転がる競争と慣性モーメント

重い円柱と軽い円柱を押してみてください。一方は質量 5 kg、もう一方は 0.2 kg で、半径には五倍の差がありますが、どちらも同時に 1.537 s でゴールラインを越えます。重い物体は重力に強く引かれますが、加速のしにくさも全く同じ割合で大きくなります。また、同じ形でサイズの大きな物体は、慣性モーメントが r² 倍になる一方で回転速度は 1/r 倍になります。そのため回転運動エネルギー ½Iω² = ½kmv² は、結局のところ質量に比例します。最終的に残るのは形を表す一つの数値 k = I ÷ mr² だけであり、加速度は g sin θ ÷ (1 + k) となります。古典的な四物体の競争を押してみましょう。中実の球（k = 0.4）が中実の円柱（0.5）に勝ち、中空の球（0.667）、フープ（1）と続きます。滑らずに転がる中実の球であれば、どんなものでもこの斜面を 1.485 s で下ります。

エネルギーのグラフは、各物体が斜面を下ることで失った位置エネルギーの行き先を示しています。転がる物体はすべて、このエネルギーを斜面を下る運動と回転運動に分けなければなりません。回転に使われる割合は k ÷ (1 + k) で表されます。中実の球では 28.6% であり、質量がすべて外枠に集まっているフープではちょうど 50% になります。回転に使われたエネルギーは速さにはつながりません。これがフープが遅い最大の理由です。スープの缶を押してみてください。液体の缶が 1.316 s で勝ちます。なぜなら、このページがモデル化している極限の状態では、液体は缶と一緒に回転しないからです。缶の容器だけが回転するため、エネルギーの 9.1% しか回転に使われません。同じ缶の中身を固体に設定すると 1.563 s かかります。空の缶はこのモデルでは両端が開いていてフープと同じ扱いになるため、一番最後になります。

転がるためには摩擦が必要で、フープは最も大きな摩擦を要求します。フープが転がれるのは、斜面の角度が限界の角度よりも緩やかな場合だけです。摩擦係数が 0.1 のとき、中実の球の 19.29° に対して、フープは 11.31° です。凍った斜面を押してみましょう。15° の斜面ではフープと中空の球は滑ってしまいます。回転に使うエネルギーが減る分だけ加速しますが、それでも転がり続ける二つの物体には届きません。摩擦係数が一定の場合は常にこうなります。滑る物体は最高でも転がる物体と同じ速さにしかならず、追い抜くことはありません。しかし、実際の表面の多くは、滑っているときよりも静止しているときの方が強くグリップします。静止摩擦係数が 0.3、動摩擦係数が 0.1 になっている滑るフープの追い越しを押してみてください。転がる球の 0.942 s に対して、滑るフープが 0.849 s でゴールします。