ニュートンの第二法則 (F=ma) シミュレーター

ブロックを押して F = ma の様子を見る——摩擦、斜面、そして自由体図まで

初期値 — ニュートンの第二法則 (F=ma) シミュレーター

質量 (m)	2
加える力 (F)	10
摩擦係数 (μ)	0.2
傾斜角 (θ)	0
初速度 (u)	0

上のコントロールを変えると、ここから結果が計算し直されます。

インタラクティブシミュレーションを読み込んでいます...

なぜ重力と垂直抗力は作用・反作用の関係ではないのか 🖖

ここでは重力（mg）と垂直抗力（N）の大きさが等しく向きが逆になっているため、ニュートンの第三法則（作用・反作用の法則）のペアだと思いたくなりますが、実はそうではありません。作用・反作用のペアは必ず異なる2つの物体の間にはたらく力でなければなりませんが、この2つの力はどちらも同じブロックにはたらいています。本当のペアは次の通りです:地球がブロックを引く力とブロックが地球を引く力（重力、双方向）、そしてブロックが面を押す力と面がブロックを押し返す力——この2番目こそが、ここで見ているNです。Nがたまたまmgと等しいのは、ブロックが鉛直方向に加速していないからにすぎません。面を傾けたり、加速するエレベーターの中にブロックを置いたりすると、Nは変化してもmgは変化しません。この取り違えは、力学入門でもっともよく知られた誤解のひとつです。

加速させるのは差し引き後の力だけ 🖖

ニュートンの第2法則 F=ma が本当に扱うのは合力です。ほかの力はすべて打ち消し合います。このブロックを押すと、力の一部は摩擦に食われ、残った分だけが加速を生みます。だから摩擦なしなら 2 kg のブロックを 10 N で押すと a = 5 m/s² になりますが、摩擦があるとそれより小さくなります。質量を2倍にすれば、同じ合力でも加速度は半分です。

ニュートンは実は F=ma と書いていない 🖖

このツールに刻まれた式は、厳密にはニュートンのものではありません。『プリンキピア』(1687年) で彼は第2法則を言葉で、運動量を使って述べました。物体の運動の量の変化は加えられた力に比例する、と。すっきりした代数形 F = ma は後から現れ、ふつう1752年ごろのレオンハルト・オイラーに帰せられます。質量が一定なら両者は一致しますが、相対論や燃料を失うロケットで生き残るのは運動量の形 (F = dp/dt) です。

摩擦つきの F = ma — 動くのか、そしてどちらの摩擦が働くのか

いま解いているのはどの力の型か

この話題の間違いのほとんどは、計算を始める前に起きています。動いていない物体に f = μN と書いてしまう。あるいは力を必要としない運動に対して力を探してしまう。ここではどの型も二つの比較で決まります。駆動する力は摩擦の上限 μN より大きいか。そして物体はすでに動いているか。この二つに答えれば、加速度は一行で出ます。

純粋な第二法則 — 押す力だけ、ほかに何もない a = F/m = 5 m/s²

何も起こらない — 押す力が静止摩擦に負ける |F| ≤ μN ⇒ a = 0

動き出し、それでも摩擦は取り分を持っていく a = (F − μN)/m = 1.04

合力ゼロで動き続ける — 第一法則 ∑F = 0 ⇒ a = 0, v = 6

摩擦だけ — 止まるまでどれだけ進むか a = −μg = −2.94 m/s²

斜面の上で — tan θ と μ の勝負 tan θ > μ ⇒ a = g(sin θ − μ cos θ)

純粋な第二法則 — 押す力だけ、ほかに何もない

わかっていること: 水平な床、摩擦はまったくなし (μ = 0)、物体は静止から出発します。加えた力が唯一の水平方向の力です。

何で決まるか: a = F/m = 5 m/s²

計算例: m = 2 kg、F = 10 N → 摩擦の上限は 0 N なので、合力は 10 N のまま、a = 10/2 = 5 m/s²。この道具の 6 秒の窓の中で 30 m/s に達し、90 m 進みます。

この型を開く: 摩擦なしで押す

純粋な第二法則 — 押す力だけ、ほかに何もない. 水平な矢印が一本、摩擦なし。合力は F そのもので、a = F/m がちょうど成り立ちます。水平な床、摩擦はまったくなし (μ = 0)、物体は静止から出発します。加えた力が唯一の水平方向の力です。 — 水平な矢印が一本、摩擦なし。合力は F そのもので、a = F/m がちょうど成り立ちます。

何も起こらない — 押す力が静止摩擦に負ける

わかっていること: 水平な床、静止した物体、粗い面 (μ = 0.6)、そして控えめな押し。ほかの何よりも先に、押す力を上限 μN と比べます。

何で決まるか: |F| ≤ μN ⇒ a = 0

計算例: m = 10 kg、F = 5 N、μ = 0.6 → N = 98.1 N なので上限は μN = 58.86 N。5 N は遠く及ばず、摩擦はちょうど −5 N で応じ、合力は 0、a = 0、6 秒たっても物体は x = 0 のままです。

この型を開く: 摩擦で動かない

何も起こらない — 押す力が静止摩擦に負ける. 摩擦は押しにぴったり合わせる — 58.86 N の上限ではなく 5 N。水平な床、静止した物体、粗い面 (μ = 0.6)、そして控えめな押し。ほかの何よりも先に、押す力を上限 μN と比べます。 — 摩擦は押しにぴったり合わせる — 58.86 N の上限ではなく 5 N。

動き出し、それでも摩擦は取り分を持っていく

わかっていること: また水平な床ですが、押す力が上限を超えました。滑り始めると摩擦は調整をやめ、μN に座り、運動と逆を向きます。

何で決まるか: a = (F − μN)/m = 1.04

計算例: m = 5 kg、F = 15 N、μ = 0.2 → N = 49.05 N、上限 9.81 N。15 N > 9.81 N なので物体は動き出し、摩擦は 9.81 N に固定され、合力は 15 − 9.81 = 5.19 N、a = 1.038 m/s²。6 秒後には 6.23 m/s、18.68 m。

この型を開く: 摩擦ありで押す

動き出し、それでも摩擦は取り分を持っていく. 摩擦はいま μN = 9.81 N に固定。残る 5.19 N が加速する分です。また水平な床ですが、押す力が上限を超えました。滑り始めると摩擦は調整をやめ、μN に座り、運動と逆を向きます。 — 摩擦はいま μN = 9.81 N に固定。残る 5.19 N が加速する分です。

合力ゼロで動き続ける — 第一法則

わかっていること: 加えた力はなく、摩擦もなく、それでも時計が動き出したとき物体はすでに 6 m/s で進んでいます。

何で決まるか: ∑F = 0 ⇒ a = 0, v = 6

計算例: m = 2 kg、u = 6 m/s、F = 0、μ = 0 → 力の行はすべてゼロ、合力は 0、a = 0。6 秒後も 6 m/s のままで、36 m 先にいます。

力の列は全部ゼロなのに、物体は画面を横切っていきます。これが第一法則で、じつは独立した法則ではありません。F = 0 とした第二法則です。壊されるのは、運動には原因が必要だという直感です。運動に原因は要らず、運動の変化にこそ要るのです。この型を上の動かない物体と並べてみてください。式は区別できなくなります。どちらも合力ゼロで加速度ゼロ、どちらもつり合っている。それでも一方は永久に静止し、他方は永久に進みます。区別するものが何もないのは、区別する必要が何もないからです。速度は維持を要する状態ではありません。

この型を開く: 合力ゼロ

合力ゼロで動き続ける — 第一法則. どの力もゼロで、だからこそ物体は 6 m/s を保ちます。加えた力はなく、摩擦もなく、それでも時計が動き出したとき物体はすでに 6 m/s で進んでいます。 — どの力もゼロで、だからこそ物体は 6 m/s を保ちます。

摩擦だけ — 止まるまでどれだけ進むか

わかっていること: 誰も押していません。物体は μ = 0.3 の面を 8 m/s で滑っており、摩擦が唯一の水平方向の力です。

何で決まるか: a = −μg = −2.94 m/s²

計算例: m = 3 kg、u = 8 m/s、μ = 0.3 → 摩擦 8.83 N、a = −2.94 m/s²。t = u/(μg) = 2.72 s で静止し、それまでに u²/(2μg) = 10.87 m を進み、そのまま止まります。

この型を開く: 滑って停止

摩擦だけ — 止まるまでどれだけ進むか. 8 m/s が 2.72 s と 10.87 m で消える。答えに質量は一度も出てきません。誰も押していません。物体は μ = 0.3 の面を 8 m/s で滑っており、摩擦が唯一の水平方向の力です。 — 8 m/s が 2.72 s と 10.87 m で消える。答えに質量は一度も出てきません。

斜面の上で — tan θ と μ の勝負

わかっていること: μ = 0.1 の 20° の斜面で静止から放され、誰も押していません。重力は面に沿う成分を持ち、垂直抗力はもう重さの全部ではありません。

何で決まるか: tan θ > μ ⇒ a = g(sin θ − μ cos θ)

計算例: m = 4 kg、θ = 20°、μ = 0.1 → N = mg cos θ = 36.87 N（重さの 39.24 N ではありません）、斜面に沿う重力 = 13.42 N、上限 μN = 3.69 N。13.42 N > 3.69 N なので滑ります。a = g(sin θ − μ cos θ) = 2.43 m/s²、6 秒で斜面を 43.8 m 下ります。

この型を開く: 斜面を滑り落ちる

斜面の上で — tan θ と μ の勝負. 斜面に沿う重力 (13.42 N) と 3.69 N の上限 — 滑ります。 μ = 0.1 の 20° の斜面で静止から放され、誰も押していません。重力は面に沿う成分を持ち、垂直抗力はもう重さの全部ではありません。 — 斜面に沿う重力 (13.42 N) と 3.69 N の上限 — 滑ります。

参考文献 (2)

Insight block 1 — the weight/normal-force pairing is not a casual mistake but a measured one: D. Hestenes, M. Wells and G. Swackhamer, "Force concept inventory." The Physics Teacher 30(3), 141–158, 1992 — the instrument that established how widespread these particular confusions are.
Insight block 3 — the second law as Newton actually stated it: I. Newton, Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica, Book I, Law II. London, 1687.

全プロセスの詳細解説

平地で10 Nで押される2 kgのブロック 5 ステップ
水平な地面の上に置かれた質量2 kgの物体を10 Nの力で押す。摩擦係数は0.2である。 物体がそもそも動くかどうかを判定し、次に6 s間に進む距離を求めよ。さらに、同じ押し力に打ち勝つ質量を求めよ。
1. 摩擦力は、面同士がどれほど強く押し付け合っているかによって決まり、物体を水平方向に押す力の強さにはよらない。水平な地面においては、その押し付ける力は物体の全重力に等しい。
  
  $N = m g cos θ = 2 \times 9.81 \times cos 0^{\circ} = 19.62 N$
2. 静止摩擦力は一定の力ではない。上限である μN に達するまでは求められた大きさの力を供給する。ここではその上限が加えられた 10 N を十分に下回っているため、物体は滑り出す。加速度を計算する前に必ずこの比較を行わなければならない。静止状態と滑り状態では従う方程式が異なるからである。
  
  $f_{s, m a x} = μ N = 0.2 \times 19.62 = 3.924 N < F = 10 N$
3. 一度滑り始めると、摩擦力は調整を止め、運動に対抗する一定の最大値をとる。残った差し引きの力だけが加速度を生み出す。
  
  $F_{net} = F - μ N = 10 - 3.924 = 6.076 N$
4. ここで運動の第2法則が本来の役割を果たし、一定の加速度がそのまま変位へと結びつく。物体は静止状態から動き始めるため、54.684 m の移動距離のすべてが加速度の項から生じる。
  
  $a = \frac{F _{net}}{m} = \frac{6.076}{2} = 3.038 m/ s^{2}, x = \frac{1}{2} a t^{2} = \frac{1}{2} (3.038) (6)^{2} = 54.684 m$
5. 質量は解の中に異なる符号で2回登場する。押し力を割る働きと、摩擦力を掛ける働きである。したがって、加速度は 1/m よりも速く低下し、1/m とは異なり、有限の質量でゼロに達する。
  
  $a (m) = \frac{F}{m} - μg = \frac{10}{m} - 1.962 : a (4 kg) = 0.538 m/ s^{2}, a = 0 ⟺ m = 5.097 kg$
解答

ツールによる計算結果は、合力 6.076 N、加速度 3.038 m/s²、6 s間での移動距離 54.684 m となる。質量を2倍の4 kgにしても、加速度は半分にはならない。押し力が10 Nのままで摩擦力が3.924 Nから7.848 Nへと増加するため、加速度は0.538 m/s²（5.6分の1）まで低下する。5.097 kgで両者は等しくなり、物体は全く動かなくなる。したがって、いかなる押し力にも F/μg という質量の限界が存在する。重いものを動かす際に、押す人を強くするのではなく台車や潤滑油を用いるのはそのためである。μ と F は同じ分数の分子と分母に位置するため、摩擦係数を半減させることは、力を2倍にすることと全く同じだけその質量限界を引き上げる。

$a = \frac{F}{m} - μg cos θ (θ = 0)$

42Math チーム · 更新 2026-08-17

公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。編集方針 · 訂正

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例題

合力ゼロ - 動いているブロックに合力がはたらかない → 速度は永遠に一定のまま(ニュートンの第一法則)
摩擦なしで押す - m=2 kg、F=10 N、摩擦なし → a=5 m/s²(純粋な第二法則)
摩擦ありで押す - m=5 kg、F=15 N、μ=0.2 → 摩擦が合力を弱め、a≈1.04 m/s²
摩擦で動かない - 最大静止摩擦力(58.9 N)が5 Nの押す力に勝つ → ブロックは動かず、a=0
滑って停止 - 摩擦だけで動いているブロックが約2.7秒で静止し、そのまま止まり続ける
斜面を滑り落ちる - 傾斜20°:重力成分(13.4 N)が最大静止摩擦力(3.7 N)に勝つ → 静止状態から滑り出す