配列は、分岐年代を8.1百万年と算出します。不一致を一つ増やすだけで年代は17.2百万年へと跳ね上がりますが、これが誤差範囲を示さずに引用された分子時計の実際の姿です。
分留とエタノール・水系の共沸
ラウール則によれば、10 mol%のエタノール原液は12段で99.954 mol%に濃縮されます。しかし実際の混合液は、段数をどれほど増やしても、実測値で質量分率95.57%、沸点78.17 °Cの共沸点を超えることはありません。
化学平衡とルシャトリエの原理ラボ
H₂ + I₂ ⇌ 2HIの体積を半分にしても、転化率は関係なく78.0%に留まります。アンモニアを2 Lから0.25 Lへ圧縮すると、36.7%から69.3%へと上昇します。体積にかかる指数は−Δnであり、それ以外の何物でもありません。
反応速度論計算機
60 kJ/molの反応を4 °Cの冷蔵庫から20 °Cの部屋に移すと、16 Kの上昇で4.1倍速くなります。Q10は反応ではなく温度の指標であり、同じ反応でも冷蔵庫の中では2.13、沸騰水中では1.52となります。
国の形と国旗チャレンジ
国の輪郭、国旗の対称性、首都を通して、地理と数学の知識を試します。
地図投影のゆがみラボ
緯度を動かし、メルカトル図法と正積図法の面積と形の交換を比べます。
地温：地下の季節
地表面は1年や1日という周期で温まったり冷えたりを繰り返し、その温度変化の波は減衰しながら遅れて土中へと伝わります。なぜ減衰と遅れが同一の数値で表されるのか、地下のどこで季節が逆転するのか、そしてなぜ夜の冷え込みが地下わずか半メートルにすらほとんど届かないのかを見ていきましょう。
地震のマグニチュードとエネルギー
マグニチュードが一つ上がるとエネルギーは31.62倍になり、地動は10倍になります。どちらも正しく、それぞれ異なる問いに答えているのです。一つのマグニチュード8に匹敵するには、マグニチュード6の地震が1000回必要になります。
大円航路
ロンドンからロサンゼルスへの最短飛行ルートは、北西に向かって出発し、グリーンランド南部を横断して、南西に向かって着陸します。一定のコンパス方位を保つと 9,732.5 km であるのに対し、このルートは 8,760.1 km です。地球儀上の二つの地点をドラッグして、方位が変化する様子を観察してみましょう。
希釈計算機
C₁V₁ = C₂V₂を使って希釈に必要な原液と溶媒の量を計算します。
捕獲を伴うロジスティック成長
一定割合の捕獲下でのロジスティック個体数成長をシミュレート — 安定平衡から個体群崩壊まで
捕食者-被食者ダイナミクス
ロトカ・ヴォルテラ個体群動態シミュレーター。
放射年代測定計算機
炭素14が62%残っている木材の年代は3.952 kyrと算出され、その割合における1%の誤差は、年代の2.1%の誤差になります。
放射性崩壊計算機
炭素14の半減期を五回経ると28,650年が経過し、3.125%が残ります。千の原子核から計算すると31.25個になりますが、四分の一の原子核など存在しません。つまり計数はポアソン分布に従い、約±18%のばらつきが生じます。
束一的性質：凝固点、沸点、浸透圧
凝固点が1ケルビン低い溶液は、25 °Cで13.29バールの浸透圧を示します。四つの束一的性質はすべて溶質粒子の数のみに依存し、モル凝固点降下は水が持つ融解潜熱の別の姿にすぎません。
格子上の気象
風は 100 s の1ステップで 1 km 進みます。格子幅を 1 km にすればスキームは厳密解を与えます。これを 667 m に狭めると、同じモデル、同じ風、同じ物理法則であるにもかかわらず、ステップ 44 で初期ピークの 10 倍を超え、最終的に 1.8 × 10³⁰ へと発散します。
森林火災シミュレーター
密度を0.57から0.62へ進めると、焼失面積は森の7.6%から87%へと跳ね上がり、その中間の状態は存在しません。0.59の場合、同じ森でもどの地図を描いたかという違いだけで、7.6%、58.8%、あるいは19.3%が燃え上がります。
溶解度積 (Ksp) と共通イオン効果
クロム酸銀のKspは塩化銀より158倍小さいにもかかわらず、その溶解度は4.92倍も高くなります。ここに挙げる十一種の塩のうち六種は、Kspで順位付けしたときと溶解度で順位付けしたときとで順番が入れ替わります。モール法による滴定が成立するのはこのためです。
災害再現期間と生涯リスク
100年確率の洪水は30年のローン期間において26.03%のリスクであり、一つの再現期間を丸々経ても63.40%であって、決して確実ではありません。設計用の475年地震は、50年で10%というリスクを逆算したものです。
蒸気圧と沸点（クラウジウス・クラペイロンの式）
エベレストの山頂では水は71.8 °Cで沸騰し、10.5 psiの圧力鍋では115.8 °Cで沸騰します。ひとつの潜熱がその両方を1度以内の誤差で予測し、蒸気表を見れば、その単純な法則がどこで破綻するかが正確にわかります。
燃料と酸素それぞれの燃焼熱
メタンは一キログラムあたり50.03 MJ、グルコースは14.10 MJの熱を出しますが、酸素一キログラムあたりではどちらも約13 MJになります。十六種類の燃料について、一モルあたり、燃料一キログラムあたり、酸素一キログラムまたは一リットルあたりの熱量を比較し、なぜ脂肪が一グラムあたりでは糖に勝るのに、一呼吸あたりでは劣るのかを見てみましょう。
生物多様性指数計算機
シンプソンの優占度指数 λ = Σpᵢ² は、規制当局が市場の独占を見抜くために使うシェアの二乗和と同じであり、100 個体のうち 80 個体を一つの種に偏らせると、種の豊富さは 5 を保ったままでも均等度は 0.48 まで急落します。
結晶の充填：金属の空間はどのくらい埋まっているのか
面心立方格子と六方最密充填の充填率はどちらも74.05%であり、これ以上密に詰まる構造はありません。金属を選ぶと、格子定数から充填率、原子半径、密度を計算します。また、鉄が912 °Cを超えて加熱されると密度が高くなる理由や、亜鉛の充填率が鉄より低い理由もわかります。
血中アルコール濃度：体内の分解プロセス
体重80 kgの男性が4パイント飲んだ場合、平均的な分解速度では血中アルコール濃度は1.26 g/Lでピークに達し、04:05に0.5 g/Lを下回ります。健康な人の分解速度の範囲では02:05から08:05の間になります。ワトソンの体内水分量を用いたウィドマークの計算式を使用しています。
質量分析における同位体パターン
塩素一つでM+2ピークはMの32.00%に、臭素一つなら97.28%になります。好きな化学式を入力して、同位体分布の全体像を確かめてみましょう。ジブロモメタンで最も高いピークがM+2になる理由や、インスリン分子のうちモノアイソトピック質量を持つものがわずか2.90%にとどまる理由が見えてきます。
酸塩基滴定
pKa 4.76の0.1 M弱酸はpH 2.88を示し、強酸が示す1.00とは異なりますが、中和にはどちらも同じ25.00 mLの塩基を必要とします。酸の強さは滴定曲線の形を変えるだけで、終点の位置は決して変えません。
酸素解離曲線
ヒル方程式による飽和度、ボーア効果、動脈血酸素含量。そして一リットルの血液が実際に供給する酸素量について。
限界反応物と化学量論
6 gの水素は2.9762 molを供給し、窒素の0.9995 molよりも多いにもかかわらず先に尽きます。係数で割ると0.9921対0.9995となり、この小さな方の数値が反応を制限するからです。