円運動の実験室

等速円運動と、糸のたるみを伴う投射運動シミュレーションを含む鉛直面内の円運動を探究しよう。

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レッスン

理論 — 円運動の実験室

一定の速さで円運動している物体も、加速度運動をしています。なぜなら、加速度とは速度の変化であり、速度には向きが含まれるからです。その加速度は常に中心を向いています — これこそが「向心」という言葉の意味であり、円運動を維持するために力が必要不可欠である理由です。

各記号の意味

r: 円の半径（ここでは 1.50 m）。v = ωr と a_c = ω²r の両方の式に含まれるため、ω を一定に保ったまま円を大きくすると、物体はより速く移動しかつより大きく加速します — この2つは独立していません。
ω: ラジアン毎秒で表した角速度 — 角度が掃引される速さを表し、2.0 rad/s です。これ単体では大きさ（半径）については何も示していません。
v: 円軌道に沿う接線方向の速さ: v = ωr = 3.00 m/s。
a_c: 向心加速度、ω²r = 6.00 m/s²。ここに含まれていないものに注目してください。
T: 周期（1回転にかかる時間）: 2π/ω = 3.14 s、すなわち1秒あたり 0.32 回転です。

公式の導き方

短い時間の間では、速度ベクトルは大きさ（長さ）を変えず、向きのみが変わります — 物体自身が回転するのと同じ角度 Δθ = ω·Δt だけ回転します。
長さ v のベクトルを微小な角度だけ回転させると、その変化量は v·Δθ となり、速度に垂直な方向（すなわち中心に向かう方向）を向きます。したがって、加速度の大きさは v·Δθ/Δt = v·ω となります。
v = ωr を代入すると、このページで用いられている2つの形式が得られます: a_c = ω²r、およびこれと同等な a_c = v²/r。デフォルト値では、2.00² × 1.50 = 6.00 m/s² となります。

前提: 等速円運動: 一定の速さ、一定の半径、そして物体を軌道上に保持する硬い拘束（束縛）を前提としています。加速したり半径を変化させたりすると、これらの公式のいずれでも記述されない、2つ目の加速度である接線加速度が現れます。
成り立たない場合: 注目すべき点が2つあり、特に2つ目はよくある誤解に関するものです。第1に、a_c = ω²r には質量が一切含まれていません — 質量の入力ボックスを変更しても加速度の値は変わりません。質量が登場するのは力 F = m·a_c を求める場合のみです。第2に、外向きの力は存在しません。回転遊具で感じる外向きに押される感覚は、座席が旋回する中で自分自身の慣性が直進しようとすることによるものです。実際に働いている唯一の力は内向き（中心向き）の力であり、その力が消滅すると、物体は外向きではなく接線方向に進み続けます。

速さは一定なのに、ひと回りずっと加速している 🖖

このツールの最初のプリセットでは、球の速さは何も変わりません。最初から最後まで 3.00 m/s のままです。それでも表示は 6.00 m/s² の加速度を示し続け、それが途切れることはありません。どちらも本当です。加速度とは速度ベクトルの変化であり、ベクトルには向きがあるからです。大きさは固定でも、向きは刻々と変わっています。だから何かが引いているはずなのです。「等速」円運動が加速のない運動ではないのはこのためで、ここで学習者が最も多く誤解する点でもあります。しかもこの引きは荒々しく増えます。a_c = ω²r なので、回転を 2.0 から 4.5 rad/s へ、つまり 2.25 倍にするだけで加速度は 5.06 倍の 30.38 m/s² になります。ハンマー投げのワイヤーにかかる約 3.1g です。

向心力は役割であって、固有の力ではない 🖖

「向心」と名のつく力が物体を押すわけではありません。この言葉は、その場面で中心を向いている実在の力——糸の張力、衛星なら重力、カーブを曲がる車なら摩擦力——を指すだけです。向きは常に内側、半径に沿っています。具体的な要点：糸を切っても、玉はまっすぐ外へは飛びません。軌道を曲げる力がもう残っていないため、接線方向へ直線状に離れていきます。

コースターの宙返りは円ではなく涙形 🖖

完全な円形の宙返りは高い進入速度を要し、その速度で最下部を通れば乗客は激しいG(加速度)に押しつぶされます。頂上での最低速度はわずか√(gr)——質量に依存しない——なので、技術者は頂上付近の半径を小さく、下部を大きくして、涙のしずく形のクロソイド曲線(オイラー螺旋)にします。この形はヴェルナー・シュテンゲルが1976年に導入しました。頂上では速度が少なくてすみ、下部ではGが穏やかになります。

練習

自分で確かめる

まず答えを予想し、それから上のコントロールで確かめてください。予想を決めてから答えを開くこと。それが練習になる条件です。

鉛直円運動のプリセットは 1.00 m の糸を v₀ = 7.3 m/s で振り回し、成功と報告します。糸がたるむプリセットは 1.50 m の糸を 6.0 m/s で使い、失敗します。たるむ方のプリセットの最下点速度に 7.3 と入力してください。短い糸で足りた速度は、長い糸も救うでしょうか。

答えを表示

いいえ — やはりたるみます。最上点の張力は 0.0 N です。条件は v₀ ≥ √(5gr) で、半径の平方根に比例して大きくなります。r = 1.00 m なら 7.00 m/s ですが、r = 1.50 m では 8.57 m/s です。1.5 m の輪で速度を少しずつ上げていくと、判定は 8.5 m/s（最上点の張力 −0.8 N、たるみ）と 8.6 m/s（0.3 N、張り）の間で反転します。式が告げるとおりの位置です。この 5 はごまかしではありません。エネルギー保存から v_top² = v₀² − 4gr が得られ、最上点まで張ったままでいるには、そこで重力だけが向心力をまかなう必要がある、つまり v_top² = gr。この二つを足すと 5 が現れます。
向心力のプリセットは 2.0 kg を 1.80 m の腕で ω = 2.2 rad/s で回し、a꜀ = 8.7 m/s² と報告します。1 g をわずかに下回る値です。向心加速度をちょうど g にする ω はいくつで、そのときパネルはどんな力を表示するでしょうか。

答えを表示

ω = √(g/r) = √(9.8/1.8) = 2.33 rad/s です。入力するとパネルは a꜀ = 9.8 m/s²、F = 19.5 N と表示します。これは 2.0 kg の重さそのものです。ここは円錐振り子が 45° で吊り下がる交点でもあります。必要な横向きの引きが、もともとかかっていた下向きの引きに追いついたからです。なお g は自分で持ち込む必要があります。パネルが表示するのは加速度と力であって、重さは決して表示しません。比べるのはあなたの仕事です。

全プロセスの詳細解説

鉛直な円を描いて振り回される1 mの紐の先の1 kgのボール 5 ステップ
長さ 1 m の紐に付けた 1 kg の球を鉛直面内で回転させ、最下点を 7.3 m/s で通過させる。最頂点で紐がたるまず張力を保てるかどうか、また最下点で紐が耐えなければならない力を求めよ。これは r = 1.0 m、m = 1.0 kg、g = 9.8 m/s²、v₀ = 7.3 m/s とした鉛直ループの設定である。
1. 円の最頂点では中心が真下に位置するため、重力と紐の張力は同じ向きに作用する。紐は引くことはできても押すことはできないため、限界条件は紐の寄与がゼロであり、重力のみが必要な向心力をすべて補わなければならない場合である。
  
  $T_{top} + m g = \frac{m v _{top}^{2}}{r}, T_{top} \geq 0 ⟹ v_{top, min} = g r = 9.8 \times 1.0 = 3.13 m/s$
2. 最頂点での速さは力ではなくエネルギーの保存から導かれる。2r の高さを上昇するコストは運動エネルギーから支払われ、これをステップ1の条件と組み合わせると、最下点での最小速度は最頂点での最小速度の √5 倍となる。
  
  $\frac{1}{2} m v_{0}^{2} = \frac{1}{2} m v_{top}^{2} + m g (2 r) ⟹ v_{0}^{2} = v_{top}^{2} + 4 g r, v_{0, m i n} = 5 g r = 49.0 = 7.00 m/s$
3. したがって、7.3 m/s は最小必要速度 7.00 m/s を 4.3% 上回っている。v² の値で見るとこの余剰分は 4.29 であり、上昇によって差し引かれるのは割合ではなく固定値 4gr であるため、4.29 の余剰全体が最頂点まで残る。最頂点で要求される値はわずか 9.8 であるため、この余剰分はそこでは 44% の価値に相当する。
  
  $v_{0}^{2} - v_{0, m i n}^{2} = 53.29 - 49.00 = 4.29; v_{top}^{2} = 53.29 - 39.20 = 14.09 ⟹ v_{top} = 3.75 m/s$
4. 次に2箇所での張力を考える。最頂点では重力が内向きに働き、必要な力の一部を担うため、紐は不足分のみを補う。ここで m/r は 1 であるため、その不足分はステップ3で求めた 4.29 となる。最下点では重力が外向きに働くため、紐は必要な向心力に加えて全重量を支えなければならない。
  
  $T_{top} = \frac{m v _{top}^{2}}{r} - m g = 14.09 - 9.80 = 4.29 N, T_{bot} = \frac{m v _{0}^{2}}{r} + m g = 53.29 + 9.80 = 63.09 N$
5. 両者の差をとる。2つの v² の項の差はちょうど 4gr となり、2つの重力の項は相殺されることなく加算され、速度の影響は完全に消去される。
  
  $T_{bot} - T_{top} = \frac{m ( v _{0}^{2} - v _{top}^{2} )}{r} + 2 m g = 4 m g + 2 m g = 6 m g = 58.8 N$
解答

ツールは最下点で 63.1 N、最頂点で 4.3 N、およびループ最頂点での最小速度 3.13 m/s を表示する。記憶にとどめるべきはステップ5である。2つの張力の差は 6mg（ここでは 58.8 N）であり、速度にはまったく依存しない。そのため、より速く回転させても両方が同時に増加するだけで、その差が縮まることはない。ギリギリの最小速度で動かした場合、最頂点での張力はゼロになり、最下点での張力は正確に 6mg となる。これは円形ジェットコースターの乗客にとって 6 g の体感重量に相当する。これは人間が体を起こした状態で耐えられる限界を超えており、現代のジェットコースターに円形ループが存在しない理由である。クロソイド曲線は最頂部で半径を小さくし（半径が小さいほど必要な速度は小さくなる）、乗客を押しつける v²/r の値が大きくなる最下部で半径を広げている。

$T_{bot} - T_{top} = 6 m g \forall v_{0}$