L1: 基礎
オームの法則だけでは語れないこと
PHYオームの法則が扱うのは、そのページにもあるとおり、温度が一定の一つの抵抗器に直流を流し、回路内にほかの素子がない場合です。続くページでは、この条件から外されたものを一つずつ回路に戻します。二つ目の素子、導線、電池、単純化できない回路、そして変化する電圧です。
物理学
物理学は、無関係に見えるものが同じ方程式に従うことを繰り返し発見してきました。振り子とばねと同調回路は、三つの衣装をまとった一つの問題であり、ここではその三つすべてを動かせます。
Newest in this category
- コンデンサーと蓄えられるエネルギー 抵抗を通して一定電圧の電源からコンデンサーを充電すると、抵抗値によらず、供給されたエネルギーの半分が熱になります。電源電圧を10段階に分けて上げれば、発熱量はその1/10に減ります。
- ダイオードと0.7 Vの近似 室温では、ダイオードの電流はピコアンペアの領域から、電圧が59 mV上がるごとに10倍になります。導通が始まる境目の電圧はありません。曲線が折れ曲がって見える位置は、軸の取り方で変わります。0.7 Vとみなす近似の誤差は、電源電圧が5 Vなら0.27%、1 Vなら19.89%です。
- インダクタと遮断スパイク 30 mAが流れる12 Vのコイル。そのスイッチを開いた瞬間、端子には360.2 Vもの電圧が現れます。電流は一瞬では止まれないからです。コイルにダイオードを並列につなぐと、電圧を12.74 Vに抑えられるだけでなく、このモデルでは電流の切れ味もむしろ良くなります。
章
単体のツールではなく、短い系列として。各ステップは次のステップに具体的なものを渡すので、順番に進める価値があります。
L2: 中等
光の屈折
PHYレンズとは、誰かが曲げた境界です。この先のどのページにも、最初のページにない物理学は登場しません。変わるのは、私たちがそこにどこまで多くを求めるかだけです。一つの面、次に理想的なレンズ、そしてひとつのガラス片へと。
L2: 中等
単純機械：力と距離の交換
PHY五つの機械。そして一つの取引。どれもエネルギーを生み出すことはありません。しかし、どの機械でもエネルギーの使い方は選べます。より小さな力で長い距離を動かすか、それともその逆か。一段階進むごとに、この取引の具体的な要素が次へと手渡されていきます。最後までたどり着いたとき、たった二つの問いを立てるだけで、どんな機械の仕組みも読み解けるようになっているはずです。
L2: 中等
円運動と波は同じ運動
MATH三つの道具。この一連の学習の核心は、これらが三つの別々のテーマではないという点にあります。正弦波とは等速円運動を真横から見た姿であり、重力がその回転を担うとき、それは揺れる振り子として現れるのです。
L2: 中等
抵抗、そしてリアクタンス
PHYコンデンサーは抵抗をもたないのに電流を抑える。しかも、定めるのは抵抗値ではなく時間である。次のページでは、蓄える要素と失う経路を一つずつもつ系なら、どれにもこの時間が現れることを示す。三つ目のページで蓄える要素をもう一つ加えると、時間は周波数に変わる。
L2: 中等
水槽からの流出：一つの速度、二通りの使い道
PHY一つの結果から導かれる、二つの道具。水が穴から流れ出る速さは、石が同じ深さを自由落下して達する速さと全く同じです。あとは、その速さがどの方向へ向かうか次第です。横へ向かえば放物運動となり、下へ向かえばタンクが空になっていくのです。
L2: 中等
一つのばねから定常波へ
PHYひとつの復元力。その行き着く先を見届けましょう。ばねにつながれたおもりは振動します。それが一列に並べば振動を隣へと伝え、出会ったふたつの波は強め合うか、打ち消し合うかを定めます。そして両端の境界は、そこに収まらない振動数をすべて切り捨てるのです。
L2: 中等
最小時間、最小作用
PHY光が進む道、滑り落ちるビーズの軌跡、投げ上げたボールが描く弧。これらはみな、経路をわずかにずらしても合計値に一次の変化が生じない道を選びます。前のふたつなら「時間」、ボールなら「作用」の合計です。どのページでも、皆さんが自分で経路を曲げ、合計値がほとんど変化しない様子を確かめられます。さらに、そのうちのふたつのページでは、合計値が最小ではなくとも停留する経路を探ります。
L2: 中等
回転と角運動量
PHY回転する物体は、角運動量というベクトルを持っています。回転にまつわる驚くべき現象のほとんどは、このベクトルが変化を拒むことから生まれます。回転台の上で腕を縮めると、回転は速くなります。車輪は倒れずに横へ回り、ラケットは反転します。床が下で回っていても、振り子の振動面はそのままです。
L2: 中等
量子力学：波としての物質
PHY光はエネルギーの束として届き、その同じ定数 h があらゆる粒子に波長を与えます。残りの現象はすべて、この波としての性質をありのままに受け入れることから導かれます。箱の中に閉じ込めればゼロではない最低エネルギーを持ち、乗り越えられないはずの壁からは漏れ出し、狭い空間に押し込めば多様な波数へと広がっていく。これこそが不確定性原理なのです。
L3: 学部
荷重はどこへ流れるか
PHY全七ページを貫く問いは、構造物のどの部分が、どのような形で実際に重さを支えているのか。まず一本の梁の内部を調べる。中央部はほとんど働いていない。最後に扱うのは、部材の数が方程式より多いにもかかわらず、崩壊する荷重だけは正確に決まるトラスである。
L3: 学部
熱伝導方程式、波動方程式、ラプラス方程式
PHYひとつの演算子であるラプラシアンを土台としながら、時間の振る舞いだけが異なる三つの方程式。熱は忘却します。最も鋭い細部から先に。波は乱れを彼方へ運び去りますが、平面上ではいつまでも波紋が届き終えることはありません。ラプラス方程式には時間が一切含まれません。それは熱が忘却の果てに行き着く先、すなわち、すべての点が周囲の平均値と等しくなった状態なのです。
L3: 学部
天気予報の仕組み
GEO天気予報とは、誰も正確には知り得ない初期状態からモデルを先に進める計算です。そのため何度も計算を繰り返し、結果のばらつきを見てどの程度信用できるかを判断するのです。次のページではこのモデルの中身をのぞき込み、カオスとは無関係に予測が破綻する仕組みを見ていきます。三ページ目で立ち返るのは1963年のローレンツの方程式です。そこでは軌道上の現在地はすぐに分からなくなりますが、軌跡が描く形が失われることは決してありません。
全プロセスの詳細解説
- 3 kgの台車と弾性衝突する2 kgの台車
- 平地で10 Nで押される2 kgのブロック
- 太陽は毎秒どれだけの水素を燃やすか
- 5 V 電源と 220 Ω 抵抗の赤色LED
- 40 mm の物体（凸レンズの 250 mm 前方）
- 中央三分の一の確率が三分の一へ近づくしくみ
- 20° で放たれた 1 m の振り子の周期
- 亜鉛板に当てる紫外線
- 比例ゲインのみの制御器が実際に整定する位置
- 真空の公式の解63.7 mが28.0 mになる理由
- 平地から 20 m/s と 45° で発射されたボール
- 100 μF のコンデンサ（10 kΩ を介して 5 V の電源から充電）
- 駆動軸の寸法計算：中実軸と中空軸
- 4 rad/sで駆動される16 N/mのばね上の1 kg
- 8-bitコンバータにおける1ビットあたり6 dBの法則と端数の1.76
- 空気中から水へ 30° で入射する光
- 60 cm と測定されるメートル尺（0.8 c において）
- 1 m の弦の最低音（波が 343 m/s で伝わる）
- 一枚の紙にはどれほど綺麗な投擲が必要か？
- 原子の大きさはなぜ決まるのか
- 距離2で波長0.5の2つの波源
- 引き寄せる途中で最も強く引く力がいるのはどこか？
- ゴールを好きなだけ低くする
- 回収率を 80% から 90% にするには、どれほど大きくする必要があるか？
ここでわかること
これらのツールから生まれた記事
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A machine that holds its own load is always under half efficient
Self-locking and "wastes more than half of what you put in" turn out to be the same inequality written two ways. That is why a bolt needs no ratchet, and why turning one is such miserable work.
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You can derive the pendulum formula without knowing any physics. Almost.
Dimensional analysis hands you the form of a law from the units alone: which quantities matter, and how. What it cannot hand you is the pure number in front, and knowing exactly where the method stops is what makes it useful.
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Ten degrees on the fire is worth 8.2 joules. Ten degrees off the river is worth 16.7.
Carnot efficiency depends on both temperatures, but not equally: dropping the cold side beats raising the hot side by a factor of T_H/T_C. Awkwardly, the cold side is usually a river you do not control.
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Four tools on this site are running the same equation. Its parameter has four names.
RC, 1/λ, 1/k and the membrane time constant are one quantity in four disguises. Learn it once and you own it in four subjects. The conversion people get wrong is half-life.
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Resonance is a phase relationship, not a peak
The amplitude peak of a driven oscillator shifts with damping and can vanish entirely, but the phase lag passes through exactly 90 degrees at the natural frequency for every damping value. Phase is the definition; the peak is a symptom.
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The pendulum formula quietly assumes a small swing
T = 2π√(L/g) is not the period of a pendulum. It is the period of a pendulum that barely moves, and the error grows to nearly 16% by the time the swing reaches 85 degrees.
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Why no piano is in tune
Twelve perfect fifths land 23.46 cents above seven octaves. That gap cannot be closed by any tuning, because it is a fact about prime numbers rather than about music, and every keyboard you have played is a negotiated settlement over it.
この分野のすべてのツール
Mechanics & Motion
アーチ、ケーブル、そして推力線
10 mの幅を持つ半円形の石造アーチは、厚さ0.54 mなら自立し、0.45 mなら崩落します。その際、石材にはほとんど応力がかかっていません。一方、垂れ下がる鎖を上下逆さまにすれば、ほぼ厚みがなくても自立するアーチが生まれます。
オイラーの座屈と細長柱
長さ 3 m の鋼支柱は 8.72 kN で座屈します。これを約3倍の強度を持つ鋼に交換しても、座屈荷重は 8.72 kN のままです。最後の1桁まで全く同じ値になるのは、オイラーの公式に含まれるのが強度ではなく剛性だからです。
コリオリの力とフーコーの振り子
パリでは、フーコーの振り子の振動面は1時間に 11.32°回転し、一周するのに 31.79時間かかります。赤道上では全く回転しません。洗面台の水には約 10⁻⁶ g のコリオリの力が働き、フライベルクの深さ 158.5 m の立て坑に石を落とすと、東に 27.65 mm ずれて着地します。
ジェットコースター・エネルギーシミュレーター
カスタマイズ可能なジェットコースターのコース上で運動エネルギーと位置エネルギーの交換を見る
ジャイロスコープ
10 rev/sで回転する自転車の車輪を、車軸を水平にして支点上で手放すと、18.12秒で一回りする横方向への回転を始めながら0.597°沈み込みます。回転速度を二倍にすると、横に回る速さは半分になり、沈み込む深さは四分の一になります。
ダルシーの法則と地下水流
礫、砂、粘土を水がどれだけ通過するか。間隙を抜ける水自体の本当の速さ。そしてこの法則の線形性が破綻する勾配。
タンクからの流出
底の穴からは4.20 m/s、上の穴からは2.43 m/sで水が噴き出しますが、どちらも着水点は1.039 mとなります。真ん中の穴はこれらを上回る1.200 mまで飛びますが、これはちょうど水深と同じ値であり、どのようなタンクであっても水深より遠くまで水を飛ばすことはできません。
タンクの排水とトリチェリの減衰
トリチェリの法則に従ってタンクが空になる様子を観察しましょう。流出速度が水深の平方根に比例するため、水位は放物線を描いて下がります。
てこの種類と機械的利益
二つの腕の長さと荷重を設定し、必要な力、機械的利益、そして力点の移動距離がどう変化するか観察してください。てこの種類はあなたが押したボタンではなく、その幾何学的な配置によって決まります。
テニスラケットの定理
三つの異なる慣性モーメントを持つ物体を中間軸の周りで回転させると、角運動量は一定に保たれたまま、数秒ごとに反転を繰り返します。1 : 2 : 3 の物体を 1 rev/s で回転させ、10⁻³ の揺らぎを与えた場合、4.38 s ごとに反転します。揺らぎを千分の一にしても 3.81 s しか長くなりません。また、エネルギーを散逸する物体は、最終的に最大慣性モーメントの軸の周りを回転するようになります。
トラス解析と節点法
プラットトラスとハウトラスは、どちらも同じ12の節点に同じ21本の部材を配置したものです。斜材を反転させると、長い部材に働く力が引張から圧縮へと変わります。鋼橋にプラットトラスが多いのはこのためです。
ナビエ・ストークス方程式：円柱周りの流れ
Re 47付近より下では、円柱の後流は安定して静止します。しかしそれを超えると、全く同じ方程式が永遠に振動し続けるのです。ブラウザ上でナビエ・ストークス方程式を解いてその境界を見つけ、摩擦のない円柱になぜ抗力が全く働かないのかを確かめてみましょう。
ニュートンの第二法則 (F=ma) シミュレーター
摩擦と斜面（任意）のあるブロックを押して、ニュートンの法則が働く様子を見てみましょう。合力、F=ma、そして物体にはたらく力をすべて示す自由体図が、その場でアニメーションになります。
ねじ山
スライダーで設定できる半径、ピッチ、摩擦の 116,280通りの組み合わせの中で、自立性を持つねじが達成できる最高の効率は 49.86% にすぎません。そして、スパナにかけるわずか 6.64 N の力が、1,000 N もの重さを空中に支えるのです。
バンク付きカーブ
半径200 m、片勾配8%のカーブでは、45.09 km/hなら摩擦を必要としません。それより遅いと摩擦力は車を外向きに押し、濡れた鏡氷上では停止した車が10%の斜面を滑り落ちます。乾燥路なら、バンク角が51.34°を超えると速度の上限がなくなります。
ベルヌーイの定理とベンチュリ効果
管を細くしてみましょう。流速は2乗で増し、圧力は4乗で落ちていきます。やがて水は蒸気圧に達し、速くなる代わりにキャビテーションを起こす様子が観察できます。
ポアズイユの法則と管内流れ
ポアズイユの法則から管内の流量を求めます。半径を半分にすると流量は16分の一になるという四乗則を、目で確かめられます。法則が成り立たなくなる範囲も示します。
モールの応力円と傾斜面の応力
鋼棒を100 MPaの力で引張ったとしましょう。その断面にはせん断応力が全く生じませんが、45°傾いた面には50 MPaのせん断応力が働きます。要素をθ傾けると、円上の点は2θ移動するのです。
レイノルズ数と流況
あらゆる流体、速度、管における層流と乱流。同じ管、同じ速度であっても、水と蜂蜜はその境界線の両側に位置します。そして、家庭の配管が層流になることはほぼありません。
不静定トラスと余剰材
三本の鋼棒が 150 kN の荷重を支えていますが、静力学が用意できる方程式は二つしかありません。三つ目の方程式は棒の伸びから導かれます。だからこそ、トラスに何もぶら下がっていなくても、中央の棒を 40 K 温めるだけで 19.88 kN の圧縮力が働くのです。
最小作用の原理
20 m 投げられて 2 s 後に受け止められたボールの作用は 67.9432 J·s です。水平を保った場合は 100 になります。その経路をどちらかに 1 m 曲げると、作用は等しく 1.2337 J·s 増加します。ばねの場合、半周期を過ぎるとこの法則は成り立ちません。
最速降下曲線：最も速い滑り台
ゴールから横に 1 m、上に 1 m 離れた位置からビーズを放すと、直線のスロープでは 0.6387 s、それより 0.060 m 長いサイクロイドでは 0.5830 s かかります。ゴールを 4 m 先まで遠ざけると、最速の軌道はゴールの 0.5 m 下まで一旦沈み込み、再び登ってくる曲線になります。
放物運動シミュレーター
45°の角度で打ち出した場合、飛距離は常に到達高度の四倍となり、射角が5°ずれると40.775 mの飛距離のうち62 cmが失われます。18 mの崖の上から打ち出す場合の最適角は37.248°まで下がり、45°のまま打ち出すと1.532 mもの飛距離を無駄にしてしまいます。
斜面、ねじ、くさび
斜面とねじとくさび。これらは、一つの形を三つの方法で利用したものです。角度と摩擦を設定し、形状がもたらすはずの理想的な利益と、実際に得られる利益とが離れていく様子を観察しましょう。
梁のたわみ計算機
同じ 5 m の梁に同じ荷重をかけても、たわみは両端ピン支持で 4.885 mm、両端固定で 0.977 mm、片持ちで 46.894 mm になります。梁自体には何も加えておらず、端の条件が変わっただけなのです。
歯車比・回転速度シミュレーター
四つの歯車、二通りの配置。歯数を設定し、どの歯車が出力比に貢献し、どれがただ一緒に回っているだけなのかを観察してみましょう。
浮力とアルキメデスの原理
40 kgの鉄のいかりをボートから池の底へ沈めると、ボートが25.0 mm浮き上がる一方で、池の水位は5.83 mm下がります。水に浮く物体はその重さと同じだけの水をしのけ、沈んだ物体はその体積と同じだけの水をしのけるからです。
深さと圧力
一つの底面上にある四つの容器が、0.5 m の高さまで満たされています。その容量は 1.606 リットルから 68.068 リットルまで様々ですが、どの容器も 4.896 kPa を示し、153.8 N の力で底面を押しているのです。
滑車の仕組みと機械的利益
荷重を支えるロープの数を数えれば、それがそのまま機械的利益になります。効率を変化させて、失われた力が実際にどこへ消えるのかを観察してみましょう。
空気抵抗・風を考慮した放物運動シミュレーター
空気抵抗と風を考慮した放物運動。
等加速度直線運動 (SUVAT) 計算機
等加速度直線運動の公式 (SUVATの式) を解きます。変位・初速度・最終速度・加速度・時間のうち任意の3つを入力すると、残りの2つが求められます。
終端速度とストークスの法則
球の沈降速度を、ストークスの法則とニュートンの抵抗則から求めます。また、ストークスの法則が成り立たなくなる半径を閉形式で導出し、グラフ上に網掛けで示します。
自由落下計算機
任意の重力のもとで、指定した高さから落とした物体の落下時間、衝突速度、運動エネルギーを計算します。
角運動量
ターンテーブルの上で二つの 2 kg のダンベルを 0.8 m の位置から 0.2 m へ引き寄せると、回転は 1 rev/s から 3 rev/s へと3倍になります。運動エネルギーも同様に 71.06 J から 213.18 J へと増え、腕がその差である 142.12 J の仕事を行います。角運動量がゼロの場合でも、腕を1回振るごとに 25° 向きを変えることができます。
転がる競争と慣性モーメント
2 m の斜面から、中身の詰まった球と輪を同時に静かに放してみましょう。それぞれの重さや大きさがどうであれ、球が下りきったとき、輪はまだ 0.600 m 後方にあります。5 kg と 0.2 kg の二つの円柱は、どちらも同じ 1.537 秒で下りきります。
軸のねじり：中実軸と中空軸
内径が外径の80%である中空軸は、中実軸と比べて36%の鋼材で59%のトルク容量を維持します。同じ動力を10分の1の速度で伝達するには、軸の太さを2.15倍にする必要があります。
輪軸の機械的利益
一つの軸に二つの異なる半径があります。それぞれの値を設定し、機械的利益、必要な操作力、そして一回転でどれだけの長さが移動するかを確認してください。
運動量と衝突の実験室
1次元の台車衝突をシミュレートし、運動量保存則、運動エネルギーの変化、反発係数を探求します。
Oscillations, Waves & Optics
1次元、2次元、3次元における波動方程式
弦、膜、そして空間に同じ衝撃を与え、5a離れた場所で波を観測してみましょう。弦はいつまでも0.5333だけ変位したままですが、膜はct = 20aの時点でも最大値の9.93%を保ちます。一方、空間では波が通過した瞬間に静寂が訪れます。
アラゴの斑点
光線光学によれば、円形の円盤は暗い円形の影を落とします。光が小さな角度で回折する限り成り立つフレネルの理論では、影の中心には円盤の大きさに関わらず、遮るものがない光線と同じ明るさの斑点が現れます。フレネル回折によって影を計算し、この斑点が点光源と真の円縁を必要とする理由を確認し、円盤をレンズに変えてみましょう。
カオス跳ねるボール実験室
多数のボールによる重力と衝突のサンドボックスで、2つの同時実行間の発散を追跡します。
スネルの法則 屈折シミュレーター
30°の角度で水に入る光は22.08°へと屈折し、2.11%が反射されます。魚の目には空全体が約98°の円錐の中に圧縮されて見え、53.06°の角度では反射光が完全に偏光します。
ドップラー効果シミュレーター
700 Hzのサイレンが30 m/sで移動しているとき、前方では767.1 Hz、後方では643.7 Hzに聞こえ、その平均は705.4 Hzとなります。代わりに観測者の方を同じ速度で動かした場合の平均はぴったり700 Hzになり、空気がどちらが動いたかを認識していることがわかります。
フェルマーの原理：ライフガードの問題
遊泳者にまっすぐ向かって走ると 22.90 s かかりますが、最速の経路はそれより距離が長くても 19.48 s で到達します。最適な地点から一メートルずれても、遅れはわずか 16 ms です。ミシガン湖で測定されたコーギー犬は、常に十分の一秒以内の誤差で最適な地点に飛び込みました。
フックの法則とバネの実験室
150 N/m のばねを二つ直列につなぐと 75 N/m になります。これを逆から見れば、どんなばねも自分自身の半分を二つ直列につないだものだと言えるため、ばねを半分に切ると弱くなるのではなく、かえって硬くなるのです。
ブラッグの法則とX線回折
誰も見たことのない二つの原子の間の距離を、小数点以下第五位まで正確に測定する方法。ブラッグの法則は、目盛りから読み取れる角度を、手の届かない原子間距離へと変換します。
マリュスの法則と直交偏光板
偏光フィルターを重ね合わせ、マリュスの法則に従って光がどう透過するか観察してみましょう。直交する二枚のフィルターは光を完全に遮断しますが、その間に三枚目を45°で挟むと12.500%の光が透過するようになります。同じ直角の範囲に十枚のフィルターを配置すれば、37.957%に達します。
レンズ・結像スタジオ
物体とレンズのパラメータを動かして、主光線とレンズの公式の更新とともに実像・虚像の形成を見てみよう。
二重振り子エクスプローラー
二重振り子のカオスをインタラクティブにシミュレーション。
信号のサンプリングとナイキストの定理
事前にフィルタを通さずに 44.1 kHz でサンプリングすると、誰にも聞こえないはずの 30 kHz の音が、人間に聞こえる 14,100 Hz の甲高い音となって最大の強さで現れます。サンプリング後にどのような処理を行っても、これを再び分離することはできません。
円運動の実験室
最初のプリセットは最初から最後まで速さ 3.00 m/s を保ちますが、それでも一周する間ずっと 6.00 m/s² の加速度が生じています。回転を 2.0 から 4.5 rad/s へと上げると、加速度は 30.38 m/s²、つまり約 3.1 g にまで達します。
単スリット回折
細いスリットにレーザー光を通し、さらに隙間を狭めてみましょう。壁に映る光は、狭くなるどころか逆に広がっていきます。ここでは幾何光学から予測される光の帯と並べて、フレネル積分から計算された実際の回折パターンを描画します。光路に髪の毛を一本置いても同じパターンが現れるため、これを利用してその太さを測ることができます。
単振り子 / 単振動
長さ1 mの振り子を20°の角度から放したときの周期は、教科書にある2.006 sではなく2.021 sになります。この0.76%の誤差は時計では一日に11分の遅れとなるため、ホイヘンスは1656年にサイクロイド振り子を考案しました。
単振動共振ラボ
二つの強制振動のプリセットは角振動数が 4.00 と 2.2 rad/s であること以外は全く同じですが、振幅倍率は 6.667 から 1.424 へと変化します。共振状態では、0.0750 m の静的な押し込みが 0.5000 m の大きな揺れに変わるのです。
回折格子
スリットが二本でも六百本でも、300 本/mm の格子に緑色光を通すと、1 次光は 9.18° に現れます。DVD で見える次数が CD より少ない理由、ナトリウム二重線が 1 次では分かれず 2 次で分かれる理由を確かめましょう。
回折限界
円形の開口部を通る二つの点光源。それぞれがエアリーディスクとして広がり、二つの円盤が重なって一つのピークになると、どれほど拡大しても分離することはできません。ハッブル宇宙望遠鏡の2.4 mの鏡が月面のあらゆる点を半径107 mの円盤にぼかしてしまう理由と、より大きなジェイムズ・ウェッブ宇宙望遠鏡（JWST）が赤外線ではさらにぼやけてしまう理由を見てみましょう。
定常波エクスプローラー
波の速さが343 m/sのとき、1 mの弦は171.5 Hzで鳴り、その第三倍音は近い値ではなく正確に514.5 Hzに一致します。応力が波の速さに上限を設けるため、太さがどうであれ、1 mの鋼鉄の弦が265 Hzを大きく超えることはありません。
波の干渉 / 二重波源
調整可能な波長、線源間隔、干渉縞の次数を用いて、二重波源による波の干渉をライブの2Dパターンで探ろう。
薄レンズ光線追跡シミュレーター
収束レンズと発散レンズを通る光線を追跡し、像の位置と倍率をリアルタイムで表示します。
薄膜干渉
シャボン玉の膜が割れる直前に黒くなる理由や、厚い膜が無色に見える理由、そしてレンズのコーティングが機能する仕組みについて。このページ上の全ての色は、幾何光学による予測値と並べて、膜が反射するスペクトルから計算されています。
蜃気楼：冷たい空気と暖かい空気に曲げられる光
気温より 20 °C 熱い道路上では、0.33° より浅い伏角の視線はすべて上方に曲げ返されます。そのため、水たまりは 209 m 前方に現れ、あなたが進むのと同じ速さで逃げていきます。そこから届く光の経路は、局所的な最短経路ですらありません。
Thermodynamics
カルノーエンジン・シミュレーター
カルノーサイクルを探る: PV線図、効率 η = 1 − Tc/Th、エネルギーの流れ
ファンデルワールスの状態方程式と臨界点
理想気体の状態方程式がどこで、どの程度成り立たなくなるのかを確かめます。実測から得られた二つの定数を組み込んだこの方程式は、誰も意図しなかった液相の存在を自ずと導き出し、実在するすべての気体の臨界圧縮因子が 3/8 になることを予測します。
ローレンツ・アトラクタ
わずか10億分の1の差で始めた二つの計算が、最終的に16の差を生み出す。それでも、zの最大値はすべて同じ曲線上にある。1963年の方程式、10⁻³⁵⁶にまで収縮する体積、そしてそこに取り残された図形。
壁を通る熱損失：U値
壁の各層は直列抵抗のように加わり、窓はその横に並列経路をつくります。最初の50 mmの断熱が最も効く理由、窓が熱損失を左右する理由、一枚ガラスでは空気が断熱を担う理由を見ていきます。
潜熱：飲み物の中の氷
水に氷を入れて、最終的な温度を読み取ります。比熱容量、融解熱、そしてこれ以上氷を足しても何も変わらない 0 °C の停滞期。
熱と触覚：金属が木より冷たく感じる理由
20 °C のアルミブロックに触れると皮膚表面は 20.61 °C まで下がりますが、同じ 20 °C のオーク材の机なら 29.30 °C にとどまります。熱浸透率 √(kρc)、接触温度、そして一秒間で熱がどれほど深く伝わるかについて。
熱伝導方程式
両端を氷につけ、中央部分を熱した1本の棒。温度分布の鋭い部分が先に消えて単一の正弦波アーチへと落ち着く様子を観察し、長さが2倍になると4倍の時間がかかる理由を確認しましょう。初期温度は自分で描くこともできます。
理想気体の状態方程式計算機
インタラクティブなピストン図と等温線グラフによるPV = nRT
Electricity, Magnetism & Circuits
RC回路シミュレーター
τ = RC の式に電圧は含まれていません。電源を5 Vから12 Vに変更しても、電圧が63.2%に達するまでの時間は一ミリ秒たりとも変化しません。また、抵抗を通じてコンデンサを充電する回路は、どのように設計してもそのエネルギー効率が50%となります。
RLC共振アナライザー
初期設定の素子ではほとんど共振しません。Q = 0.6287 では、1.00 kHz の中心周波数に対して帯域幅が 1.59 kHz にもなってしまいます。AMラジオの選局に必要な Q ≈ 111 に到達するには、直列抵抗を 0.57 Ω まで下げる必要があります。
インダクタと遮断スパイク
30 mAが流れる12 Vのコイル。そのスイッチを開いた瞬間、端子には360.2 Vもの電圧が現れます。電流は一瞬では止まれないからです。コイルにダイオードを並列につなぐと、電圧を12.74 Vに抑えられるだけでなく、このモデルでは電流の切れ味もむしろ良くなります。
オームの法則 計算機
このページのLEDプリセット自体が罠になっています。220 Ωの抵抗に3.3 Vをかければ15 mAが流れますが、赤色LED自身が約2 Vの電圧降下を起こすため、抵抗には1.3 Vしか残らず、電流はプリセットの答えの半分にも満たない0.005909 Aになります。
オペアンプと負帰還
開ループ利得100,000のオペアンプで×10の増幅回路を組むと、利得は9.9990。開ループ利得を半分にしても9.9980にしか変わりません。両入力の電圧差は、1 Hzで100.49 µV、1 kHzで9.999 mVです。
キルヒホッフの法則とホイートストンブリッジ
五つの抵抗があり、どれとどれを取っても直列でも並列でもありません。つまり、抵抗の合成法則を適用する余地がないのです。検出器を取り外せば、直ちに二組の直列ペアが現れます。
コンデンサーと蓄えられるエネルギー
抵抗を通して一定電圧の電源からコンデンサーを充電すると、抵抗値によらず、供給されたエネルギーの半分が熱になります。電源電圧を10段階に分けて上げれば、発熱量はその1/10に減ります。
スミスチャート & RFブラックマジック実験室
RFインピーダンス整合、反射係数の可視化、そしてマイクロ波のブラックマジックを理解するためのインタラクティブなスミスチャートツール
ダイオードと0.7 Vの近似
室温では、ダイオードの電流はピコアンペアの領域から、電圧が59 mV上がるごとに10倍になります。導通が始まる境目の電圧はありません。曲線が折れ曲がって見える位置は、軸の取り方で変わります。0.7 Vとみなす近似の誤差は、電源電圧が5 Vなら0.27%、1 Vなら19.89%です。
トランジスタ増幅回路
同じ型番のトランジスタでも、βには3倍の開きがあります。分圧回路でベースにバイアスをかけ、エミッタ抵抗を加えると、この範囲での利得の変化は1%未満。ベース抵抗一本でバイアスをかけた場合は、利得も3倍変わります。
ファラデーの法則：シンプルな発電機
発電機に何も接続せずに回すと、軽く回転しながら最大 9.425 V の電圧を生み出します。そこに 12 Ω のランプを繋ぐと、同じコイルが 0.009425 N·m の平均トルクで回転に抵抗し始めます。光が放つエネルギーはすべて、ハンドルを回す手から供給されなければならないからです。
交流電圧：実効値、ピーク値、そしてテスターの指示値
安価なマルチメーターは、矩形波を 11.0721% 高く、三角波を 3.8088% 低く測定します。しかも、その事実を教えてはくれません。正弦波であれば 1.110721 を掛けるのが正しいというだけの理由で、入力されたどんな波形にも同じ計算を適用してしまうからです。
内部抵抗と起電力
あらゆる電源から取り出せる最大電力は、正確に効率50%のときに得られます。つまり、半分のエネルギーは電源内部で熱として消費されるのです。負荷が9倍のときと9分の1のときでは、どちらも同じ電力が供給されますが、効率はそれぞれ90%と10%になります。
導線の抵抗と抵抗率
銅と同じ性能を出すには、アルミニウムは断面積を57.7%大きくする必要があります。それでも、重さは銅の47.5%にとどまります。このページで紹介する他の六つの金属の中で、計算上軽くなるのはこれだけです。あらゆる架空電線がアルミニウムで作られている理由はここにあります。
抵抗の直列と並列
100 Wと60 Wの電球を直列につなぐと、消費電力の合計は160 Wではなく37.500 Wになります。そして、60 Wの電球の方が明るく光るのです。
磁場中の荷電粒子
1.5 T の磁場中にある陽子は、10 keV のとき 43.73 ns で円軌道を一周し、40 keV のときには軌道の大きさが二倍になっても同じ時間で一周します。なぜサイクロトロンが機能するのか、なぜ相対性理論がその限界となるのか、そして磁石がどのようにウランを分離するのかを解説します。
逆二乗則エクスプローラー
重力・光の強さ・電気力がすべて1/r²で減衰する様子を見てみよう — これは球面上に広がることによる幾何学的な帰結です。
電場ビジュアライザー
点電荷を配置して、電気力線、ベクトル、等電位線を確認
Control Systems & Modern Physics
PID制御チューナー
PIDゲインを調整し、ステップ応答を確認します。
ド・ブロイ波長と物質波
54ボルトの電子の波長は0.1669 nmで、原子間のすき間と同程度です。だからニッケル結晶によって回折します。室温の中性子でも同じことが起こる理由と、教科書の公式にずれが生じる領域を見てみましょう。
ミサイル迎撃と比例航法
誘導式の迎撃体が動く目標へどのように接近していくかを見てみましょう。純追尾と比例航法を比較し、誘導方程式 a = N·Vc·λ̇ がフレームごとにリアルタイムで計算される様子を観察できます。
レーダー物理シミュレーター
受信電力は 1/R⁴ で減衰するため、プリセットのレーダー反射断面積における 100,000倍もの差は、探知距離ではわずか 17.8倍の違いにしかなりません。断面積を 500倍削っても距離は 4.7倍縮まるだけであり、そこから距離を半分にするたびに、断面積をその都度 16倍削らなければならないのです。
不確定性原理と波束
平面波を重ねて波束を作ると、二つの幅の積は決して½を下回りません。ガウス形はこの下限に達しますが、矩形は遠く及びません。1 nmに閉じ込めた電子の幅は29.92 fsで2倍になり、1 µgの微粒子を1 µmに閉じ込めた場合は100万年かかります。
光電効果と限界値
ナトリウムに当てる紫色の光を二倍の明るさにすると、飛び出す電子の数も二倍になります。ただし、一つ一つの電子が速くなるわけではありません。では、この紫色の光を十六倍もの量の赤色の光に替えるとどうなるでしょう。今度は、電子はただの一つも金属から飛び出してきません。
原子核の結合エネルギーと質量欠損
原子の質量は、それをつくる陽子と中性子の質量の合計より小さい。失われた質量は結合エネルギーに相当する。なぜ曲線の頂点にあるのは鉄56ではなくニッケル62なのか。なぜベリリウム8は崩壊するのか。燃料の質量当たりでは、なぜ核融合が核分裂を上回るのか。
特殊相対性理論エクスプローラー
0.5cのブーストを二回組み合わせると0.8cになるのは、速度ではなくラピディティが足し合わされるためです。ミュー粒子のプリセットでは650 mの大気が25.995 mまで薄れ、GPSのプリセットでは γ = 1 と表示される一方で、無補正の位置情報は一日に11 kmもずれてしまいます。
箱の中の粒子
幅1 nmの箱に閉じ込められた電子のエネルギーは、決して0.3760 eVを下回りません。最低準位では、電子が中央三分の一にいる確率は60.9%です。同じ箱型モデルがブタジエンの吸収波長を6%以内で再現しながら、ニンジンの色素では三倍も外れる理由を見てみましょう。
量子トンネル効果
必要なエネルギーの半分しかない電子でも、高さ1 eV、幅0.5 nmの障壁を10.14%の確率で通り抜ける。陽子なら、その確率は1.535×10⁻⁶⁷。方形障壁の厳密な透過率と、走査型トンネル顕微鏡で間隙が0.1 nm広がるたびに信号が8.8分の1になる理由を調べる。
その他のツール
ボード/ナイキスト制御ラボ
三つのスライダーをすべて限界まで動かしても位相は−179.99°で止まるため、ゲイン余裕は∞となり、ゲイン単独ではこのループを不安定にすることはできません。ζ = 0.7 のとき、共振ピークは1.0002、つまり0.002 dBとなります。
一次系ステップ応答ラボ
ゲインやステップ幅がどれほどであっても、時定数一つ分の時間が経過すると出力は 63.21% に到達します。立ち上がり時間は 2.197τ、整定時間は 3.912τ と決まっているため、一度ストップウォッチで時間を測るだけでシステムの動特性がわかるのです。
熱交換器：並行流と向流
二つの水流、それらを隔てる一枚の壁、そして流れる向きの選択。流量が等しい場合、並流熱交換器をどれほど長くしたとしても、本来回収できるはずの熱量の半分を超えることは決してありません。一方、向流ではNTUが2のとき三分の二の熱を回収し、NTUが8になると88.89%に達します。