放射性崩壊計算機

炭素14の半減期は5730年であり、ある試料がその5回分放置されています。残存量を求め、この滑らかな指数関数が現実の対象を記述しなくなる境界を見つけなさい。

1. 崩壊定数は半減期のことではありません。これは任意の1つの原子核が1年あたりに崩壊する確率であり、半減期によって失われる割合の因子がそれであるため、この2つは ln 2 によって関連付けられています。

   $$\lambda =\frac{\ln 2}{t_{1/2}}=\frac{0.693147}{5730}=1.21\times 10^{-4}\mathrm{y}{\mathrm{r}}^{-1}$$

2. 5半減期とは5回の半減を意味します。残る割合は1/2の累乗であり、指数関数の形式を用いても同じ数値が得られます。

   $$\frac{N}{N_0}={\left(\frac{1}{2}\right)}^5=0.03125=3.125\%$$

3. 1000個の原子核から、31.25個が残ります。探していた問題はここにあります。原子核の4分の1というものは存在せず、滑らかな曲線は静かに試料の実態を記述しなくなっているのです。

   $$N=1000\times 0.03125=31.25$$

4. 実際に残るのは、31に近い平均値を持つランダムな数値です。崩壊はポアソン過程であるため、ばらつきはカウント数の平方根となります。1回の測定では約±18%であり、試料を増やさない限り、平均化によってこれを取り除くことはできません。

   $$\sigma =\sqrt{31}=5.6⟹\pm 18\%\text{on a single count}$$

5. 経過時間は5半減期、すなわち28,650年です。時間をその2倍にすると、1000個中1個の原子核しか残らないため、放射性炭素年代測定は約5万年で限界を迎えます。これは物理法則が変わるからではなく、シグナルがコンタミネーション（汚染）と区別できる水準を下回るためです。

   $$t=5\times 5730=28650\mathrm{yr};{\left(\frac{1}{2}\right)}^{10}=0.098\%\text{at}57300\mathrm{yr}$$