ジャイロスコープ

車輪を回転させ、手放すときの車軸の角度を選び、手放す瞬間に横方向の押しをつけるかどうかを決めてください。このページでは、目の前で運動を積分しながら、車輪がどれだけ沈み込むか、どれほどの速さで回るか、そして教科書の公式が実際の動きとどれだけ食い違うかを計算して表示します。

計算例 — ジャイロスコープ

車軸周りの慣性モーメント（フープ）	0.180 kg·m²
支点周り（車軸に垂直）の慣性モーメント	0.170 kg·m²
自転の角運動量	11.31 kg·m²/s
支点周りの重力によるトルク	3.923 N·m
定常回転速度（遅い歳差運動の公式）	0.3468 rad/s
その速度での一周	18.12 s
39 回の完全な章動から求めた平均回転速度	0.3468 rad/s
公式に対するシミュレーションの誤差	−0.005%

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レッスン

理論 — ジャイロスコープ

ここでのジャイロスコープとは、車軸の一端が固定された支点に乗って自転している車輪のことです。車軸が水平のとき、その重さは支点周りに τ = mgl のトルクを及ぼします。これは水平かつ車軸と直角を成す方向へ働き、さらにトルクとは角運動量の変化率であるため、自転の角運動量 L = I₃ω₃ は下へ傾くのではなく横へと向きを変えます。定常歳差運動では、車軸は鉛直線の周りを Ω = mgl/L の速さで回ります。静止状態から手放すと、車軸はまず少し沈み込み、そこから章動を始めます。出発点の高さと、そこからおよそ 2I₁mgl/L² ラジアン下の最下点との間を、一秒間に約 L/(2πI₁) 回のペースで上下に揺れ動きます。

各記号の意味

L: 車軸周りの自転の角運動量、I₃ω₃
Ω: 定常歳差運動の速さ、mgl/L。車軸が鉛直線の周りを回る速度
I_3: 車軸周りの慣性モーメント。フープの場合は mR²
I_1: 支点を通り車軸に直角な直線周りの慣性モーメント、ml² + ½mR²
l: 支点から車輪の中心までの距離
k: 手放した時の横方向の回転速度（Ω を単位とする）

前提: すべての質量が縁に集中したフープとして扱う剛体の車輪が、軽い車軸に取り付けられ、摩擦のない点状の支点に乗っていると仮定します。標準重力加速度は 9.80665 m/s² です。空気も摩擦も一切存在しないため、エネルギー、そして鉛直線周りと車軸周りの角運動量はすべて保存されます。結果の表には、積分器がそれらをどれだけ正確に保てているかが表示されます。
成り立たない場合: 実際の支点には摩擦があり、それが章動を減衰させるため、手放した位置より少し下で滑らかに歳差運動を続けることになります。軸受けの摩擦も自転を遅らせるため、L が小さくなるにつれて歳差運動は加速し、沈み込みは深くなり、やがて車輪は倒れてしまいます。

手放された車輪は、回る前にまず落ちる 🖖

10 rev/s で手放す を押し、二番目のパネルに注目してください。横へ回るということは車輪の中心が動くことを意味します。その運動エネルギーはどこかから得なければならないため、手放した瞬間に車輪が歳差運動を始めることは不可能です。車輪はまず下に落ちます。車軸が0.597°沈むと中心は2.09 mm下がり、一番下まで落ちたところで横方向の回転速度は平均の二倍にあたる0.6937 rad/sに達します。そこから手放された高さまで再び駆け上がり、そこで横への動きがぴたりと止まり、また同じ周期が始まります。こうして車軸の端は尖点を連ねた軌跡を描き、それが一秒間に10.59回繰り返されます。MITのペレラとウィドナルによる力学の講義ノートはこれを尖点運動と呼び、ケンブリッジ大学のデビッド・トンによる講義では、コマを回して手放したときに起こるまさにその現象として導出されています。これほど小さな沈み込みを肉眼で捉えるのは難しく、実際の支点では摩擦によって章動が滑らかに消えてしまうため、実演用の車輪はまるで宙に浮いているかのように見えます。灰色のシルエットは同じ車輪を自転させずに置いたものであり、0.39秒後に真下へぶら下がります。

自転を二倍にすると、横の回転は半分になる 🖖

車軸が水平なとき、支点周りの重力によるトルクは3.923 N·mであり、これが L を毎秒3.923 kg·m²/sずつ常に横方向へと変化させます。L が大きければ大きいほど、それを振り回すのにより長い時間がかかるため、回転速度は Ω = mgl/L となります。つまり5、10、20 rev/sでの一周にかかる時間はそれぞれ9.06、18.12、36.23秒です。沈み込みは 1/L² に比例するため、自転が二倍になるごとに四分の一になります。シミュレーションでも2.386°、0.597°、0.149°という結果が出ます。Ω = mgl/L は L が車軸に沿っているものとして扱いますが、これが成り立つのは、自転の角運動量が横方向の回転による追加分を圧倒している間だけです。表を下へ追ってみましょう。シミュレーションの車輪は公式よりも、5 rev/sで0.087%、2 rev/sで3.026%、そして1 rev/sで21.481%遅く回ります。1 rev/sのとき車輪は39.013°も沈み込み、ジャイロスコープというよりはひねりの入った振り子のように振る舞います。

車軸を横に押し出すと車輪は浮き上がる 🖖

車軸の端を小突く力はトルクであり、重力のトルクと同じく L の先端を小突いた方向ではなくトルクの方向へ動かします。車輪がすでに回っている方向へ小突くと上向きのトルクが生まれ、車軸は持ち上がります。2Ω で押し出す を押してみてください。定常状態の二倍の速さで横へ回しながら手放すと、車軸は0.597°浮き上がります。これは押し出さなかった車輪が落ちたのと同じ距離であり、平均回転速度も0.3468 rad/sのままです。−1の押しで逆へ引き戻すと、その二倍にあたる1.195°沈み込みます。Ω で回しながら手放す を押すと、沈み込みも章動もまったく起こりません。水平な車軸において厳密に mgl/L での定常歳差運動は、どんな自転速度であっても完全な方程式の解になるからです。押しを1に設定して表を読んでみましょう。静止状態から手放したときの誤差が21.481%だった1 rev/sでも、車輪は公式が示す通り3.4684 rad/sで回るようになります。低スピンでの誤差は、静止状態から手放したことによる代償なのです。トンの講義ノートでは、コマを上下に揺らさずに歳差運動させるには「まさにぴったりの押し」が必要だと表現されています。

全プロセスの詳細解説

支点は何を支え、車輪はどれだけ速く回らなければならないか？ 5 ステップ
車輪は 10 rev/s で自転し、車軸を水平にして定常歳差運動をしています。支点は車軸を上向き、および横向きにどれほどの力で押し上げているでしょうか？また、静止状態から手放した後の沈み込みを0.1°未満に抑えるには、どれほどの自転速度が必要でしょうか？10 rev/s で手放す を押して、最初のステップを確認してください。

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1. 自転の角運動量と定常回転速度はページ上に表示されています。
  
  $L = I_{3} ω_{3} = 0.180 \times 2 π \times 10 = 11.31 kg m^{2} /s Ω = \frac{m g l}{L} = \frac{3 . 923}{11 . 31} = 0.3468 rad/s$
2. 車軸を水平にして定常歳差運動をしているとき、中心は同じ高さを保ちます。したがって鉛直方向の加速度はなく、支点はまさにその重さと同じ力で上に押し上げています。自転が重さを軽減することはありません。
  
  $N_{z} = m g = 2 \times 9.80665 = 19.61 N$
3. 中心は Ω の速さで半径 l の円周上を回るため、支点は車軸をスタンドの方向へと押し込む力も発揮しなければなりません。
  
  $N_{h} = m l Ω^{2} = 2 \times 0.2 \times 0.346 8^{2} = 0.0481 N$
4. 二つ目の質問については、沈み込みの近似式（高速回転のコマ）を変形し、δ = 0.1° = 0.001745 rad を代入します。
  
  $δ = \frac{2 I _{1} m g l}{L ^{2}} \Rightarrow L \geq \frac{2 I _{1} m g l}{δ} = \frac{2 \times 0 . 170 \times 3 . 923}{0 . 001745} = 27.64 kg m^{2} /s$
5. そして I₃ と 2π で割ります。
  
  $ω_{3} = \frac{27 . 64}{0 . 180} = 153.6 rad/s = \frac{153 . 6}{2 π} rev/s = 24.44 rev/s$
解答

支点は上向きに 19.61 N という車輪全体の重さを支え、横方向のスタンドに向けては 0.0481 N（重さの四分の一パーセント未満）の力で押しています。自転によって車輪が軽くなるわけではありません。沈み込みを0.1°未満に保つには 24.44 rev/s の速度が必要であり、その自転でエネルギー方程式を厳密に解くと沈み込みは 0.0999997° となります。つまりこの近似は、そこでは100万分の2.5程度の精度を持っています。

$N_{z} = 19.61 N, N_{h} = 0.0481 N, f \geq 24.44 rev/s (exact drop 0.099999 7^{\circ})$

学習の道すじ

回転と角運動量

参考文献 (2)

The heavy symmetric top from its Lagrangian: the two conserved momenta and the energy, the three kinds of nutation, why a top that is spun and simply let go falls first and traces cusps, and why precessing without bobbing needs exactly the right push: D. Tong, "Classical Dynamics", lecture notes for a final-year undergraduate course, University of Cambridge, chapter 3 "The Motion of Rigid Bodies", section 3.6 "The Heavy Symmetric Top".
Steady precession from Euler's equations in Euler angles, the gyroscopic limit in which the precession rate is the weight's moment over the spin angular momentum, and the names unidirectional, looping and cuspidal for the three kinds of unsteady motion: J. Peraire and S. Widnall, "Lecture L30 - 3D Rigid Body Dynamics: Tops and Gyroscopes", 16.07 Dynamics, MIT OpenCourseWare, Fall 2009.

42Math チーム · 公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。