サイン・コサイン波エクスプローラー

パラメータ化された三角関数の波をリアルタイムに可視化

計算例 — サイン・コサイン波エクスプローラー

振幅 \|A\|	1
垂直方向のずれ D	0

ページを開いたときに計算機が表示する値です。上の入力を変えると再計算されます。

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レッスン

理論 — サイン・コサイン波エクスプローラー

出会うすべての正弦波は、4つの数値が適用された同じ曲線 y = A·sin(Bx + C) + D です。A は上下方向に引き伸ばし、B は左右方向に押し縮め、C は横方向にずらし、D は上下方向に持ち上げます。これら以外にグラフの形状が変わる要素はありません。

各記号の意味

A: 振幅 — 谷から山までの距離の半分。負の A は波の高さを変えずに上下を反転させるだけであるため、表示には |A| が示されます。
B: 周波数係数 — 用語のニュアンスに注意してください。これは周波数そのものではありません。x の1単位あたりに引数が何ラジアン進むかを表しています。
C: 位相項（ラジアン単位）。カッコの内側にあるため、これ自体が直接のシフト量になるわけではありません。
D: 垂直シフト — 波がその周囲で振動する中心線。

公式の導き方

正弦関数は、その引数が 2π 進むごとに繰り返します。したがって、Bx + C が 2π 増加するとき、波は繰り返します。
C は定数なので、増加のすべては Bx に由来しなければなりません。つまり、B·Δx = 2π が必要となります。
したがって、周期は T = 2π/|B| となります — B = 1 のときは 6.2832 であり、B = 2 のときは半分になります。絶対値が付いているのは、負の B は波を反転させますが、周期（長さ）を負の値にすることはできないからです。

表示の読み方

B をドラッグして位相シフトの行を観察してください：シフト量が両方の数値に依存していることが最も手軽に確認できます。入力した4つの数値が反映された方程式が表示され、単に結果を示すのではなく、各プロパティがどのように導出されるかが示されます：|A|、周期としての 2π/|B|、位相シフトとしての −C/B、そして D。

前提: 角の単位はラジアンであるため、360 ではなく 2π が現れます。また、これら4つのパラメータは互いに独立しています — どのように設定しても、この形式では振幅が減衰する波を作ることはできません。
成り立たない場合: 落とし穴となりやすいのが位相シフトであり、表示ではその点が明確に区別されています。波が移動する量は −C ではなく、−C/B です。B = 2 かつ C = π の場合、シフト量は −π/2 となり、カッコの表示から一見予想される量の半分になります。これは、C が x ではなく、圧縮された座標系で測定されているためです。sin(Bx + C) を sin(B(x + C/B)) と読み替えれば、B という係数が登場することに驚かなくなります。

回転する輪がサインとコサインを生み出す仕組み 🖖

サインとコサインは実のところ三角形の話ではありません。一定の速さで円周上を動く点が作る、水平方向と垂直方向の「影」なのです。点が角度θ = Bx + Cを掃引するとき、その垂直位置はsin(θ)を、水平位置はcos(θ)を描きます。だからこそ、この2つの曲線は4分の1回転(π/2)分の位相のずれを除けば全く同じ形になるのです。これはまた、Bが周波数を制御するが振幅は決して制御しない理由でもあります。Bは点が輪をどれだけ速く回るかだけを変え、影がどれだけ大きく振れるかは変えません。この回転ベクトルという同じ発想——正体を隠した回転する輪——を使って、技術者は交流電流や音、無線信号をフェーザとして記述します。

「サイン」は誤訳から生まれた 🖖

サイン(正弦)という語は歴史の偶然です。インドの数学者はこれを jyā(弓の弦)と呼び、アラビアの学者は jayb として取り入れましたが、この語はたまたま「入り江」や「ひだ」も意味しました。ラテン語の翻訳者はこの無関係な意味を文字どおり sinus — ラテン語で入り江や衣のひだ — と訳しました。つまり sin と書くたびに、12世紀の「弓の弦」の誤訳を使っているのです。

練習

自分で確かめる

まず答えを予想し、それから上のコントロールで確かめてください。予想を決めてから答えを開くこと。それが練習になる条件です。

位相 π/2 のプリセットは C = 1.5708 に設定し、位相のずれの行は −1.5708 と表示します。C は正なのに波は左へずれます。ここで B を 2 に変え、C はそのままにしてください。見る前に位相のずれを予想しましょう。

答えを表示

−0.7854、ちょうど半分です。B = 4 なら −0.3927 になります。この行が計算するのは −C ではなく −C/B なので、周波数を上げるとずれは同じ割合で縮みます。C は偏角のラジアンで測られ、ずれは x 軸に沿って測られます。B はその二つをつなぐ換算率です。マイナス符号は驚きのもう半分です。sin(x + C) は x = −C において、素の正弦が 0 で行うことを行います。つまり偏角に足すと絵は後ろへ動くのです。この場合には名前もあります。B = 1、C = π/2 のとき sin(x + π/2) は cos x です。関数を cos に切り替えて C を 0 に戻すと、同じ曲線が反対側から現れます。
複合シフトのプリセットは 1.5·cos(x − 0.7854) + 1 を描き、振幅の行は 1.5 と表示します。この波が実際に到達する最大値と最小値はいくつで、なぜどの行もそれを表示しないのでしょうか。

答えを表示

2.5 と −0.5 です。振幅は波の中心線から測った高さの半分であり、ここでは中心線が y = 0 ではありません。垂直シフトの行が D = 1 と告げています。したがって極値は D + |A| と D − |A| です。どの行もこれを表示しないのは、この四行が標準形 A·sin(Bx + C) + D の四つの*パラメータ*であって、その出力ではないからです。|A| を最大値と読むのはよくある取り違えで、そのすぐ下にある垂直シフトの行こそが、それを防いでくれるものです。

全プロセスの詳細解説

単純なサインとコサインの和として示されるシフトしたコサイン 6 ステップ
y = 1.5 cos(x − 0.7854) + 1。振幅、周期、およびシフトを読み取り、シフトした余弦波が通常の正弦波と通常の余弦波の和であることを示せ。これは合成シフトの状態である。
1. 4つのパラメータが存在し、それぞれが異なる方法で曲線を動かす。相互作用するのはそのうちの2つだけである。
  
  $y = A cos (B x + C) + D = 1.5 cos (x - 0.7854) + 1$
2. 振幅は全高の半分であるため、曲線は D を中心とする幅 2|A| の帯状領域内に収まる。これ以外に値域に影響を与えるものはない。
  
  $∣ A ∣ = 1.5 ⟹ y \in [D - ∣ A ∣, D + ∣ A ∣] = [- 0.5, 2.5]$
3. 周期は B のみに依存する。B の値が大きいほど引数の変化が速くなるため、周期は短くなる。
  
  $T = \frac{2 π}{∣ B ∣} = \frac{2 π}{1} = 6.2832$
4. 水平方向のシフトは引数がゼロになる位置、すなわち −C/B である。B で割る操作は見落とされがちだが、B が 1 でない場合にはこの手順が重要となる。
  
  $B x + C = 0 ⟹ x = - \frac{C}{B} = + 0.7854 — the shift is - C / B, not C$
5. ここで展開する。差の余弦は2つの項に分かれ、cos(π/4) と sin(π/4) はともに 1/√2 である。
  
  $1.5 cos (x - \frac{π}{4}) = 1.5 (cos x cos \frac{π}{4} + sin x sin \frac{π}{4}) = 1.0607 cos x + 1.0607 sin x$
6. 逆に辿って確認する。2つの係数を合成すると元の振幅が復元され、その比から位相が得られる。
  
  $1.060 7^{2} + 1.060 7^{2} = 1.5, arctan \frac{1.0607}{1.0607} = \frac{π}{4}$
解答

1.0607 cos x + 1.0607 sin x + 1 であり、2つの係数は 1.5/√2 である。加法定理を用いてシフトを展開すると、位相のずれた1つの波が、同じ周波数のシフトしていない正弦波と余弦波の重み付き和へと変換される。そしてこのプロセスは逆にも辿れるため、任意の a cos x + b sin x は振幅 √(a² + b²)、位相 arctan(b/a) の単一の波へと還元される。この同値性こそが、フーリエ級数が各項において正弦波と余弦波のみを必要とし、第3のパラメータを必要としない理由である。位相は2つの係数の比の中に隠される形で、すでに保持されているのである。このパネルから学び取るべきもう一つの点は負の符号である。水平方向のシフトは C ではなく −C/B であり、B ≠ 1 のとき両者は大きさすら一致しない。

$Δ x = - \frac{C}{B} = 0.7854; a cos x + b sin x = a^{2} + b^{2} cos (x - arctan \frac{b}{a})$

学習の道すじ

円運動と波は同じ運動

この次に円運動あらゆる正弦波を記述する4つの数値、および T = 2π/|B| で表される周期。この式をよく覚えておいてください — 次のツールでは、一見すると波には見えない対象に対して、同じ種類の変化率から全く同じ 2π を導き出します。

参考文献 (2)

The phase shift is −C/B and not −C, which is the trap the readout is explicit about: D. G. Fraser, "A Method for Finding the Period and Phase Shift of Trigonometric Functions." The Mathematics Teacher 61(8), 762–763, 1968.
On what students actually take away from amplitude, period and phase: K. Weber, "Students' understanding of trigonometric functions." Mathematics Education Research Journal 17(3), 91–112, 2005.

42Math チーム · 更新 2026-05-11

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例題

基本的な正弦波 - y=sin(x) — 振幅1、周期2p≈6.28
2倍の周波数 - y=sin(2x) — 周波数が2倍になり、周期はp≈3.14に半減する
π/2 の位相シフト - y=sin(x+p/2) — 位相がp/2だけ左にずれ、cos(x)と等しくなる
組み合わせたずれ - y=1.5·cos(x-p/4)+1 — 振幅・位相・上下方向の移動を組み合わせたもの