てこの種類と機械的利益

上腕二頭筋アーム プリセットを読み込みます。力点アーム長 5 cm、作用点アーム長 35 cm、手にかかる荷重 50 N です。パネルには加える力が 350 N、機械利得が 0.14 と表示されています。これらの数値がどこから導かれるかを計算し、このような効率の悪い構造と引き換えに腕が得ているメリットを述べてください。

1. てこに関するあらゆる現象は、1 つのつり合い関係から導かれます。支点まわりの力のモーメントをとると、一方の「力 × 距離」は他方の「力 × 距離」に等しくなります。モデル全体はこれだけであり、残りは単なる計算です。

   $$E\cdot a=L\cdot b\text{(moments about the fulcrum)}$$

2. 数値を当てはめてみます。荷重は肘から 35 cm の位置にあり、上腕二頭筋は肘からわずか 5 cm の位置を引っ張るため、他の要因を考慮する前に、筋肉はすでに 7 対 1 の不利な状況にあります。

   $$E=\frac{Lb}{a}=\frac{50\times 35}{5}=350\mathrm{N}$$

3. 機械利得とは、持ち上げる力を引く力で割った値です。この値は 1 未満となり、この道具は力を節約するどころか、より大きな力を必要とすることを意味します。これが a/b、すなわち反対側から求めたアーム長の比にも等しくなっていることに注目してください。

   $$\mathrm{MA}=\frac{L}{E}=\frac{50}{350}=0.1429=\frac{a}{b}=\frac{5}{35}$$

4. では、その見返りは何でしょうか。腕を小さな角度で回転させると、両端は支点からの距離に比例して移動するため、手は筋肉の b/a 倍の距離を移動します。筋肉が 1 cm 収縮するごとに、手は 7 cm 移動することになります。

   $$\frac{d_{\text{load}}}{d_{\text{effort}}}=\frac{b}{a}=7$$

5. 失われたものも、増えたものもありません。おもりを1 cm動かすと、筋肉がする仕事は0.500 J、おもりが受け取るエネルギーも0.500 Jです。変わるのは、力と距離への配分です。

   $$W_{\text{in}}=350\times \frac{5}{35}\times 0.01=0.500\mathrm{J}=W_{\text{out}}=50\times 0.01$$

6. そして、この不利は今回の数値による偶然ではありません。第 3 種てこは支点と作用点の間に力が加えられるものと定義されており、これにより a は b より小さくなり、結果として機械利得は 1 未満になります。引く力よりも大きな力を持ち上げられる第 3 種てこは存在しません。

   $$\text{third class}\Rightarrow a<b\Rightarrow \mathrm{MA}=\frac{a}{b}<1$$

バール プリセットを読み込みます。力点アーム長 150 cm、作用点アーム長 50 cm、蓋の重さ 300 N。加える力を求め、続いて、バールを載せる台にどれだけの強度が必要かを判断してください。

1. 支点まわりのモーメントが、加える力を一行で決めます。50 cm の位置にはたらく 300 N は、150 cm の位置の 100 N とつり合います。カードの表示も一致し、加える力 100.0 N、機械利得 3.00 です。その代償として、蓋が 1 cm 上がるごとに手は 3.00 cm 動きます。

   $$E=\frac{Lb}{a}=\frac{300\times 50}{150}=100\mathrm{N}$$

2. モーメントは静力学の半分にすぎません。バールはどこへも動かないので、はたらく力の合計もゼロでなければならず、その力は3つあります。あなたの手、蓋、そしてバールが載っているものです。3つ目を計算するものは、このページにはありません。

   $$\mathrm{MA}=\frac{a}{b}=\frac{150}{50}=3.00,d_E=3.00\mathrm{cm}$$

3. 第1種てこでは、支点が他の2点の間にあり、その2点はどちらも下向きに押します。あなたは長いほうの端を押し下げ、蓋は短いほうを引き下げます。ですから下の台は、その合計である 400 N で押し上げます。手が感じるのは蓋の3分の1、台が感じるのは蓋全体より大きい力です。

   $$R=E+L=100+300=400\mathrm{N}$$

4. 反力は L(1 + 1/MA) であり、常に荷重を上回ります。てこが優れているほど、反力は上から荷重に近づいていきます。機械利得が100倍のバールでも、支点には荷重の1.01倍が通ります。

   $$R=L\left(1+\frac{1}{\mathrm{MA}}\right)>L\forall \mathrm{MA}>0$$

5. 第2種はこの配置を反転させます。ツールにも用意されています。手押し車、荷重 600 N で機械利得は同じ 3。荷重は支点と力点の間に来て、持ち手を持ち上げるので、加える力は上を向き、車軸が受け持つのは L − E、すなわち 400 N です。荷台に載っているものの3分の2にあたります。

   $$R=L-E=L\left(1-\frac{1}{\mathrm{MA}}\right)=600\left(1-\frac{1}{3}\right)=400\mathrm{N}$$

6. 第3種も同じ式を使いますが、機械利得は 1 を下回ります。上腕二頭筋のプリセットでは MA = 5/35 なので、1 − 1/MA は −6、反力は −300 N になります。答えは符号にあります。手で 50 N を支えるために、前腕の肘側の端は 300 N で下向きに引かれているのです。

   $$\mathrm{MA}=\frac{5}{35}\Rightarrow R=50\left(1-7\right)=-300\mathrm{N}$$