インタラクティブな数学・理科レッスン (ﾉ◕ヮ◕)ﾉ*:･ﾟ✧

ねじ山

When does a screw hold its load without input?

インタラクティブシミュレーションを読み込んでいます...

角度が自己保持を決める 🖖

ねじ山を一巻きほどいて展開すると、一つの斜面が現れます。軸の周りを一周する間にピッチの分だけ上昇するため、その傾きは tan λ = p / 2πr で表されます。摩擦もまた、固有の傾きを持っています。板の上に物体を置き、それが滑り始めるまで板を傾けたときに得られる角度が φ = arctan μ です。ねじが自立する条件は、常に λ ≤ φ となります。

さて、この比較式に何が含まれていないかを考えてみましょう。荷重の重さは、式の両辺のどちらにも登場しません。重力は荷重をねじに沿って引き下げるだけでなく、同じ割合でねじ面にも押し付けます。両者の影響は完全に相殺されるため、200 Nの荷重で自立するボルトは20 kNの荷重でも自立するのです。荷重のスライダーを100 Nから5,000 Nまで動かしてみてください。結果が一切変わらないことが確認できるでしょう。

五十パーセントが境界になる 🖖

ねじが自立する範囲全体において、効率はリード角に比例して上昇します。そして、自立するという条件そのものが、リード角の上限を φ に制限しています。したがって、自立性を保ちながら最も高い効率を発揮するねじは、まさにこの境界線上に存在します。λ = φ のとき、効率 η = tan λ / tan(λ + φ) は tan φ / tan 2φ となり、これを整理すると (1 − μ²)/2 が導かれます。

摩擦がなくなるにつれてこの値は二分の一に近づきますが、摩擦のないねじは何も保持できないため、現実のねじがその値に到達することはありません。μ = 0.15 のとき、上限は48.9%となります。半径5 mmの送りねじをセットし、ピッチを6.0 mmに上げてみましょう。効率49.2%で、まだ自立しています。さらに一段階上げて6.5 mmにすると、今度は51.1%で逆作動を起こしてしまいます。スライダーで設定可能な半径、ピッチ、摩擦の組み合わせ全116,280通りにおいて、自立するねじが達成できる最高の効率は49.86%なのです。

ピッチは力と速さを交換する 🖖

ねじが一回転するごとにナットは正確に一ピッチ分だけ進むため、理想的な機械的利益は円周をピッチで割った値のみによって決まります。M10のピッチを1.5 mmから3 mmへと倍にすると、機械的利益は20.94から10.47へと半減します。

これとは対照的に、効率は24.0%から38.3%へと上昇しますが、だからといって必要な労力が軽減されるわけではありません。手が押し勝つ必要があるのはこれら二つの積であり、それを整理すると cot(λ + φ) になります。この値はピッチが大きくなるにつれて小さくなる一方です。操作力は199.2 Nから249.1 Nへと増加します。スライダーの全116,280通りの設定の中で、ピッチを粗くして回すのが楽になる組み合わせは一つもありません。得られる利点は、回す回数が減ることだけなのです。

全プロセスの詳細解説

  1. 指二本で締められるボルトが支える千ニュートン 6 ステップ

    M10 coarse プリセットを読み込んでください。半径 5 mm の軸に 1.5 mm のピッチ、μ = 0.15、荷重は 1,000 N です。パネルには入力の力 199.2 N、効率 24.0% と出ます。この 199.2 N がどこから来るのかを求め、それをスパナを握る手が実際に感じる力に直し、そのうえで 24.0% が気にすべき数字かどうかを判断しましょう。

    1. まず、ねじ山を一回転ぶん展開してみましょう。高さはピッチのぶんだけ上がり、水平には軸を一周します。傾きがピッチ割る円周の斜面です。この傾きの逆正接をとれば、それがリード角です。

    2. 摩擦も同じように角度へ直します。この一手のおかげで、以降の話がすべて楽になります。μ = 0.15 は、傾けた板の上の物体が滑り出す角度の正接ですから、摩擦は 8.531° の傾きです。ねじ山の傾きはそれより緩く、だから朝になってもボルトは緩んでいません。

    3. 摩擦のある斜面で荷物を押し上げるのに要る力は、荷重に二つの角を足したものの正接を掛けた値です。登っていく斜面と、引きずっていく摩擦。ねじはその斜面を軸に巻きつけたものですから、同じ式がそのまま入力の力を与えます。ねじ山の半径に働く力として測った値です。

    4. パネルは反対側から近づきます。荷重を理想的な機械的利得で割り、さらに効率で割って、同じ 199.2 N に着きます。両者が一致する理由は覚えておく価値があります。理想的な利得は 1/tan λ、効率は分子に tan λ を持つので、リード角が消えてしまい、どんなねじでも実際の利得は cot(λ + φ) になるのです。

    5. ここからは、ページが代わりにやってくれない一歩です。その 199.2 N は軸から 5 mm のところに働きますから、用意すべきものはトルクであり、それは小さな値です。

    6. M10 の頭に掛けるスパナは長さ 150 mm ほどで、手はその一番端にあります。スパナはねじ山と直列につながった二台目の機械であり、仕事の大半はこちらが引き受けています。

    解答

    ねじ山で 199.2 N、トルクにして 0.996 N m、スパナの端では 6.64 N。700 グラムに満たない引きで、百キログラムを宙に支えていることになります。ねじ山の理想的な利得は 20.94、スパナがそれをさらに 30 倍しますから、摩擦のない世界なら 628 です。その 24.0% をとれば、上の計算が実際に出した 151 になります。効率が手で感じられる形になって現れるのは、この地点です。

    では、24.0% は気にすべき数字でしょうか。ここでの代償を数えてみましょう。一回転はねじ山に 6.26 J を入れ、荷重を 1.5 mm 持ち上げます。仕事としては 1.5 J、残りの 4.76 J はねじ山の側面で熱になります。六回転と三分の二で荷重は 10 mm 上がり、失われるのは 32 J。人の腕なら一秒に満たないぶんで、ボルトの歴史上これに気づいた人はいません。

    同じねじ山を、一日八時間送りねじを回すモーターの下に置いてみてください。その同じ 76% が、モーターの大きさも、ナットの運転温度も、両者がどれだけ早く摩耗するかも決めます。一つの数字に、二つの判定。分けるのはねじの性質ではなく、機械がどれだけ頻繁に動くかです。

    このページが省いていることが一つあります。実物のボルトは頭の座面も継手にこすりつけており、無処理の鋼ならその項がもう一度同じくらいのトルクを食います。0.996 N m はねじ山のぶんであって、締め付けの規定値ではありません。

学習の道すじ

単純機械：力と距離の交換

· 更新

公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。 編集方針 · 訂正

物理学のレッスン一覧 →

例題

  • M10 coarse - 半径5 mmに対してピッチ1.5 mmをとると、リード角は2.73°になります。摩擦角は8.53°ですから、スパナを外してもねじは1,000 Nの荷重を保持します。この余裕は効率と引き換えに得られるものです。効率は24.0%にとどまり、荷重を少しでも持ち上げるためには、ねじ面に199.2 Nの力を加えなければなりません。
  • 5 mm lead screw - 半径8 mmに5 mmのピッチを刻むと、リード角は5.68°に達し、効率は44.8%とほぼ倍増します。これでもまだ自立はしますが、M10では六度近くあった余裕がわずか一度弱しかありません。荷重をかけたまま放置できる送りねじに対し、ボールねじにブレーキが必要となるのはこのためです。
  • fast pitch - 半径5 mmでピッチを12 mmにすると、リード角は20.91°となり、摩擦角4.57°を大きく超えます。したがって、手を離した瞬間に荷重がねじを逆回転させて下降します。効率は80.2%とM10の三倍以上に達しますが、理想的な機械的利益が2.62まで落ち込んでいるため、押し上げる力は依然として285.9 N必要です。