放射年代測定計算機

地質学に焦点を当てた同位体年代測定と、時間スケールの適合性に関する指針。

計算例 — 放射年代測定計算機

推定年代	3.952 kyr
不確かさの範囲	2.796 kyr – 5.295 kyr
半減期	5.73 kyr
崩壊定数	1.21 × 10⁻⁴ /y
一般的な適用範囲	0–60 kyr

ページを開いたときに計算機が表示する値です。上の入力を変えると再計算されます。

インタラクティブシミュレーションを読み込んでいます...

何も漏れ出していなければ、時計は正しく動く 🖖

放射性年代測定は、放射性崩壊の一定の統計法則 N(t) = N₀ e^(-λt) に依存しています。不安定な親原子を含む試料において、単位時間あたりの崩壊確率は一定であり、温度、圧力、または化学結合の影響を受けません。これにより、極めて精度の高い時計が得られます。残存する親同位体と蓄積された娘同位体の比率を測定することにより、地質学者は岩石が冷却されて結晶構造が固定されてからの経過時間を計算できます。ただし、この時計には閉鎖系が必要です。風化や変成作用によって同位体が流出すると、時計は狂ってしまいます。現代の地質年代学者は、複数の崩壊系を並行して使用します。

半減期は自然のストップウォッチ 🖖

鍵となる考え方は半減期、すなわち放射性の親核種の半分が娘核種へ崩壊するのにかかる一定の時間です。半減期1回で親は50%、2回で25%、3回で12.5%残ります。割合は各期間ごとに半分になるので、残った親の量から何回分の半減期が過ぎたかが分かります。親の割合に0.25を入力すると、ツールは半減期2回分の年代を示します——炭素14(半減期 ≈ 5,730 年)なら約 11,460 年です。

ボムパルスは生者を年代測定する 🖖

1955年から1963年の大気圏核実験は、大気中の炭素14をほぼ倍増させ、鋭いボムパルスを生み出しました。1963年の核実験禁止条約の後、この過剰な放射性炭素は海洋や植物に取り込まれて着実に減少しました。法科学者は今日、この減少を歯のエナメル質や水晶体の組織から読み取り、人の生まれた年を1〜2年の精度で特定します——さらに1950年以降に作られた偽造ワインや絵画を暴くのにも使われます。

放射年代測定 — 試料に合う時計を選ぶ

あなたの試料にはどの同位体時計が合うか

どの放射時計も同じ式 t = ln(1 + D/P)/λ を解きますが、どれも自分の適用範囲の外では役に立ちません。半減期が短すぎれば親核種は消えてしまい、長すぎれば測れるほどの娘核種がたまりません。つまり選択は二重です。想定する年代と、その材料が実際に何を含んでいるかです。

炭素 14 — 有機物、過去 6 万年まで 5730 y — to ~60 kyr

カリウム–アルゴン — 火山岩、数十万年から数十億年 1.25 × 10⁹ y

ウラン–鉛 — ジルコン結晶、深い過去 4.47 × 10⁹ y

ルビジウム–ストロンチウム — 非常に古い岩石、娘核種が最初からあった場合 4.88 × 10¹⁰ y

炭素 14 — 有機物、過去 6 万年まで

わかっていること: 試料はかつて生きていたもの。木材、木炭、骨、繊維など。娘核種ではなく、残っている ¹⁴C の割合で年代を出す。

半減期: 5730 y — to ~60 kyr

計算例: 元の ¹⁴C の 62 % が残存、半減期 5730 年 → t = ln(1/0.62)/λ ≈ 3950 年

この型を開く: 木製の遺物

炭素 14 — 有機物、過去 6 万年まで. 短い半減期は人間の時間尺度での精度を買うが、その先は何も買えない。試料はかつて生きていたもの。木材、木炭、骨、繊維など。娘核種ではなく、残っている ¹⁴C の割合で年代を出す。 — 短い半減期は人間の時間尺度での精度を買うが、その先は何も買えない。

カリウム–アルゴン — 火山岩、数十万年から数十億年

わかっていること: 試料は融体から結晶化した火成岩。娘核種はアルゴンガスで、固結したあとにはじめて鉱物に閉じ込められる。

半減期: 1.25 × 10⁹ y

計算例: Ar/K = 1.2、半減期 1.248 × 10⁹ 年 → t = ln(2.2)/λ ≈ 14.2 億年

この型を開く: 玄武岩の溶岩流

カリウム–アルゴン — 火山岩、数十万年から数十億年. 融体が固まり、最初のアルゴン原子を閉じ込めた瞬間に時計が動き出す。試料は融体から結晶化した火成岩。娘核種はアルゴンガスで、固結したあとにはじめて鉱物に閉じ込められる。 — 融体が固まり、最初のアルゴン原子を閉じ込めた瞬間に時計が動き出す。

ウラン–鉛 — ジルコン結晶、深い過去

わかっていること: 試料にはジルコンが含まれる。結晶は成長時にウランを取り込むが鉛は排除するので、内部の鉛はすべてその場の崩壊で生まれたもの。

半減期: 4.47 × 10⁹ y

計算例: Pb/U = 0.98、半減期 4.468 × 10⁹ 年 → t = ln(1.98)/λ ≈ 44.0 億年

この型を開く: ジルコン結晶

ウラン–鉛 — ジルコン結晶、深い過去. ウランが入り鉛が出る：二つの時計を持ち、互いを検算させられる結晶。試料にはジルコンが含まれる。結晶は成長時にウランを取り込むが鉛は排除するので、内部の鉛はすべてその場の崩壊で生まれたもの。 — ウランが入り鉛が出る：二つの時計を持ち、互いを検算させられる結晶。

ルビジウム–ストロンチウム — 非常に古い岩石、娘核種が最初からあった場合

わかっていること: 半減期は 488 億年、地球の年齢の 10 倍。ストロンチウム 87 の一部は最初から存在していたので、一度の測定では足りない。

半減期: 4.88 × 10¹⁰ y

計算例: Sr/Rb = 0.05 → t = ln(1.05)/λ ≈ 34 億年。誠実にやるなら、初期ストロンチウムを押さえるために複数の鉱物が要る

U-Pb の型を開き、系を Rb-Sr に切り替える

ルビジウム–ストロンチウム — 非常に古い岩石、娘核種が最初からあった場合. すでに存在していた娘核種：一度の測定では足りず、複数点に直線を当てる。半減期は 488 億年、地球の年齢の 10 倍。ストロンチウム 87 の一部は最初から存在していたので、一度の測定では足りない。 — すでに存在していた娘核種：一度の測定では足りず、複数点に直線を当てる。

参考文献 (1)

Insight block 3 — the bomb pulse dating living tissue: K. L. Spalding, B. A. Buchholz, L.-E. Bergman, H. Druid and J. Frisén, "Age written in teeth by nuclear tests." Nature 437, 333–334, 2005.

全プロセスの詳細解説

元の炭素14の62%を保持する木材試料 5 ステップ
木片試料に元の炭素14の62%が残されている。その年代を求めよ。そして、この手法の両端、すなわちシグナルが途絶える限界と、算出された年代が元となる測定値よりも精度が低くなる理由を見出せ。
1. 崩壊は指数関数的であり、半減期は ln 2 を介して崩壊定数へと変換される。5730 年の半減期は、1 年あたり 1.21 × 10⁻⁴ となる。
  
  $N = N_{0} e^{- λ t}, λ = \frac{ln 2}{t _{1/2}} = \frac{0.6931}{5730} = 1.21 \times 1 0^{- 4} y r^{- 1}$
2. 崩壊法則を時間について逆算する。対数を取ることで、残存割合から直接年代が導かれる。
  
  $t = \frac{1}{λ} ln \frac{1}{f} = \frac{ln ( 1/0.62 )}{1.21 \times 1 0 ^{- 4}} = \frac{0.4780}{1.21 \times 1 0 ^{- 4}} = 3952 yr$
3. 計算結果を鵜呑みにせず半減期と照合して確認する。3952 年は 0.690 半減期であり、2^(−0.690) は 0.620 となる。これら2つの経路の結果は一致する。ln 2 が両者を結ぶ唯一の橋渡しであった以上、一致するのは当然である。
  
  $\frac{3952}{5730} = 0.690 half-lives, 2^{- 0.690} = 0.620 ✓$
4. 次に微分を行う。年代の相対誤差は、割合の相対誤差を ln(1/f) で割ったものであり、ここでは 2.09 倍となる。1% の精度の測定からは 2.1% の精度の年代が得られるが、より新しい試料ほどこの増幅は悪化する。なぜなら、ln(1/f) は f が 1 に近づくにつれてゼロに向かって小さくなるからである。
  
  $\frac{Δ t}{t} = - \frac{1}{ln ( 1/ f )} \cdot \frac{Δ f}{f} = - 2.09 \frac{Δ f}{f}$
5. もう一方の限界ではシグナルが途絶える。10半減期（57 300 年）の後には元の炭素14の 0.098% しか残らず、計数統計が背景放射に埋もれてしまう。
  
  $10 t_{1/2} = 57300 yr : 2^{- 10} = 0.098% remains$
解答

ツールは 3.952 kyr という値を、5.73 kyr の半減期と年あたり 1.21 × 10⁻⁴ の崩壊定数から出力する。ツールが出力できないのは、両側に存在する限界壁である。新しい試料は誤差の増幅によって限界を迎える。f が 1 に近いと ln(1/f) が 0 に近づき、年代の不確実性が急増するため、前世紀のものを炭素年代測定する者は誰もいない。古い試料は枯渇によって限界を迎える。10半減期の後には元の原子の1000分の一しか残らず、パネルに表示される有効範囲が 60 kyr 付近で停止するのはそのためである。あらゆる年代測定法にこの一対の限界壁が存在し、測定法によって異なるのはその間にある数値だけである。システムを U–Pb に切り替えると、半減期はほぼ6桁跳ね上がり、両側の壁もそれに伴って移動するため、たった今たき火の年代を測定した手法では、100万年より新しいものを測定することはできなくなる。

$t = \frac{ln ( 1/ f )}{λ} = 3952 yr; \frac{Δ t}{t} = \frac{1}{ln ( 1/ f )} \cdot \frac{Δ f}{f}$

学習の道すじ

岩の中の時計

この次に分子時計残量ではなく時間について解き直した同じ法則。初期量を把握する必要のない、親核種に対する娘核種の比率による測定。そして、試料が閉鎖系となってから物質の出入りが一切ないという、ただ一つの前提条件

42Math チーム · 更新 2026-07-27

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例題

木製の遺物 - 考古学的な時間スケールにおける有機物遺物の炭素14年代測定。
玄武岩の溶岩流 - K-Ar法による、数百万年オーダーの火山岩の年代推定。
ジルコン結晶 - 地質学的な超長期スケールのためのU-Pbジルコン年代測定。