斜面、ねじ、くさび

同じ三角形を、円柱に巻き付けるか、丸太に打ち込むか

計算例 — 斜面、ねじ、くさび

理想的な機械的利益	2.00
加える力 (E)	336.6 N
実際の機械的利益（摩擦を含む）	1.49
効率 (η)	74.3%
斜面の角度 (θ)	30°
ねじのピッチ (p)	5.0 mm
軸の半径 (r)	10 mm
くさびの角度 (α)	20°

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レッスン

理論 — 斜面、ねじ、くさび

斜面は、力と距離を交換するだけの単純な仕組みです。荷物を高さ h まで持ち上げるとき、垂直に引き上げても、長さ L の斜面を押し上げても、必要な仕事は変わりません。斜面を使えば、より長い距離を移動する代わりにより小さな力で同じ仕事を達成できます。この比率を機械的利益と呼びます。摩擦は、この無償の交換を代償の伴うものに変えてしまいます。しかし、手を離したときに荷物が滑り落ちずに留まるのも、まさにこの摩擦があるからこそなのです。

各記号の意味

θ: 斜面の角度
μ: 荷物と面との間の摩擦係数

緩やかな斜面ほど有利ですが、その分だけ代償も伴います 🖖

理想的な利益は 1/sin θ で表されるため、理論上は傾斜が緩いほど有利です。15°では3.86の利益が得られますが、45°では1.41に留まります。しかし、その大部分は摩擦によって奪われます。μ を 0.2 に固定すると、実際に得られる利益はそれぞれ 2.21 と 1.18 です。つまり傾斜を緩くしても、形状が約束した 2.45 のうち 1.03 しか実際の利益として手に入りません。これは本来の 42% に過ぎないのです。あらゆる角度を調べても、状況が好転するような特異点はありません。5° にすれば 3.49 とさらに向上し、それ以下にすればさらに良くなります。しかしその代償として支払うのが効率です。30.4% まで落ち込み、高さを 1 メートル稼ぐために 11.47 メートルも押し続けなければならなくなります。

ねじとは、丸められた斜面です 🖖

ねじ山を一巻きだけ展開すると、そこには三角形が現れます。高さはピッチに、底辺は円周に等しい三角形です。標準的なねじの設定では、半径 10 mm に対してピッチが 3 mm です。したがって傾斜は 2.734° となり、理想的な利益は 20.94 に達します。これは人間が歩いて登れるようなどのような斜面でも決して得られない数値です。もちろんその代償は同じように付きまといます。効率は 24.0% に過ぎず、加えた仕事の四分の三はねじ山に奪われてしまいます。ねじは力を生み出すためのものであり、物を移動させるためのものではないのです。

ある特定の角度を下回ると、置いた場所から動きません 🖖

tan θ が μ 以下のとき、斜面上の荷重は静止し、これを超えた瞬間に滑り落ちます。μ = 0.2 の場合、その境界は 11.31° にあります。11.3° ならば荷重は留まりますが、11.4° では滑り落ちてしまいます。これこそが、ねじが自立状態を保つ条件と同じものです。ボルトがラチェットや爪なしでも緩まないのはこのためです。仕事を取り出すのが苦手な機械とは、すなわちブレーキを必要としない機械なのです。

重さが40倍になっても、ひとつの数字も動かない 🖖

荷重を50 Nから2000 Nへドラッグして、斜面上部の判定を見てください。何も変わりません。機械的利益も同様です。角度20°、μ = 0.36のとき、ツールは50 Nの木箱に対して1.4699を、2000 Nの木箱に対しても1.4699を示します。問題の中で重さは二度登場しますが、割り算によって相殺されます。重力はmg sin θとして荷重を斜面下方に引き、mg cos θとして斜面に押し付けます。これが摩擦力の元となる力です。質量を2倍にすればどちらの力も2倍になります。したがって静止条件はtan θ ≤ μとなり、どこにもmは含まれません。同じ斜面で小石とピアノから同時に手を放せば、下までずっと横に並んだまま滑り落ちていきます。もちろん、必要な力は重さに比例します。34.02 Nに対して1360.62 N、きっかり40倍です。斜面はどんな荷重に対しても同じ条件を与え、それがどれほど重いかなど意に介さないのです。

全プロセスの詳細解説

ねじ山を一巻きだけ展開して三角形にする 7 ステップ
標準的なねじの設定を読み込んでみてください。半径 10 mm、ピッチ 3 mm、荷重 1,000 N、μ = 0.15 です。パネルには理想的な利益が 20.94、効率が 24.0% と表示されています。どちらも同じ一つの三角形から導かれたものです。それを見つけてみましょう。

この問題をツールで開く
1. ねじ山を一回転分だけ取り出し、平らに展開します。ねじ山は軸の周りを一周する間にピッチの分だけ登っていくため、高さがピッチで底辺が円周に等しい直角三角形の斜辺になります。ねじとは円柱に巻き付けられた斜面である。これは、その言葉を計算式にしたものです。
  
  $one turn unrolled: rise p = 3 mm, base 2 π r = 62.83 mm$
2. その三角形の傾きがリード角です。三度未満しかありません。これこそが、ねじが斜面の一種でありながら、斜面とは全く異なる感覚を与える理由です。
  
  $λ = arctan \frac{p}{2 π r} = arctan \frac{3}{62.83} = 2.73 4^{\circ}$
3. 理想的な利益とは、加えた力が移動した距離を荷重が移動した距離で割ったものです。つまり、円周を一周する間にピッチ一つ分進むという関係です。
  
  $MA_{ideal} = \frac{2 π r}{p} = \frac{62.83}{3} = 20.94$
4. 摩擦は独自の角度として計算に組み込まれます。摩擦角とは、表面が滑り始める直前の傾斜のことです。これをリード角に足し合わせるのが、摩擦をねじの計算に含める標準的な方法です。
  
  $φ = arctan μ = arctan 0.15 = 8.53 1^{\circ}$
5. 加える力もここから直接導かれます。1,000 を 20.94 で割った 47.8 N ではなく、その四倍の力が必要になります。
  
  $E = L tan (λ + φ) = 1000 tan (11.26 5^{\circ}) = 199.2 N$
6. 実際に得られる利得は、荷重を作用力で割った値、1,000/199.2 = 5.02です。したがって効率は、幾何学的に見込まれる利得に対する、実際の利得の比となります。
  
  $η = \frac{MA _{actual}}{MA _{ideal}} = \frac{5.02}{20.94} = 24.0%$
7. そして、同じ比較を角度の代わりに正接を用いて記述すると、ねじから手を離してもそのまま留まるかどうかがわかります。
  
  $tan λ = 0.0477 \leq μ = 0.15 \Rightarrow self-locking$
解答

高さ 3 mm、長さ 62.83 mm の三角形から 20.94 という理想的な利益が得られます。元の傾斜がわずか 2.734° だったところへ摩擦によって 8.531° が追加されるため、効率は 24.0% となります。

加えた仕事の四分の三はねじ山に吸収されますが、これは我慢すべき欠点ではありません。むしろ、それこそが代価を払って手に入れるべき利点なのです。これほど仕事を取り出しにくい機械であれば、荷重自身の力で逆方向に押されることはありません。これこそまさに tan λ ≤ μ が示していることです。0.15 に対して 0.0477 ですから、十分な余裕をもって自立します。ボルトがラチェットや爪、ばねなしでも締まったままなのも、自動車のジャッキがハンドルから手を離しても一トンの車体を空中に保持できるのも、すべてこのためです。モードを斜面に切り替えて、自立しつつ 20 の利益を生み出す角度を探してみてください。そのような角度は存在しません。真っ直ぐな斜面では、その二つの条件が互いに反発し合うからです。三角形を円柱に巻き付けることによって初めて、ねじはその両方を手に入れることができるのです。

学習の道すじ

単純機械：力と距離の交換

42Math チーム · 公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。