コリオリの力とフーコーの振り子

緯度を選ぶと、地球と共に自転する床の上でフーコーの振り子が揺れる様子を、設定した倍速に合わせてリアルタイムに計算し描画します。その下では、回転する円盤を横切るボールを地上と円盤上の両方の視点から示し、さらに立て坑を落下する石の動きも描きます。ここにあるすべての数値は、地球の自転角速度Ωから計算されたものです。

計算例 — コリオリの力とフーコーの振り子

コリオリパラメータ（鉛直軸回りの自転の二倍）	1.098×10⁻⁴ s⁻¹
床に対する振動面の回転速度	11.32°/h
振動面が一周する時間	31.79 h
24時間で回転する角度	271.76°
一往復の周期	6.65 s
振り子のロスビー数（コリオリの力に対する復元力の比）	8,600
0.1 m/sで動く水に働くコリオリ加速度	1.10×10⁻⁵ m/s²
同上の値（重力加速度gの倍数）	1.12×10⁻⁶ g

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レッスン

理論 — コリオリの力とフーコーの振り子

コリオリ加速度 とは、角速度 Ω で回転する座標系（ここでは地面）から運動を記述する際に現れる −2Ω × v の項のことです。これは速度に対して直角に働くため、物体の進行方向を変えるだけで速度の大きさは決して変えず、これを生み出す実体的な力はありません。地面に沿った運動に対しては、地球の自転のうちその場所の鉛直軸回りの成分である Ω sin φ のみが影響します。これはフーコーの振り子の振動面をその角速度で回転させ、コリオリパラメータ f = 2Ω sin φ を与えます。一方、地面に沿った成分である Ω cos φ は、鉛直方向の運動を東または西に押しやります。

各記号の意味

Ω: 地球の自転角速度、7.292115×10⁻⁵ rad/s：恒星に対して 23.93時間で一周する
φ: 緯度、赤道より南では負の値
f: コリオリパラメータ、2Ω sin φ：地面に沿って動く物体が受ける、メートル毎秒あたりの横向きの加速度
Ro: ロスビー数 U/(fL)：運動そのものが持つ加速度の、コリオリ加速度に対する比

前提: 振り子の振幅は小さく、その運動は直角に交わる二つの単振動の合成であると仮定しています。地球の自転による遠心力は下げ振りの方向を向く重力加速度 g の中に組み込まれており、どこでも g = 9.80665 m/s² としています。石は真空中で落下します。円盤は平坦で摩擦がないため、一度転がされたボールを押し動かす力はありません。
成り立たない場合: 現実の振り子は、軌道がわずかに楕円になるとそれ自体が歳差運動を始め、その速度は楕円の幅が広いほど大きくなります。フーコーがおもりを横に引いていた糸を燃やして放ち、横方向の力を一切与えないようにしたのはこのためです。空気抵抗は落下するボールを減速させます。ライヒの実験では真空中での 5.69秒に対して、約 6.01秒の落下時間がかかりました。数百キロメートルのスケールでは f は緯度によって変化しますが、このページでは一定として扱っています。

パリでは、振動面が一周するのに24時間ではなく31.79時間かかる 🖖

パリ天文台 (1851年) を押し、1秒間に1時間の速さで再生してみてください。鉛直軸の周りで振り子を回転させる力は何も働いていません。実際には振り子の下で床が回転しているのですが、床を回転させるのは地球の自転のうち自身の鉛直方向に沿った成分のみです。つまり、緯度 φ においては Ω sin φ となります。北極点では自転のすべてがこの成分になるため、振動面は 23.93時間で一巡し、一日に一周する仮定の破線とぴったり重なります。北緯 48.836° では 15.04°/h ではなく 11.32°/h となるため、一周には 31.79時間かかり、24時間後でも 271.76° しか進みません。レオン・フーコー自身も、1851年2月3日の『Comptes rendus（科学アカデミー紀要）』に掲載された論文で同じことを述べています。彼は正弦の法則を提示し、「我々の緯度」では振動面が二十四時間で完全な一周をすることはないと報告しました。赤道上では床が鉛直軸の周りに全く回転しないため、振り子が揺れている間、振動面は最初に放たれた位置にとどまります。赤道より南では床が逆向きに回転するため、シドニー を選ぶと反時計回りに 8.38°/h の回転になります。

自身の運動と比較すると、洗面台の水は長さ 11 m のフーコーの振り子よりも強いコリオリの力を受ける 🖖

パリの長さ 11 m の振り子において、横向きのコリオリの力が、おもりを揺らす復元力の 1/8,600 を超えることは決してありません。洗面器を 0.1 m/s で横切る水には 1.12×10⁻⁶ g のコリオリ加速度が働き、0.2 m 進む間に 0.022 mm だけ横にずれます。水自身の運動に対するこの比率（ロスビー数）は 4,550 であり、下の表にある振り子の 8,600 と並びます。しかし、この二つを根本的に分けているのはその他のすべての要因です。振り子の振動面を回転させるのは地球の自転以外にないため、揺れるたびに同じだけのわずかな回転が積み重なり、1時間で 11.32° の回転になります。一方で、洗面器の水は注がれた時の渦をそのまま保ちます。さらに、スケート選手が腕を畳むと速く回るのと同じように、排水によってその渦はより強くなります。したがって、水の注ぎ方、すきま風、あるいは壁の温度といった要因が、地球の自転よりもずっと前に渦の向きを決めてしまうのです。1962年にMITのアッシャー・シャピロは、タンクに時計回りの渦を作りながら水を満たして蓋をし、室温を一定に保って24時間待つことで、最終的に反時計回りに排水させる実験を行いました。それでも、排水口上の浮きは、20分間の排水が始まってから12〜15分が経過するまで回転を始めませんでした。幅 1,000 km の気象系が 10 m/s で移動する場合、表のもう一方の端にある 0.0911 のロスビー数となり、そこでは自転が支配的な役割を果たします。

立て坑を落下する石は西ではなく東に落ちる 🖖

もし落下する石の下で地面が回転して逃げていくのなら、フライベルクの立て坑の底から 158.5407 m 上で放たれた石は西に 1.67 km ずれて着地するはずです。これは、落下が続く 5.686秒の間に現地の地面が東へ移動する距離に等しいからです。フライベルクの立て坑 (1831年) を押してみてください。実際には東へ 27.65 mm の位置に落ちます。石は手を離された瞬間には立て坑の頂上とともに動いており、頂上は底よりも地球の自転軸から離れています。そのため、石は落下地点の地面よりもわずかに速い東向きの速度を持って落下を始めるのです。回転する地面の視点からこれを記述すると、それは石の下向きの速度の 2Ω cos φ 倍となるコリオリ加速度であり、北半球でも南半球でも東を向きます。1831年8月19日から9月初旬にかけて、フェルディナント・ライヒはドライ・ブリューダー立て坑（北緯 50°53′22.81″）で 106個のボールを平均 158.5407 m 落下させ、東へ 28.396 mm のずれを測定しました。彼は南へ 4.374 mm のずれも測定しましたが、理論上の南向きの項はすべて Ω²ht² のオーダー（ここでは約 0.03 mm）であるため、その結果を信用しませんでした。石は地面に沿った自転の成分である Ω cos φ の影響を受けます。これは振り子とは逆の性質であり、極ではゼロになり、赤道で最大となります。

全プロセスの詳細解説

立て坑の底からボールを真上に打ち上げる：どこに落ちてくるか？ 5 ステップ
フライベルクにあるライヒの立て坑の底から、158.5407 m 上の頂点にちょうど届く速さでボールを真上に打ち上げ、再び落下させます。 打ち上げた位置を基準にすると、ボールはどこに着地するでしょうか。フライベルクの立て坑 (1831年) を押して、最初のステップを確認してください。

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1. このページで頂上から落とされた石は 5.686秒間落下し、東へ 27.65 mm の位置に着地します。打ち上げられたボールにも同じ緯度と重力加速度 g が適用されるため、次のようになります：
  
  $t = \frac{2 h}{g} = \frac{2 \times 158 . 5407}{9 . 80665} = 5.686 s, x = \frac{1}{3} g Ω t^{3} cos φ = 27.65 mm east$
2. 158.5407 m 上昇するためには、初速 v₀ = √(2gh) で放たれなければならず、空中にいる時間は 2v₀/g となります：
  
  $v_{0} = 2 g h = 2 \times 9.80665 \times 158.5407 = 55.76 m/s, T = \frac{2 v _{0}}{g} = 11.37 s$
3. 回転する座標系において、コリオリ加速度は −2Ω × v です。その東向きの成分は上向きの速度 v₀ − gt の −2Ω cos φ 倍であり、上昇中は西へ、下降中は東へ向かいます。
  
  $a_{E} = - 2Ω cos φ (v_{0} - g t)$
4. これを一度積分すると、横方向の速度が得られます。頂点に達する t = v₀/g の時点で、ボールは Ω cos φ v₀²/g の速さで西へ流されています。下降にも全く同じ時間がかかり、東向きの力によって着地の瞬間に横方向の速度はちょうどゼロに戻りますが、ボールが元の位置まで引き戻されることはありません。
  
  $v_{E} (t) = - 2Ω cos φ (v_{0} t - \frac{1}{2} g t^{2}) : v_{E} (\frac{v _{0}}{g}) = - \frac{Ω cos φ v _{0}^{2}}{g} = - 14.59 mm/s, v_{E} (\frac{2 v _{0}}{g}) = 0$
5. 滞空時間全体 T = 2v₀/g にわたってもう一度積分すると、次のようになります：
  
  $x_{E} (T) = - 2Ω cos φ (\frac{1}{2} v_{0} T^{2} - \frac{1}{6} g T^{3}) = - \frac{4}{3} Ω cos φ \frac{v _{0}^{3}}{g ^{2}} = - 110.58 mm$
解答

ボールは打ち上げられた場所から西へ 110.58 mm の位置に着地し、横方向の速度は残っていません。この距離は、頂上から落とした石が東へずれる距離のちょうど四倍にあたります。どちらの距離も Ω cos φ h^3/2/√g に比例するため、この比率はどの高さや緯度でも正確に 4 となります。

$x_{E} = - 110.58 mm = - 4 \times 27.646 mm (west)$

学習の道すじ

回転と角運動量

参考文献 (3)

Foucault's own announcement: the pendulum's plane turns against the floor at the Earth's rotation times the sine of the latitude, so that at Paris it does not make a whole turn in twenty-four hours; first a 2 m pendulum in a cellar, then 11 m in the Meridian Room of the Paris Observatory: L. Foucault, "Démonstration physique du mouvement de rotation de la terre au moyen du pendule." Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences 32 (1851), 135–138.
The eastward fall measured: 106 balls dropped down the Drei-Brüder-Schacht at Freiberg in August and September 1831, a mean fall of 158.5407 m at 50°53′22.81″ N, landing 28.396 mm east (and 4.374 mm south, which Reich doubted), against his own computed 27.512 mm: F. Reich, Fallversuche über die Umdrehung der Erde, angestellt auf hohe oberbergamtliche Anordnung in dem Drei-Brüderschachte bei Freiberg. Freiberg: J. G. Engelhardt, 1832, pp. 46–47.
A sink's drain direction is set by how it was filled, unless everything else is removed: Shapiro filled a tank with a clockwise swirl, covered it, kept the room's temperature steady, let it settle for 24 hours, and saw it drain counterclockwise: A. H. Shapiro, "Bath-Tub Vortex." Nature 196 (1962), 1080–1081. doi:10.1038/1961080b0

42Math チーム · 公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。