歯車比・回転速度シミュレーター

単純アイドラ歯車列を読み込んでください。歯数は12、36、24、36、入力は1,200 rpm、10 N·mです。パネルには減速比3.00:1と表示されます。この四つの歯数のうち二つは、減速比にまったく影響していません。どれなのかを証明し、次に段の構成を切り替えて、同じ四枚の歯車から実際にどのような比が得られるか確かめましょう。

1. あらゆる噛み合いに共通する1つの法則があります。2つの歯車が接触する場所では、歯は接触点を同じ速度で通過するため、小さい方の歯車は歯数比に正確に比例してより速く回転します。

   $$\frac{{\omega }_1}{{\omega }_2}=\frac{N_2}{N_1}\text{at every mesh}$$

2. 単純輪列は3つの噛み合いが連なったものであるため、その3つの比率を掛け合わせます。

   $$\frac{{\omega }_{\text{in}}}{{\omega }_{\text{out}}}=\frac{N_2}{N_1}\cdot \frac{N_3}{N_2}\cdot \frac{N_4}{N_3}$$

3. 数値を当てはめると、それぞれの段に意味があるように見えます。まず 3.00、次に 0.667、そして 1.50 です。

   $$=\frac{36}{12}\cdot \frac{24}{36}\cdot \frac{36}{24}=3\times \frac{2}{3}\times \frac{3}{2}=3.000$$

4. ここで約分してみます。中間にある歯数はすべて分子に1回、分母に1回現れるため、全体の積は「最初の歯数に対する最後の歯数」に収束し、その間の歯車は結果に何の形跡も残しません。

   $$\frac{N_2}{N_1}\cdot \frac{N_3}{N_2}\cdot \frac{N_4}{N_3}=\frac{N_4}{N_1}=\frac{36}{12}=3$$

5. 残りの計算はこの比率だけで定まります。回転速度は除算され、トルクは乗算されます。

   $${\omega }_{\text{out}}=\frac{1200}{3}=400\mathrm{rpm},{\tau }_{\text{out}}=10\times 3=30\mathrm{N}\mathrm{m}$$

6. そして、両者の積（動力）は変化しません。歯車は回転速度と力のあいだで動力を移動させるだけであり、自ら生み出すことはありません。ツールはいかなる設定でもこの関係を保ちます。

   $$\omega \tau (\mathrm{rpm}\cdot \mathrm{N}\mathrm{m}):1200\times 10=400\times 30=12,000$$

7. 中間の歯車を歯車比に効かせるには、その二つを一本の軸に取り付け、一体となって回るようにします。すると各段の比は相殺されずに掛け合わされ、同じ四つの歯数から3.00ではなく4.50が得られます。

   $$\text{compounded instead: }\frac{36}{12}\cdot \frac{36}{24}=3.00\times 1.50=4.50$$

複合輪列（12:1）を読み込んでください。歯数は12、36、12、48、入力は1,200 rpmで10 N·m、出力は100 rpmで120 N·mです。この二本の軸の間には、パネルが一度も触れない三本目の軸があります。それが何を担っているかを求め、そのうえで、二つの段のどちらに大きい減速を持たせるべきかを判断してください。

1. 二つの段が掛け合わされるのは、歯車2と3が一本の軸にキー止めされ、互いに独立して回れないからです。3かける4で12。回転数とトルクのカードは、この数字だけから決まります。

   $$i=\frac{N_2}{N_1}\cdot \frac{N_4}{N_3}=\frac{36}{12}\cdot \frac{48}{12}=3.00\times 4.00=12.00⟹100.0\mathrm{rpm},120.0\mathrm{N}\mathrm{m}$$

2. その軸は、第一段が終わり第二段が始まる場所です。回転数は入力を第一段の比で割った値、トルクは入力にその比を掛けた値になります。

   $$n_{\mathrm{mid}}=\frac{n_{\mathrm{in}}}{r_1}=\frac{1200}{3.00}=400\mathrm{rpm},T_{\mathrm{mid}}=T_{\mathrm{in}}{r}_1=10\times 3.00=30\mathrm{N}\mathrm{m}$$

3. そして積はここでも変わりません。パネルはすでに入力と出力の間でそれが成り立つことを示していますが、真ん中でも同じです。歯車列には何かを溜めておく場所がないからです。

   $$nT(\mathrm{rpm}\cdot \mathrm{N}\mathrm{m}):1200\times 10=400\times 30=100\times 120=12,000$$

4. では段を入れ替えてみましょう。先に4、後に3です。総合変速比は12.00:1のまま、出力も100 rpm、120 N·mのままで、読み手が画面上で見られるものは何一つ変わりません。変わったのは真ん中の軸です。回転は遅くなり、トルクは三分の一だけ増えています。

   $$\text{stages swapped }(12/48/12/36):i=4.00\times 3.00=12.00,n_{\mathrm{mid}}=300\mathrm{rpm},T_{\mathrm{mid}}=40\mathrm{N}\mathrm{m}$$

5. 一般化すると一行で済みます。真ん中の軸は第一段の比だけで完全に決まり、二つの比は目標の総合比になるよう掛け合わされなければなりません。したがって真ん中のトルクは入力の値と出力の値の間のどこかに落ち、その外へ出ることはありません。

   $$T_{\mathrm{mid}}=T_{\mathrm{in}}{r}_1,n_{\mathrm{mid}}=\frac{n_{\mathrm{in}}}{r_1},r_1{r}_2=i\text{fixed}⟹T_{\mathrm{in}}\le T_{\mathrm{mid}}\le T_{\mathrm{out}}$$

6. この選択に意味があるのは、軸の太さを決めるのが回転数ではなくトルクだからです。許容せん断応力を一つ決めれば、直径はトルクの三乗根に比例します。

   $$d\propto T^{1/3}(\text{torsion, one allowable shear stress}):{\left(\frac{40}{30}\right)}^{1/3}=1.10$$